Операционное исчисление

1

n

F p

n 1npn

t

n 1

1

n

1

1 e f t .

t

t

1

n 1n n 1 !

t n 1 n!

t

t

n 0 n!

20.4. Используя разложение в степенной ряд функции

ez 1

z

z2

z3

zn

1!

2!

3!

n!

n 0

получим

1

1

1

1

1

e p

2

.

p

p n 0 n!p2n

n 0 n!p2n 1

Согласно первой теореме разложения

1

t2n

F p n 0

n 0

f t .

n!p2n 1

n! 2n !

Теорема 7 (вторая теорема разложения). Пусть функция F p

комплексной переменной

p

аналитична во всей плоскости,

за ис-

ключением

конечного

числа

изолированных

особых

точек

p1, p2, , pn , расположенных

в

полуплоскости

Re p s0 .

Если

lim F p 0 , и F p

абсолютно интегрируема вдоль любой вер-

p

тикальной прямой Re p s, s s0 , то F p

является изображением,

и оригинал

f t ,

соответствующий изображению F p , определя-

F p

n

p e

pt

t .

k 1 pRespk F

f

(18)

Если pk – полюс порядка mk , то

pt

mk 1

mk

pt

d

Res

F p

e

lim

m

1

p

pk

F p e

p pk

p pk

dp

k

mk 1

t

mk 1 j

j

m

d

p p

F p

lim

k

.

j 0 j! mk 1 j !p pk dp j

k

Если F p

P p

–

рациональная

правильная

несократимая

Q p

дробь, pk

– полюсы порядка mk , (k 1, 2, ..., n)

функции F p , то

оригинал

f t , соответствующий изображению F p , определяет-

ся формулой

F

p

n

1

dmk 1

mk

pt

(18)

lim

p pk

F p

e

f t .

m 1

k 1 mk 1 !p pk

dp

k

В частности,

если

p1, p2, , pn

–

простые

полюсы

F p , то

функция

n

P p

p t

f t k 1

k

e

(19)

k

Q pk

21.3. F p

1

,

21.4. F p

p

,

p2

1

2

p

1 3

21.5. F p

1

,

21.6. F p

p3

.

p

1

2

3

2

p

p

1

21.1. Функция

F p

p2 p 1

имеет простые по-

p 2 p 5 p 4

люсы (нули знаменателя)

p1 2, p2 5,

p3 4. Обозначим

P p p2

p 1,

Q p p3

3p2

18p 40,

Q p 3p2 6p 18.

Тогда для p1 2

P p

p2 p 1

5

,

Q p

p 2

3p2 6p 18

p 2

18

1

1

для

p2 5

P p

p2 p 1

5

29

,

Q p

p 5

3p2 6p 18

p

27

2

2

для

p3 4

P p

p2 p 1

11

p 4

p 4 54 .

Q p

3p2 6p 18

3

3

21.2. Функция

F p правильная

рациональная

несократимая

дробь, для которой точки p1 1, p2

2i, p3 2i

являются про-

стыми полюсами. Обозначим

P p p 1,

Q p p3 p2 4p 4,

Q p 3p2 2p 4.

Так как для p1 1

P p

p 1

2

p 1

5 ,

Q p

3p2 2p

4

p 1

1

1

для

p2 2i

P p

p 1

1 2i

1 2i

4 3i

,

p 2i

8 4i

20

Q p

3p2 2p 4

p 2i

8 4i

2

2

для

p3 2i

P p

p 1

1 2i

1 2i

4 3i

,

p 2i

8 4i

20

Q p

3p2 2p 4

p 2i

8 4i

3

3

F p

1

2

1

lim

d 2

p 1 3 F p e pt

p

3

pt

2

1

dp

2

2!p 1

1

lim

d

e

1

limt2e pt t

et .

2!p 1 dp2

2!p 1

2!

21.4. Функция F p

в точках

p1 1

и p2 1 имеет полюсы 2-

F p

p

p2 1 2

1

lim

d

p 1 2

F

p e pt

1

lim

d

p 1 2

F p e pt

1!p 1dp

1!p 1dp

d

e pt p

d

e pt p

lim

lim

2

2

p 1

dp

p 1

p 1

dp

p 1

lim

te pt p e pt p 1 2 e pt p 2 p 1

p 1 4

p 1

te pt

lim

p e pt p 1 2 e pt p 2 p 1

p 1 4

p 1

1

tet et 4 4et

1

te t

e t 4 4e t

16

16

1

t e

t

1

t e

t

t et e t

t

sht .

4

4

2

2

2

21.5. Функция F p

в точках

p1 0 имеет полюс 3-го порядка,

F p

1

pt

pt

p3 p 1

Resp 0 F p e

Resp 1

F p e

1

lim

d

2

e

pt

1

e pt

2

2!p 0 dp

p

p4 p3

1

p 1

1

e pt

t2 p t2 p 1

2 tp t 1

t

t

2

t

lim

e

1 t

e

.

2!

p 1 3

2

p 0

21.6. Представим функцию

F p

в виде F p

p3

.

p i 2 p i 2

вычеты функции p F p e pt в этих полюсах

1

d

3

e

pt

Res F p e pt

lim

p

2

p i

1!

p i

dp

p i

lim

e pt 3p2 p3t p i

2p3

1

t

it

,

e