Операционное исчисление

t

f2 t d f1

t f2

t

t f2 d .

f1 t f2 0 f1

0 f1

0

0

2p2

3

17.1.

F p

,

17.2. F p

p

,

p2 1 2

p2 1 p2 4

2p2

2p

1

p

.

p2 1 2

p2

1

p2 1

Поскольку

sint f1 t ,

cost f2 t ,

1

p

p2 1

p2

1

f1 0 sin0 0,

f1 t cost ,

то на основании формулы Дюамеля имеем

1

p

t

2p

0 20cos cos t

t

d

p2

1

p2 1

t

cost cos t

2

1

t 2

2

d

cost

sin

t cost sint.

2

2

0

0

p

cost f1 t ,

p

cos2t

f2

t ,

p2 1

p2 4

f1 0 cos0 1,

f1 t sint .

f1 0 1,

f1 t et .

0

0

1

ch2

t

1

et sh2t

2

et

sh2t

2

ch2 1 .

0

18.1. F p

p

,

18.2.

F p

1

,

p p2

4

p2 2p 26

18.3. F p

e

p

18.4.

F p

p

,

,

(p2 4)2

p

1

18.6.

F p

4

1

p

1

4

18.5. F p

,

(p2 1)2

3p 1

e p

.

p2

4p 29

p

2 3

p

(p 1) 1

p 1

1

p2 2p 26

(p 1)2 25

(p 1)2 25

(p 1)2 25

e

t

1

cos5t

5

sin5t .

F p

1

1

1

2

p p2 4

2

p

p2 4

t

t0

1

sin2 d 1cos2

1

1 cos2t .

2

0

4

4

F p

1

1

p

1

1

cos2t .

4

4

p

p2 4

18.3. Из таблицы изображений имеем

1

e t . Наличие

p

1

F p

p

1

p

,

(p2 4)2

p2 4

p2 4

1

sin2t ,

p

cos2t .

p2 4

p2 4

F p

sin2t *cos2t

t

0sin2 cos2(t )d

t

1 t

cos(4 2t)

sin(4 2t) sin2t d

1

2

2

4

sin2t

0

0

1

cos2t

t sin2t

cos( 2t)

t

sin2t.

2

4

4

2

F p

1

1

t

p2 1

pt

2 1

sint sint sin sin(t )d

1

cost cos 2 t d

0

2

0

1

cost

sin(2 t)

t

1

sint

sint

1

t cost sint .

t cost

2

2

0

2

2

2

2

4

4

3!

2

3e tt3 ;

p 1 4

3!

p 1 4

3p 1

3p 1

3 p 2 7

p2 4p 29

p 2 2 25

p 2 2 25

e

2t

3cos5t

7

5

sin5t .

1

1

мому сначала найдем оригинал для функции

2e2tt2

p 2 3

f t , а затем применим теорему запаздывания для оригинала:

e p

1

2 t 1

2

f t 1 t 1 2e

t 1

t 1 .

p 2 3

2

e tt3

e 2t

3cos5t

7

1

e2 t

2

t 1 .

3

5

sin5t

2

1 t 1

3.2. Разложение изображения на простейшие дроби

Если F p

P p

есть правильная

рациональная

дробь,

то

Q p

ее разлагают

на

сумму

простых

дробей

вида

A

,

A

,

p a

p a k

Mp N

,

Mp N

и находят оригиналы для каждой про-

p2 ap b

p2 ap b k

стой дроби, используя свойства преобразований Лапласа.

Пример 19. Найти оригинал, соответствующий изображению:

19.1. F p

5

,

19.2. F p

1

.

p p 1 p2

4p 5

p p 1 p2 4

19.1. Представим F p в виде суммы элементарных дробей:

F p

5

A

B

Cp D

.

p p 1 p2 4p 5

p

p 1

p2 4p 5

Для нахождения A, B,C, D имеем уравнение

A p 1 p2 4p 5 Bp p2 4p 5 Cp D p p 1 5.

Подставляя различные значения

p получим систему для опре-

деления коэффициентов

p 0:

5A 5,

p 1:

10B 5,

p 1:

4A 2B 2 C D 5,

p 2:

3A 2B 6 2C D 5.

Находим коэффициенты:

A 1,

B

1,

C

1,

D

3 .

2

2

2

F p

1

1

1

1

p 3

p 1

p2 4p

5

p 2

2

1

1 1

1

p 2

1

2

2

p

p 1

p 2 2 1

p 2 2 1

F p

1

A

B

Cp D

.

p p 1 p2 4

p

p 1

p2 4

p 0:

4A 1,

p 1:

5B 1,

A

1

,

B

1,

C

1

,

D

1 .

4

20

5

5

F p

1

1

1

1

1

p 4

4

5

p

p 1

20

p2 4

Теорема 5 (Римана-Меллина).

Пусть функция f t

оригинал

с показателем роста s0 , а

F p

–

ее изображение. Тогда в любой

точке t непрерывности оригинала

f t справедлива формула Ри-

мана-Меллина

f t

1

s i

F p e ptdp.

(17)

2 i s i

где интегрирование производится вдоль любой прямой

Re p s,

f t e pt dt и называется обратным преобразованием

F p

0

Лапласа.

c

c

c

c

F p

k

0

1

2

...,

pk 1

p2

p3

k 0

p

то функция

t

k

c

c t c

t

2

...,

t 0

f t c

k 0 k

k!

0

1

2

2!

20.1. F p

p

,

20.2.

F p

1

,

p p4 1

p2 1

20.3. F p ln

1

1

1

2

1

,

20.4.

F p

e p

.

p

p

20.1. Разложим функцию F p

в ряд Лорана

p

1

1

1

1

1 n

1

,

p

1.

p

2

1

1

p

2

p

4

n 0

p

2n 1

p

p 1

p2

Так как

1

t2n

,

то в соответствии с первой теоремой

p2n 1

2n !

разложения

1 n

1 n t2n

F p

n 0 p2n 1

n 0

2n !

cost f

t .

20.2. Разложим функцию F p

в ряд Лорана

1

1

1

1 n

1 n

,

p

1.

p p

4

1

5

4n

4n 5

1

p

n 0 p

n 0 p

p5 1

p4

Так как

1

t4 n 1

,

то в соответствии с первой теоре-

p4n 5

4 n 1 !

мой разложения

1 n

1 n t4 n 1

F p

n 0

n 0 4 n 1 ! f t .

p4n 5

20.3. Используя разложение в степенной ряд функции

ln 1 z

z

z2

z3

z4

2

3

4

получим

1

1

1

1

1

ln 1

.

2p2

npn

p

p

n 1npn