Операционное исчисление

sin3t sint

3

1

z

dz arctg

arctgz

t

p z2 9

z2 1

3

p

2.2.6. Дифференцирование оригинала. Если

f t

F p

и функции f t , f t ,…,

f n t являются оригиналами, то для

любого k 1, 2, …, n

f n t

n 1

(9)

pn F p pn k 1 f k 0 ,

k 0

где f k 0 lim f k

t .

t 0

В частности

f t pF p f 0 ,

f t p2F p pf 0 f 0 .

Пример 9. Найти изображения следующих функций:

9.1. f t sin2 t ,

9.2. f t tet .

9.1. Пусть f t F p . Так как f 0 0, то

f t pF p

f 0 pF p . Вычислим производную функции

f t

и найдем

изображение для f t

f t sin2 t 2sint cost sin2t

2

.

p

2

4

Найдем изображение для производной

f t tet et tet

1

F p .

p 1

Таким образом, для определения F p

имеем уравнение

1

F p

pF p .

p 1

t

f d

1

F p .

(10)

0

p

Пример 10. Найти изображения следующих функций:

t

10.2. f t

t

10.1. f t sin d ,

2e d ,

0

0

t

10.4. f t

t

10.3. f t e d ,

cos2 d .

0

0

10.1. Так как sint

1

, то по теореме об интегрировании

p2 1

оригинала

t

1

1

1

.

sin d

p

p2 1

p p2 1

0

10.2. По теореме запаздывания t2e t

2!

. Тогда по фор-

p

3

1

муле (10) получим

t

1

2

2

2e d

.

p

p 1 3

p p 1 3

0

10.3. Имеем tet

1

. Тогда

p 1 2

t

d

1

1

1

.

e

p

p 1 2

p p 1 2

0

10.4. Так как

cos2 t 1 cos2t

1

1

p

p

2

2

,

2

p p

2

2

2

p

4

4

p

то применяя теорему об интегрировании оригинала получим

t

p

2

2

f t cos2 d

.

p2 p2 4

0

Определение

3.

Сверткой

двух

функций-оригиналов

f1 t

и f2 t (обозначается

f1 t f2 t ) называется функция

t

f1 f2 t d .

(11)

0

1)

f1 t * f2 t f2 t * f1 t (коммутативности),

2)

f1 t * f2 t * f3 t f1 t * f2 t * f3 t (ассоциативности),

t

f2

t

t f2

f1 t * f2 t f1

t d f1

d

f1 t * f2 t F1 p F2 p .

(12)

11.1. t *et ,

11.2. sint *t .

11.1. Найдем свертку по формуле (11)

t *et

t

t

u

d

t e d t et 1 e d

dv e

0

0

du d

v e

t

t et 1 e

t0

e d t et 1 e e

t0

0

t et et t 1

1

1

1

1

.

p 1

p2

p

p2 p 1

Найдем изображение свертки по теореме Бореля

t

1

,

et

1

, t et

1

.

p 1

p2 p

1

p2

11.2. По определению свертки (11)

t

t

sint *t t sin d t cos sin

t sint .

0

0

По теореме Бореля изображение свертки имеет вид

sint t

1

1

1

.

p2 1

p2

p2 p2

1

Пример 12. Найти изображения следующих функций:

t

t

12.1. f t cos t e2 d ,

12.2. f t e2 t 2d ,

0

0

12.3. sint sin2t ,

12.4. f t cos3t sint .

12.1. Функция

f t

является сверткой

f

t f1 t f2 t , где

f

t cost , f

2

t

e2t

. Так как cost

p

, e2t

1

, то

1

p2 1

p 2

t

p

1

p

cos t e2 d cost e2t

.

p2 1

p

2

p2 1 p 2

0

12.2. Функция f t является сверткой

f t

f1 t f2 t ,

где

f

t e 2t , f

2

t t2

. Имеем e 2t

1

,

t2

2!

. Тогда

1

p 2

p3

t

1

2

2

e2 t 2d e 2t t

2

.

p

2

p3

p3

p

2

0

12.3. Так как sint

1

,

sin2t

2

, то по теореме о

p2 1

p2 4

свертке

sint sin2t

2

.

p2

1 p2

4

12.4. Так как cos3t

p

,

sint

1

, то по теореме о

p2 9

p2 1

свертке

cos3t sint

p

.

p2

9 p2

1

2.2.9. Теорема запаздывания. Если

f

t t

F p и 0, то

f

t t

e p F p .

(13)

Пример 13. Найти изображения следующих функций:

13.1. f t et 3 t 3 ,

13.2. f t t 1 2 t 1 ,

13.3. f t

t2 6t 11

t 2 ,

13.4. f

t

e2t

sin7

t 3

t 3 ,

13.5. f t sin2 t

0 t ,

13.6. f t e 3t cos4 t 2 t 2 .

13.1. Для функции et t

1

. По теореме запаздывания

p

1

et 3 t 3

e 3p

.

p 1

Следует отметить, что et 3 t e 3et t

e 3

.

p 1

13.2.

Для

функции

t2 t

2

. По

теореме запаздывания

p3

t 1 2 t 1

2e p

. Следует отметить, что

p3

t 1

2

t t2 2t

1 t

2

2

1

.

p3

p2

p

13.3. Преобразуем квадратный трехчлен, представив его в виде

многочлена по степеням t 2. Получим

t2 6t 11 t 2 2 2 t 2 3.

Найдем изображение для функции-оригинала

t2 2t 3

2

2

3

.

p3

p2

p

По теореме запаздывания имеем

2

2

2

3

2p

3p2

2p 2 e 2p

t

6t 11 t

2

e

.

3

2

3

p

p

p

p

Для функции e2t

sin 7t t

7

. Используя теоре-

p 2 2 49

му запаздывания

e2t sin7 t 3 t 3

7e6e 3p

7e 3 p 2

.

p 2 2

49

p 2 2 49

13.5. f t sin2 t

1 1 cos2t . Найдем изображение для функ-

2

ции g t 1 cos2t

0 t .

Представим

рассматриваемую

функцию в виде

g t 1 cos2t t 1 cos2t t

1 cos2t t 1 cos2 t t

1

p

p

4

1

e p

1 e p

2

2

2

p

p

4

p

4

p p

4

p

1

2 1 e p

Следовательно f t

2 g t

.

p p2 4

Для функции e 3t cos 4t t

p 3

. По теореме за-

p 3 2

16

паздывания

e 3t cos4 t 2 t 2

e 6e 2p p 3

e 2 p 3 p 3

.

p 3 2

16

p 3 2 16

ражение для оригинала вида

f bt t0 , где

t0 0

и b – комплекс-

ное число.

Пусть

f t

F p ,

тогда

по

теореме подобия

f bt 1 F

p

. По теореме запаздывания находим

b

b

f bt t0

f

t

0

1

p

t0

p

.

b t

b

F

e

b

b

b