Операционное исчисление

4.2. Решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами

Операционный метод значительно упрощает вычисления по сравнению со стандартными методами, в частности, при этом осо-

бенно эффективен, когда f t – разрывная функция.

Пример 24. Решить задачу Коши:

к обеим частям уравнения. Выпишем получившееся операторное

61

Запишем уравнение для изображений

p2X p 1 X p p22 p 1.

Решим уравнение для изображений

По теореме о дифференцировании изображения найдем оригинал первого слагаемого

p22p1 2 p21 1 t sint .

Следовательно, решение имеет вид

x t t sint sint t 1 sint.

24.3. Пусть x t X p . Перейдем в уравнении к изображениям

62

Найдя оригинал по данному изображению, получим решение задачи Коши

ниям

p2X p px 0 p 0 pX p x 0 6X p

3 p2p 9 p23 9 .

63

X p p23 9 sin3t x t .

24.6. Перейдем от оригиналов к изображениям

64

ипо второй теореме разложения получим

xt 6 5e 2t 4e3t .

Замечание. Во многих практических задачах правая часть дифференциального уравнения задается графически. В этом случае алгоритм решения не изменяется, а для нахождения изображения оригинала, заданного графиком, используются теорема запаздывания и методы из разд. 2.2.

Пример 25. Решить задачу Коши для дифференциального уравнения с правой частью, заданной графически:

f(t)

65

25.1. Перейдем от оригиналов к изображениям

f t t 2 t 4 1p e 2p e 4p .

Решим уравнение для изображений

p2 1 X p 1p e 2p e 4p ,

X p p p12 4 e 2p e 4p .

Так как

p p12 1 1p p2p 1 1 cost ,

то

x t 1 cos t 2 t 2 1 cos t 4 t 4 .

Решение задачи Коши можно представить в аналитическом виде:

66

ft 2t t 2t t 1 4 2t t 1 4 2t t 2

2t t 4 t 1 t 1 2 t 2 t 2

Замечание. Если в задаче Коши за начальный момент времени взято t t0 0, то вводят новую переменную t t0 . Тогда 0

при t t0 .

67

1 p12 1p .

Запишем уравнение для изображений

p2Z p p pZ p 1 p12 1p .

Решая операторное уравнение и переходя к оригиналам, получим

Z p p13 1p 1 22 z .

Возвращаясь к исходной переменной t , получим решение задачи Коши

68

Запишем уравнение для изображений

p2Z p 1 Z p p22p1.

Решим уравнение для изображений

z 1 sin .

Возвращаясь к исходной переменной t , получим решение исходной задачи Коши

69

4.3.Общее решение дифференциального уравнения

спостоянными коэффициентами

Операционное исчисление позволяет найти не только частное, но и общее решение дифференциального уравнения

an x n an 1x n 1 ... a1x a0x f (t).

Для этого достаточно положить x(k )(0) Ck ,k 0,...,n 1. Решив

задачу Коши с произвольными начальными условиями, мы получим общее решение уравнения. Подставляя в полученное общее реше-

ние конкретные значения для Ck можно находить решения различных задач Коши для заданного уравнения.

Пример 27. Найти общие решения дифференциальных уравнений

Решение задачи зависит от двух произвольных постоянных C1 и C2 , является общим решением данного однородного уравнения. Общее решение дифференциального уравнения x 4x 0 можно также записать в виде x t c1 cos2t c2 sin2t , где c1,c2 - произвольные постоянные.

70