Операционное исчисление

Ответы.

t2 1

t

t

С7.1.

2

arctgt

ln 1 t2

.

2

2

t

1

С7.2.

et

et 2t .

1

ln e

t

2

С8.1. x 2x x 1,

С8.2. x 2x 10x 2e t

cos3t ,

С8.3. x x 2x 3et

,

С8.4. x x 2.

Ответы.

cos3t c2

t sin3t .

С8.1.

c e t

c te t 1

. С8.2. e t c

1

2

1

3

С8.3.

c e 2t c et tet . С8.4. c cost c sint c t 2t .

1

2

1

2

3

t

,

x

y,

x

x y e

С9.1.

С9.2.

y y x et ,

y 2x 2y,

x 0 y 0 1,

x 0 y 0 1,

x

2y,

x

3x 4y,

С9.3.

С9.4.

y 2x,

y 4x 3y,

x 0 y 0 2,

x 0 y 0 1,

x

y 0,

3x y e

t

,

x

С9.5.

С9.6.

y 2x 2y 0,

y x y e 2t ,

x 0 y 0 1,

x 0 1, y 0 2.

Ответы.

С9.1. x t et ,

y t et .

С9.2.

x t et cost 2sint ,

y t et cost 3sint .

С9.3.

x t y t 2e2t .

С9.4.

x t 6e5t

1e 5t ,

y t

3e5t

2e 5t .

5

5

5

5

С9.5. x t et cost 2sint ,

y t et cost 3sint .

С9.6.

1 4t

1

t

2

3t

1

t2

e t .

x t e 2t

2

,

y t e 2t 3

2

ПРИЛОЖЕНИЕ

Таблица свойств преобразования Лапласа

Оригинал

f t

Изображение F p

Примечания

1

f t

преобразование

F(p)

f (t)e pt dt

0

Лапласа

f t , 0

1

p

2

F

теорема подобия

3

eat f t

F p a

теорема смещения

4

f t ,

e p F p

теорема

0,

const

запаздывания

5

f t ,

теорема

0,

const

e p (F p f t e pt dt)

0

опережения

6

f t

pF p f 0

дифференцирование

оригинала

f n t

pn F p

дифференцирование

7

n 1

k 0

pn k 1 f

оригинала

k 0

t

1

интегрирование

8

f d

F p

p

оригинала

0

9

1 n tn f

t

dn F p

дифференцирование

dpn

изображения

f t

p dp

интегрирование

10

F

t

изображения

p

11

f1 t f2

t =

F1 p F2 p

умножение

f1 f2 t d

изображений

(теорема Бореля)

0

t

f2 t d

12

f1

pF1 p F2 p

интеграл Дюамеля

0

f1 t f2 0

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ........................................................................................

3

1. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА.

ОРИГИНАЛ И ИЗОБРАЖЕНИЕ..........................................................

4

1.1. Задачи для самостоятельного решения..................................

10

2. НАХОЖДЕНИЕ ИЗОБРАЖЕНИЙ............................................

11

2.1. Непосредственное вычисление интеграла Лапласа ..............

11

2.2. Использование таблиц и свойств

преобразования Лапласа......................................................................

14

2.3. Задачи для самостоятельного решения..................................

38

3. ВОССТАНОВЛЕНИЕ ОРИГИНАЛОВ

ПО ИЗОБРАЖЕНИЯМ........................................................................

40

3.1. Использование свойств преобразования Лапласа.................

40

3.2. Разложение изображения на простейшие дроби...................

46

3.3. Теоремы разложения................................................................

48

3.4. Задачи для самостоятельного решения..................................

57

4. ПРИМЕНЕНИЕ ОПЕРАЦИОННОГО

ИСЧИСЛЕНИЯ.....................................................................................

58

4.1. Вычисление некоторых интегралов........................................

58

4.2. Решение задачи Коши для обыкновенных

дифференциальных уравнений с постоянными

коэффициентами...................................................................................

61

4.3. Общее решение дифференциального уравнения

с постоянными коэффициентами........................................................

70

4.4. Применение интеграла Дюамеля

для решения дифференциальных уравнений.....................................

71

4.5. Решение систем линейных дифференциальных

уравнений с постоянными коэффициентами.....................................

77

4.6. Задачи для самостоятельного решения..................................

79

ПРИЛОЖЕНИЕ...............................................................................

83

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ...............................................................

84