tekhnicheskaia_diagnostika_podvizhnogo_sostava
.pdfЗатем используем координаты любой из двух известных точек, например, второй (t2, ȳ2) или (t2, Д(у2)), находим два других параметра:
ȳ0 = ȳ2 - |
|
ȳ2 – ȳ1 |
t2 ; |
|
(9) |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
t2-t1 |
|
|
|
Д(у0) = Д(у2) - |
Д(у2) – Д(у1) |
t2 ; |
(10) |
|||
|
t2 – t 1 |
|||||
|
|
|
|
|
||
Значения уравнений (7,8,9,10) подставим в уравнения (5) и (6), получаем выражения, определяющие зависимости от пробега среднего износа деталей и дисперсии износа:
ȳ(t) = ȳ2 |
- |
ȳ2 – ȳ1 |
t2 + |
ȳ2 – ȳ1 |
|
t , (11) |
||||
|
t2 – t 1 |
|
||||||||
и |
|
t2 – t 1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Д(у2) – Д(у1) |
|
Д(у2) – Д(у1) |
|||||||
Д(у(t)) = Д(у2) - |
|
|
|
|
|
t2 + |
|
|
|
t , (12) |
|
t2 – t 1 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
t2 – t 1 |
||||||
Необходимо произвести вычисления и записать полученные выражения (5) и (6) с числовыми значениями параметров.
Контрольный вопрос. Могут ли исходные значения среднего износа деталей ȳ0 и дисперсии износа Д(у0), соответствующие t=0 быть равным 0? Отрицательными числами?
Необходимо рассчитать среднее значение [ȳ(ti)], дисперсии [Д(у(ti))] и
средние квадратические отклонения [σ(у(ti))] износа при нескольких значениях пробега, пользуясь зависимостями, полученными на предыдущем шаге. Затем для тех же значений пробега необходимо определить нижнюю у(ti)min и верхнюю у(ti)max границы практически возможных значений износа. Результаты расчетов заносят в таблице 13 и по ним строят график зависимости среднего износа деталей от пробега.
21
Таблица 13
Результаты расчета средних значений, дисперсий и средних квадратических отклонений
|
Величина |
|
|
|
Πpoбeг, тыс.км |
|
|
|
||||
|
|
|
0 |
50 |
100 |
|
150 |
200 |
|
250 |
300 |
350 |
1. |
Средний |
износ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ȳ(t), мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Дисперсия |
износа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Д(у(t)), мм2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Среднее |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
квадратичное |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
σ(у(t)), мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Утроенное |
3σ(у(t)), |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
значение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
мм |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Нижняя |
граница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
у(t)min |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Верхняя |
граница |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
у(t)mах |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Расчет среднеквадратических отклонений производим по формуле
σ(у(ti))= 
Д(у(ti)), (13)
где i – номер интервала в таблице13.
Значения износа распределены по нормальному закону с плотностью распределения:
|
|
|
|
|
−( yi − |
|
(ti ))2 |
|
|
1 |
|
|
|
y |
|||
f(yi)= |
|
|
e |
2σ ( y (ti ))2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|||
σ ( y(ti )) |
2π |
, (14) |
||||||
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
||||
Для нахождения области практически возможных значений случайной величины Уi распределенный по нормальному закону, пользуются правилом «трех сигма». В соответствии с этим правилом для каждого
22
пробега ti верхняя и нижняя границы практически возможных значений износа деталей находятся так:
, (15)
Зависимость (14) имеет вид представленный на рисунке 3 f(yi)
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ȳ(t |
|
i) |
yпр |
y, мм |
||
|
||||||
Рис.3 График зависимости плотности распределения от пробега |
||||||
Для провидения расчётов по формуле (14) необходимо знать значения yi , ȳ(ti) и σ(y(ti)) , которые определяются при использовании выборки из Генеральной совокупности значений yi мм. ,зная которые устанавливают значения значение ȳ(ti) и Д(y(ti)) :
, |
(16) |
где: n-общее количество значений в выборке; yi – i-e значение y в выборке (i=1÷n);
, (17)
23
Значение среднеквадратического отклонения определяется по формуле (13).
В таблице 14 даны варианты выборок из Генеральной совокупности значений износов – уi мм, в каждой из которых n=25. Студент выбирает свой вариант выборки, номер которого соответствует предпоследняя цифра учебного шифра.
После проведения расчет по формуле (14) строится график зависимости плотностей распределения от пробега. (рисунок 3).
Таблица №14
Варианты выборок из Генеральной совокупности значений износов уi мм.
|
Вариант 0. |
|
|
|
|
Вариант 1. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.10 |
0.09 |
0.73 |
0.25 |
0.33 |
|
0.76 |
0.52 |
0.01 |
0.35 |
0.86 |
0.37 |
0.54 |
0.20 |
0.48 |
0.05 |
|
0.64 |
0.89 |
0.47 |
0.42 |
0.96 |
0.08 |
0.42 |
0.26 |
0.89 |
0.53 |
|
0.19 |
0.64 |
0.50 |
0.93 |
0.03 |
0.99 |
0.01 |
0.90 |
0.25 |
0.29 |
|
0.09 |
0.37 |
0.67 |
0.07 |
0.15 |
0.12 |
0.80 |
0.79 |
0.99 |
0.70 |
|
0.80 |
0.15 |
0.73 |
0.61 |
0.47 |
|
Вариант 2. |
|
|
|
Вариант 3. |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.66 |
0.06 |
0.57 |
0.47 |
0.17 |
|
0.34 |
0.07 |
0.27 |
0.68 |
0.50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.31 |
0.06 |
0.01 |
0.08 |
0.05 |
|
0.45 |
0.57 |
0.18 |
0.24 |
0.06 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.85 |
0.26 |
0.99 |
0.76 |
0.02 |
|
0.02 |
0.05 |
0.16 |
0.56 |
0.92 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.63 |
0.57 |
0.33 |
0.21 |
0.35 |
|
0.05 |
0.32 |
0.54 |
0.70 |
0.48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.73 |
0.79 |
0.64 |
0.57 |
0.53 |
|
0.03 |
0.52 |
0.96 |
0.47 |
0.78 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 4 |
|
|
|
|
Вариант 5. |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.98 |
0.52 |
0.01 |
0.77 |
0.67 |
|
0.14 |
0.90 |
0.56 |
|
0.86 |
0.07 |
0.11 |
0.80 |
0.50 |
0.54 |
0.31 |
|
0.39 |
0.80 |
0.82 |
|
0.77 |
0.32 |
0.83 |
0.45 |
0.29 |
0.96 |
0.34 |
|
|
|
|
|
|
|
0.06 |
0.28 |
0.89 |
|
0.80 |
0.83 |
||||||
0.88 |
0.68 |
0.54 |
0.02 |
0.00 |
|
|
|
|
|
|
|
0.86 |
0.50 |
0.75 |
|
0.84 |
0.01 |
||||||
0,99 |
0,59 |
0,46 |
0,73 |
0,48 |
|
0.87 |
0.51 |
0.76 |
|
0.49 |
0.69 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
24
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Продолжение таблицы №14 |
|||
|
Вариант 6. |
|
|
|
|
|
Вариант 7. |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.65 |
0.48 |
0.11 |
|
0.76 |
0.74 |
|
0.17 |
0.46 |
0.85 |
0.09 |
0.50 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.80 |
0.12 |
0.43 |
|
0.56 |
0.35 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.17 |
0.72 |
0.70 |
0.80 |
0.15 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.74 |
0.35 |
0.09 |
|
0.98 |
0.17 |
|
0.77 |
0.40 |
0.27 |
0.72 |
0.14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.69 |
0.91 |
0.62 |
|
0.68 |
0.03 |
|
0.66 |
0.25 |
0.22 |
0.91 |
0.48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.14 |
0.22 |
0.56 |
0.85 |
0.14 |
|
0.09 |
0.89 |
0.32 |
|
0.05 |
0.05 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8. |
|
|
|
|
|
Вариант 9. |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.34 |
0.67 |
0.35 |
0.48 |
0.76 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.80 |
0.95 |
|
0.90 |
0.91 |
0.17 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
0.24 |
0.80 |
0.52 |
0.40 |
0.37 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.20 |
0.63 |
|
0.61 |
0.04 |
0.02 |
|||||
0.23 |
0.20 |
0.90 |
0.25 |
0.60 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0.15 |
0.95 |
|
0.33 |
0.47 |
0.64 |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.38 |
0.31 |
0.13 |
0.11 |
0.65 |
|
0.88 |
0.67 |
|
0.67 |
0.43 |
0.97 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0.64 |
0.03 |
0.23 |
0.66 |
0.53 |
|
0.98 |
0.95 |
|
0.11 |
0.68 |
0.77 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25
При построении графика используют следующий масштаб: пробег – в 1 мм 1 тыс. км, износ – в 1 мм 0,05 мм износа.
Обычно при производстве экспериментальных исследований получают ряд точек, по которым строят график зависимости у(х) (рисунок 4). Очень часто экспериментальные точки на таком графике располагаются не на одной линии и дают некоторый «разброс», то есть обнаруживают случайные отклонения от видимой общей закономерности. Эти отклонения связаны с неизбежными при всяком опыте ошибками измерения.
Известно, что через любые n точек с координатами (хi, yi) всегда можно провести кривую, выражаемую аналитически полиномом степени (n- 1), так, чтобы она в точности прошла через каждую из точек. Однако такое решение вопроса обычно не является удовлетворительным: как правило, нерегулярное поведение экспериментальных точек, подобное изображенному на рисунке 4 связано не с объективным характером зависимости у от х, а исключительно ошибками измерения.
Тогда возникает весьма типичная для практики задача сглаживания экспериментальной зависимости. Желательно обработать экспериментальные данные так, чтобы по возможности точно отразить общую тенденцию зависимости у от х, но вместе с тем сгладить незакономерные, случайные уклонения, связанные с неизбежными погрешностями самого наблюдения.
Для решения подобных задач обычно применяется расчетный метод, известный под названием «метода наименьших квадратов». Этот метод дает возможность при заданном типе зависимости у=f(x) так выбрать ее числовые параметры, чтобы кривая у=f(x) в известном смысле наилучшим образом отображала экспериментальные данные.
Часто вопрос о типе кривой у=f(x) решается непосредственно по внешнему виду экспериментальной зависимости. Например, экспериментальные точки, изображенные на рисунке 4е, явно наводят на мысль о прямолинейной зависимости вида у=ах+b.
26
Рис. 4 Варианты построения графиков зависимостей y(x) при экспериментальных исследованиях
27
Зависимость, изображенная на рисунке 4г хорошо может быть представлена полиномом второй степени у=ах2+bx=c. Очень часто бывает так, что вид зависимости (линейная, квадратичная, показательная и т.д.) известен из физических соображений, связанных с существом решаеморй задачи, а из опыта требуется установить только некоторые параметры этой зависимости. Пусть имеются результаты n независимых опытов, оформленные в виде простой статистической таблицы, где i – номер опыта; хi
– значение аргумента; уi – соответствующее значение функции. Точки (xi, yi) нанесены на график (рисунок 4д).
Из теоретических или иных соображений выбран принципиальный вид зависимости y=f(x). Функция y=f(x) содержит ряд числовых параметров а, b, c, … Требуется так выбрать эти параметры, чтобы кривая y=f(x) в каком-то смысле наилучшим образом изображала зависимость, полученную в опыте.
Рассмотрим часто встречающийся на практике случай , когда функция f линейна.
Пусть в опыте зарегистрирована совокупность значений (xi, yi) (i=1, 2, …, n; см.рис.4,е). Требуется подобрать по методу наименьших квадратов параметры а, b линейной функции
y = a x + b , (18)
изображающей данную экспериментальную зависимость. Имеем:
у = f (x; a, b) = a x + b , (19)
Требуется выбрать а и b так, чтобы выполнялось условие
∑n [yi − F ( xi ; a, b, )]2 = min |
(20) |
i=1 |
|
Найдем значения а и b, обращающие левую часть выражения (20) в минимум. Для этого продифференцируем ее по а и b и приравняем производные к нулю:
28
(21)
где ( df )i = f'a(xi; a, b) - значение частотной производной функции f по
da
параметру а в точке xi; ( df )i - аналогично.
db
Дифференцируя выражение (19) по а и b , и подставляя в формулы (21), получим два уравнения для определения а и b:
n
∑ [ yi – ( аxi + b)] х i = 0 i=1
n |
(22) |
∑ [ yi – |
( аxi + b)] = 0 |
i=1 |
|
В результате преобразований получаем
|
n |
n |
n |
|
|
n ∑ xi yi - ∑ xi ∑ yi |
|||
|
i=1 |
i=1 |
i=1 |
|
a = |
|
|
|
(23) |
n |
n |
|
||
|
|
|
||
|
n ∑ xi2 - (∑ xi)2 |
|||
|
i=1 |
i=1 |
|
|
|
n |
n |
|
|
i=1∑ yi – a i=1∑ xi
b =
n
29
Пример расчета
Результаты обработки измерений износа деталей подвижного состава Задано: пробег t1 = 20 тыс.км
Средний износ ȳ1 = 0,076 мм Дисперсия износа Д(у1) = 0,00045 мм2
При втором измерении после пробега t2 = 120 тыс.км средний износ ȳ2
= 0,356 мм. |
|
|
|
|||
Дисперсия износа Д(у2) = 0,00255 мм2. |
|
|||||
Средняя скорость увеличения износа |
|
|||||
|
ȳ2 – |
ȳ1 |
0,356 – 0,076 |
|
||
а = |
|
|
= |
|
= 0,0028 |
мм/тыс.км |
|
|
|
||||
|
t2 – t 1 |
120 – 20 |
|
|||
Скорость увеличения дисперсии износа |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
b = |
Д(у2) - Д(у1) |
= |
0,00255 – 0,00045 |
= 0,000021 мм/тыс.км |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
t2 – t 1 |
|
120 – 20 |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Среднее значение износа при t = 0 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
ȳ0 = ȳ2 - |
ȳ2 – ȳ1 |
|
|
t2 = 0,356 - |
0,356 – 0,076 |
|
120 = 0,02 мм. |
|
||||||||||
t2 – t 1 |
|
|
|
120 – 20 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Дисперсия износа при t = 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
Д(у2) - Д(у1) |
|
|
|
|
0,00255 – 0,00045 |
мм2 |
|||||||||
Д(у0) = Д(у2) - |
|
|
|
|
t2 =0,00255 - |
|
|
|
120 = 0,00003 |
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
t2 – t 1 |
|
|
|
|
|
120 – 20 |
|
|||||
Зависимость среднего износа деталей и дисперсии износа от пробега |
|
|||||||||||||||||
|
|
|
ȳ2– ȳ1 |
|
|
ȳ2 – ȳ1 |
|
|
|
|
|
|||||||
ȳ(t) = ȳ2 - |
|
t2 + |
|
|
t = 0,02 + 0,0028 t |
|
||||||||||||
t2 – t 1 |
t2 – t 1 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
Д(у2) - Д(у1) |
|
|
Д(у2) - Д(у1) |
|
|||||||||
Д(у(t)) = Д(у2) - |
|
|
|
|
|
|
t2 + |
|
|
|
t = 0,00003 + 0,000021 t |
|
||||||
|
t2 – t 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
t2 – t 1 |
|
|||||||||
При t1 = 20 тыс.км
30