Операционное исчисление

t

t a,2a

2

,

t

t

f2

t

a

2

t a

2

t 2a ,

0,

t a,2a

a

a

f t

1

1

2e ap

e ap

e 2ap

p

ap2

ap2

p

ap2

1

1

ap 2 e ap

e 2ap .

p

ap2

ap2

ap2

0,

t 0,

t 6,

3,

0 t 4,

f t

3

4 t 6.

9

2t,

f t 3 t 3 t 4

9

3

t

t 4

9

3

t

2

2

t 6

6

3

4

3

6

3 t

2

t t

9

2

t t

3 t

3

t 4 t 4 3

t

6 t

6 .

2

2

функции f t

f t

3

3e 4p

3e 6p .

p

2p2

2p2

0,

t 0,

t ,

f t

0 t .

sint,

f t

1

e p

1 e p .

p2 1

p2 1

p2 1

2.2.10. Теорема опережения. Если

f

t F p

и 0, то

p

f t e pt dt

(14)

f t e p F

.

0

f t t ,

f t

, где 0. Для вычисления изображений

функций

f t t ,

f t по известному изображению

F p

f t используются теоремы запаздывания и опережения

соответственно.

f(t)

f(t+

t

0

t

- 0

0

t

15.1. f t sin t ,

0 ,

15.2.

f

t cos t ,

0.

15.1. Для функции sint

1

. По теореме опережения (14)

p2

1

1

sin t e p

sinte ptdt .

2

p

1

0

pt

по частям

psint cost

pt

sinte

dt

e

два раза

p2 1

0

0

psin cos

e

p

1

,

p2 1

p2

1

то по теореме опережения

sin t

psin cos

.

p2 1

15.2. Для функции cost

p

. По теореме опережения

p2 1

cos t

p

e p

coste ptdt

.

2

p

1

0

Так как

pt

почастям

p cost sint

pt

coste

dt

e

два раза

p2

1

0

0

p cos sin

e

p

p

,

p2 1

p2

1

то получим

sin t

p cos sin

.

p2 1

оригинал f t имеет период

T . Тогда, если f0 t

F0 p , где

f0

f

t

при 0 t T ,

t

при t 0 и t T ,

0

то

F0 p

f t

.

(15)

1 e pT

функций:

16.1. f

t

cost

,

16.2. f

t

sint

.

16.3.

16.4.

1

f(t)

1

f(t)

0 1

4 5

t

0

1 2 3 4 5 6 t

2 3

6 7

16.1. Функция

f

t

cost

периодическая

с периодом T .

Рассмотрим функцию f0 t

cost

, 0 t ,

Найдем изобра-

0,

t 0,

t .

f0 t .

жение для

2

f0 t

cost

e ptdt

coste ptdt

coste ptdt

0

0

2

e

pt

coste ptdt

p cost sint

p2

1

1

p 1 e

2 p

p

p2 1

2e

.

По формуле (15) для изображения периодической функции

cost

2e 2 p p 1 e p

.

p2

1 1 e p

16.2. Функция f

t

sint

периодическая с периодом

T .

sint

,

0 t ,

Рассмотрим функцию

f0 t

Найдем изобра-

0,

t 0, t .

жение для f0 t .

f0 t

sint e pt dt

sinte ptdt

e

pt

1

sinte pt dt

psint cost

1

e p

p2 1

p2 1

sint

1 e p

.

p2

1 1 e p

16.3. Функция периодическая с периодом

T 1. Рассмотрим

функцию f0 t

t,

0 t 1,

. Найдем изображение для f0 t .

t 1.

0,

t

1

t

1

1

f

0

te pt dt e pt

2

p

p

0

0

1

1

1

1 e

p

p 1

e p

.

p

p

2

p

2

p

2

По формуле для изображения периодической функции

f t

1 e p p 1

.

p2 1 e p

t,

0 t 1,

f0

t,

1 t 2,

t 2

0,

2 t 4.

f0 t

1

2

2 t e ptdt

te pt dt

0

1

t

1

1

2

1

2

e pt

e pt t

2

p

p

p

p

2

0

1

1 e p 2

1

1

1

e 2p

1

1

e p

e p

.

2

2

2

2

2

p

p

p

p

p

p

p

По формуле для изображения периодической функции

f t

1 e 4p

.

p2 1 1 e 4p

f x,t e pt dt

есть ее изображение, и если в интеграле F p,x

0

ла, то

f x,t

F p,x

.

x

x

t tet sint ,

t

С3.17.

f

С3.18.

f t 2e d ,

0

f t

t

t

С3.19.

et sin d ,

С3.20.

f t e2 cos t d ,

0

0

0,

t 2 ,

t 3 ,

1 t,

0 t 1,

С3.20.

С3.21.

f (t)

1 t 3,

f (t)

t2 4t 3,

sint,

2 t 3 ,

t 3,

t 3.

Ответы.

e5

С3.1.

p 1

6

.

С3.2.

1

.

p 1 2

4

p

5 4

p 1

p ln2

С3.3.

1

1

p

5

1

С3.4.

1

2e2