Учебник Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

Типичная чебышевская АЧХ фильтра нижних частот показана при разных п на рис. 14.25, б. В полосе пропускания подобная АЧХ имеет осциллирующий характер с неизменной амплитудой осцилляции. Увеличить крутизну АЧХ при неизменной амплитуде осцилляции можно, лишь используя схему, с большим числом элементов п. Основное преимущество чебышевских фильтров по сравнению с максимально плоскими-меньшее число элементов в схеме при одинаковых значениях Вф1, Bф2, fc и f3.

Отметим, что при передаче через фильтр электромагнитных сигналов с достаточно широким спектром частот (широкополосные сигналы) важное значение имеет вид фазочастотной характеристики (ФЧХ) фильтра; ФЧХ-это зависимость аргумента <p2i

коэффициента передачи фильтра от частоты. Предполагается, что у идеального фильтра ФЧХ является линейной функцией частоты. При этом широкополосный сигнал проходит через такой фильтр без искажений. При одинаковых исходных данных ФЧХ максимально плоского фильтра более близка к линейной, чем аналогичная характеристика чебышевского фильтра.

Из (14.5) и (14.6) можно получить следующие формулы для определения числа звеньев в схеме фильтра:

для максимально плоского фильтра

На практике, как правило, синтез эквивалентных схем фильтров разных типов проводят с помощью синтеза схемы фильтра-прототипа нижних частот. Схема такого фильтра совпадает со схемой ФНЧ (рис.14.23) и имеет такое же число звеньев, а параметры его элементов обозначаются буквами g1,g2,…,gn(g0 g n+1) соответствуют активным сопротивлениям генератора и нагрузки). Эти параметры (иногда их называют g- параметрами) являются нормированными параметрами элементов ФНЧ, так как они равны параметрам элементов ФНЧ при ωс = 1 рад/с и RH=Rr=1 Ом. Для фильтра-прототипа g- параметры определяют по следующим формулам [34]:

для максимально плоского фильтра

361

Отметим, что для максимально плоских фильтров элеметы c одинаковыми значениями g в схеме (рис. 14.23) расположены симметрично относительно середины фильтра как для четных, так и для нечетных значений п. Поэтому ко входу и выходу фильтра

должны подключаться одинаковые сопротивления g0 = g n+1 чебышевских фильтров указанное свойство выполняется лишь для нечетного числа звеньев в схеме, при п четном симметрия нарушается и получается g0 ≠g n+1При необходимости подключения одинаковых сопротивлений ко входу и выходу чебышевского фильтра с четным числом звеньев (например, если фильтр встраивается в линию передачи с заданным волновым сопротивлением) следует включить в схему такого фильтра дополнительный трансформатор сопротивлений.

Исходными данными при синтезе эквивалентной схемы ФНЧ являются следующие величины (рис. 14.24): fc, f3, Вф1, Bф2, RH и вид АЧХ. Вначале с помощью исходных данных вычисляют по (14.7) или (14.8) число звеньев в эквивалентной схеме фильтра. Затем по формулам (14.9) или (14.10) рассчитывают g-параметры элементов схемы фильтра-прототипа. Для получения формул, связывающих величины индуктивностей и емкостей эквивалентной схемы ФНЧ с g-параметрами, приравняем нормированные проводимости (умноженные на RH) элементов, образующих параллельные ветви схемы, и нормированные сопротивления (деленные на RН) элементов, образующих последовательные ветви схемы, проводимостям и сопротивлениям соответствующих элементов фильтра-прототипа:

Рассмотрим синтез эквивалентной схемы ПФ, выполненной по лестничной схеме. Такая схема, состоящая из п последовательных и параллельных контуров из L и С, изображена на рис.14.26. И в этом случае при синтезе эквивалентной схемы испей. льзуют идеализированную АЧХ (рис. 14.27),

362

для которой в полосе пропускания фильтра fH≤f≤fB вносимое затухание Вф≤Вф1, а в полосе заграждения f≤f31 и f≥f32 вносимое затухание Вф>Вф2. Для максимально плоской аппроксимации этой АЧХ используется функция (14.5), а для чебышевской-функция (14.6), в которой необходима следующая замена частотной переменной:

Следует отметить, что при замене (14.13) АЧХ фильтра-прототипа переходит в АЧХ полосового фильтра (на рис. 14.28 показано преобразование максимально плоской АЧХ). Исходными данными при синтезе эквивалентной схемы ПФ (см. рис. 14.27) являются следующие величины: fH, fВ, f31 f32, Вф1, Вф2, RН И ВИД АЧХ. Вначале с помощью

исходных данных вычисляют по (14.7) или (14.8) при общее число контуров п в эквивалентной схеме фильтра, равное числу элементов в схеме фильтра-прототипа. Затем по формулам (14.9) или (14.10) рассчитывают g-параметры элементов схемы фильтра-прототипа. Действуя как и в случае синтеза эквивалентной схемы ФНЧ, несложно получить следующие формулы для расчета параметров элементов контуров эквивалентной схемы ПФ через g-параметры фильтра-прототипа:

в случае параллельных контуров

Аналогичным образом, используя результаты синтеза фильтра-прототипа и выбирая соответствующую замену частотной переменной в аппроксимирующей функции для АЧХ, синтезируются эквивалентные схемы фильтров верхних частот и режекторные фильтры

[35].

Рассмотрим еще одну эквивалентную схему фильтров, выполненную по лестничной схеме. Если в формулах (14.5) или (14.6), аппроксимирующих АЧХ фильтра прототипа

распространяется волна с фазовой скоростью vф, АЧХ фильтра-прототипа переходит в АЧХ, имеющую вид периодической функции частоты (на рис.14.29 показано подобное преобразование для максимально плоской АЧХ). При подобной замене частотной переменной реактивное сопротивление любого индуктивного элемента в схеме фильтрапрототипа (см. рис.14.23) переходит во входное реактивное сопротивление

363

сопротивление шлейфа. Аналогично реактивная проводимость любого емкостного элемента в схеме рис.14.23 переходит во входную реактивную проводимость разомкнутого шлейфа длиной l (см. формулу (12.28)), т.е.

волновое. сопротивление шлейфа. Значит, схема фильтра-прототипа рис.14.23 переходит в схему рис. 14.30, образованную последовательно и параллельно подключенными короткозамкнутыми и разомкнутыми реактивными шлейфами.

В отличие от ранее рассмотренных эквивалентных схем фильтров, содержащих элементы L и С с сосредоточенными параметрами, схема рис.14.30 содержит элементы (отрезки линий), размеры которых соизмеримы с длиной волны.

Такие элементы называют элементами с распределенными параметрами. Схемы, содер-

жащие элементы с распределенными параметрами, имеют периодические АЧХ, что связано с периодическими свойствами отрезка линии передачи. Поэтому поведение схемы рис.14.30 зависит от соотношения l/А. Например, на частотах, для которых

на рис.14.29), схема ведет себя как ФНЧ; при - как

ФВЧ; при 0 < l < Λ/2 - как режекторный фильтр, а при - как ПФ и т.д. Причем если схема рис.14.30 используется в качестве ПФ, то подобный фильтр будет иметь множество полос пропускания, центры которых находятся на частотах,

соответствующих длинам волн в линии

14.2.3. Реализация эквивалентных схем фильтров СВЧ

В диапазоне СВЧ, как правило, фильтры строят из элементов с распределенными параметрами. .При этом схемы, состоящие из элементов с сосредоточенными параметрами, рассматриваются как эквивалентные схемы. Синтезировав эквивалентную схему фильтра, как было показано выше, выполняют второй этап проектирования - реализуют полученную эквивалентную схему. Вначале пытаются с помощью элементов с распределенными параметрами смоделировать поведение сосредоточенных элементов

364

эквивалентной схемы. Однако такой подход к синтезу конструкции СВЧ фильтра является лишь начальным и весьма грубым приближением, поскольку при этом не учитывается ряд важных факторов, влияющих на АЧХ синтезированной конструкции: периодичность частотных характеристик элементов с распределенными параметрами, дисперсия в отрезках линии, влияние неоднородностей в полученной конструкции и т.д. Поэтому получаемую вначале конструкцию рассматривают как первое или начальное приближение при реализации. Затем для полученной конструкции строят уточненную эквивалентную схему, пытаясь учесть ее особенности (влияние неоднородностей, дисперсию и тепловые потери в отрезках линии и т.д.). Уточненная эквивалентная схема позволяет реализовать конструкцию фильтра во втором приближении и т.д. На практике, как правило, при разработке конструкции фильтров СВЧ используют декомпозицию и параметрический синтез конструкции, полученной в первом приближении (см.12.6).

Фильтр нижних частот на элементах с распределенными параметрами. Наиболее просто эквивалентную схему ФНЧ (рис. 14.23) можно реализовать с помощью коротких отрезков линии передачи, используя эквивалентные схемы таких отрезков, приведенные в табл. 12.1. В этом случае конструкция ФНЧ состоит из каскадного соединения коротких отрезков линии с высоким. ZBB и низким 2ВH волновыми сопротивлениями, включенного в разрыв линии передачи с волновым сопротивлением ZB, т.е. в данном случае RH=Rr=ZB. На рис.14.31 показана микрополосковая конструкция ФНЧ. Обычно при синтезе конструкции величины 2ВВ и 2ВН выбирают исходя из конструктивных особенностей линии, а требуемую величину индуктивности или емкости элемента обеспечивают подбором длин отрезков. Отметим, что величина волнового сопротивления линии должна выбираться из условия

физической реализуемости линии и отсутствия в ней высших типов волн. Поэтому, выбрав величины ZBB и ZBH, определяют по формулам синтеза для используемой в конструкции линии передачи (см. 10.6) величины wB и wH (рис.14.31). В первом приближении длины отрезков l 1 ,l2 ,…l n можно вычислить по формулам табл.12.2. Для определения более точных значений длин отрезков линии строим уточненную эквивалентную схему для нее (рис.14.32). Для этого каждый отрезок линии заменяем полной Т- или П-образной эквивалентной схемой (рис.12.35), величины концевых индуктивностей и емкостей LK0H и Скон определяем из (12.56) или (12.57) соответственно. Учет влияния дополнительных элементов схемы на конструкцию ФНЧ проводят следующим образом: вначале рассчитывают уточненные значения емкостей, не учитывая

концевые индуктивности, т.е. C1 =C1-Сконг2 ;Сз=Сз-Скон2-СКонз; …;Сп=Сп-Сконп-1,по которым рассчитывают длины нечетных отрезков, реализующие, эти емкости. Зная новые длины l 1

,l3 ,…l n вычисляем с их помощью концевые индуктивности и уточненные значения индуктивностей L2=L2-LKOH1 -1кон2;-;Ln-1'=Ln-1-Lконn-LкоH n-1, позволяющие наайти новые

365

значения длин четных отрезков l 2 ,l4 ,…l n-1.Процесс нахождения уточненных длин всех отрезков повторяют до тех пор, пока их значения не начнут приближаться к некоторым фиксированным величинам (итерационный процесс).

Уточнением эквивалентной схемы рис.14.32 конструкции ФНЧ (см.рис.14.31) является учет влияния неоднородностей, возникающих в местах стыка отрезков линии с высоким и низким волновыми сопротивлениями. На рис.14.33, а показаны неоднородность в микрополосковой линии, образованная скачкообразным изменением ширины полоски, и ее эквивалентная схема (рис.14.33, б), взятая из [36], где приведены также формулы для вычисления Са и La. Поэтому если в схему рис.14.32 в сечениях

1-1,2-2, ...,п-п добавить эквивалентные схемы неоднородностей (рис.14.33), то образуется более точная эквивалентная схема, позволяющая вычислить уточненные значения индуктивностей и емкостей, а следовательно, и более точные величины длин отрезков конструкции. Аналогично синтезируется конструкция ФНЧ на основе любой полосковой или коаксиальной линии.

Полосовые фильтры на элементах с распределенными параметрами. Включаемые параллельно параллельные контуры эквивалентной схемы полосового фильтра (рис.14.26) сравнительно просто реализуются в диапазоне СВЧ, например элементы 4 и б из табл. 12.1, выполненные на любой полосковой или коаксиальной линии; резонансная диафрагма в волноводе (см. рис. 12.38); параллельно подключенные к линии реактивные шлейфы определенной, длины (см.12.1.3); любой объемный резонатор, работающий в проходном режиме в линии передачи. Однако реализация последовательного контура, включенного последовательно в схему (рис.14.26), вызывает затруднения, что связано с необходимостью реализации последовательно подключенной емкости. Казалось бы, что зазор в центральном проводнике коаксиальной линии или в полоске полосковой линии позволяет решить эту задачу. Однако на практике такой зазор используют крайне редко, поскольку для реализации нужных величин емкостей могут потребоваться очень малые зазоры, что создает технологические трудности при изготовлении, кроме того, более точная эквивалентная схема зазора не последовательная емкость, а П-образная цепь, состоящая из последовательной и параллельных емкостей [36]. Обычно последовательно подключенная емкость реализуется с помощью сосредоточенного конденсатора, выполненного в виде ЧИП и изготовленного методами толстопленочной или тонкопленочной технологии [36]. Поэтому самое простое решение при реализации последовательного контура схемы рис.14.26-это каскадное соединение отрезка линии с высоким волновым сопротивлением, реализующим индуктивность, с сосредоточенным конденсатором. Такое решение приемлемо лишь на относительно низких частотах, когда допустимо использовать элементы с сосредоточенными лишь параллельные контуры, включенные параллельно.

366

Идеальный инвертор сопротивления (рис.14.34)-это четырехполюсник, характеризуемый коэффициентом инверсии Ки. Инвертор имеет следующие свойства: при подключении к его выходу сопротивления ZH его входное сопротивление ZBX= (KИ)2/ZH, а фазовый сдвиг, получаемый волной напряжения, проходящей с его входа на выход, равен nπ/2, где n- целое нечетное число. Благодаря свойствам инвертора последовательный контур, включенный в линию последовательно, имеет такое же входное сопротивление, что и параллельный контур, включенный параллельно с инверторами на каждой стороне. На этом основании эквивалентная схема полосового фильтра с использованием инверторов имеет вид, показанный на рис. 14.35. Поскольку при неизменном ZH (рис.14.34) величина ZBX инвертора зависит от К, то в эквивалентной схеме рис.14.35 по сравнению со схемой рис.14.26 имеются дополнительные степени свободы при реализации - коэффициенты инверсии инверторов. При этом, чтобы АЧХ схемы (рис.14.35) и схемы (рис.14.26) были бы идентичны, должны выполняться соотношения [35]

В сравнительно узкой полосе частот свойствами, близкими к свойствам идеального инвертора, обладает четвертьволновый отрезок линии передачи, волновое сопротивление которого играет роль коэффициента инверсии (12.29). Такие отрезки и применяют при реализации узкополосных полосовых фильтров, имеющих эквивалентную схему рис.14.35. Подобные конструкции называют фильтрами с четвертьволновыми связями между резонаторами. На рис. 14.36 показана микрополосковая конструкция двухзвенного полосового фильтра, реализующая схему рис.14.35. В качестве инверторов использованы четвертьволновые отрезки МПЛ, волновые сопротивления которых вычисляются по (14.17) в предположении, что все контуры состоят из элементов с одинаковыми параметрами. Контуры реализуются с помощью реактивных шлейфов

367

(элемент 4 в табл.12.1). Конструкцию (рис. 14.36) можно модифицировать, подключив к концу отрезков длиной l2 вместо короткого замыкания разомкнутый на конце четвертьволновый отрезок. При этом появляется дополнительное преимущество: через фильтр можно подавать постоянное напряжение смещения в случае, если к его выходу подключено полупроводниковое устройство.

На рис. 14.37 показана трехзвенная конструкция полосового фильтра на основе прямоугольного волновода, соответствующая эквивалентной схеме (рис.14.35). Фильтр выполнен в виде отрезка волновода, в котором на определенных расстояниях друг от друга впаиваются решетки из индуктивных стержней, образующие проходные объемные резонаторы с колебанием H101, реализующие контуры эквивалентной схемы. Количеством индуктивных стержней и их диаметром обеспечивают требуемую нагруженную добротность каждого резонатора (14.16). Поскольку фаза проходящей через неоднородность волны (в данном случае через решетку стержней) зависит от величины проводимости неоднородности, то длина каждого резонатора l1, l2 , l 3 будет несколько отличаться от Λ/2, и ее можно определить, зная проводимость каждой решетки. По той же причине и расстояния между резонаторами l12 и l2з будут несколько отличаться от Л/4. Необходимые для расчета формулы можно найти в [33]. Из-за неизбежных при изготовлении конструкции погрешностей резонансные частоты резонаторов в фильтре могут отличаться от требуемой. Для устранения этого в каждый резонатор вводится настроечный емкостной стержень, ввинчиваемый через широкую стенку волновода (рис. 14.37).

Отметим, что емкость, включенная в линию последовательно также обладает свойствами инвертора сопротивлений [35]. Поэтому при реализации эквивалентной схемы (рис.14.35) на полосковых или коаксиальной линии в качестве проходного резонатора используют полуволновый отрезок линии (элемент б в табл. 12.1 в гл.12), а в качестве инвертора - зазор в центральном проводнике линии, эквивалентной схемой которого в первом приближении и является последовательная емкость. На рис. 14.38 показана конструкция двухзвенного коаксиального полосового фильтра. Требуемые величины коэффициента инверсии обеспечиваются подбором

величины зазоров s1, s2 и s3. При этом длина каждого резонатора l1 и l2 будет несколько отличаться от Л/2 из-за влияния проводимостей зазоров. Необходимые формулы для расчета таких фильтров (в литературе они известны как фильтры с непосредственными

368

связями между резонаторами) можно найти в [35]. В конструкции (рис.14.38), использующей торцевую связь между резонаторами, весьма сложно получить широкие полосы пропускания, поскольку для этого необходима сильная связь между резонаторами (низкая нагруженная добротность резонаторов), а это требует изготовления очень малых зазоров между проводниками. Поэтому обычно для получения сильной связи между резонаторами фильтра используют боковую связь между проводниками линии (см.10.6). На рис.14.39 показана конструкция трехзвенного микро-полоскового полосового фильтра с боковой связью между резонаторами. В качестве контуров использованы объемные резонаторы, образованные полуволновыми отрезками линии, разомкнутыми с обеих сторон (см.рис. 11.15). Длины всех резонаторов равны Λ/2, a области связи с подводящими линиями и между резонаторами равны Λ/4. Сделав емкости всех контуров схемы (рис. 14.35) одинаковыми и определив величину емкости контура по (12.57) для выбранного объемного резонатора, можно из (14.17) найти коэффициенты инверсии

Волновые сопротивления для четной и нечетной волн в связанных линиях для каждой области ^^связи можно вычислить по формулам [35]:

Зная ZBe и ZBO, ПО формулам синтеза связанных линии рм.10.6) определяем геометрические размеры w и s для каждой области связи.

Отметим, что в конструкции полосового фильтра (рис.14.39) можно использовать резонаторы в виде полуволнового отрезка линии, замкнутого с двух сторон. Для уменьшения габаритов конструкции (рис.14.39) в качестве объемных резонаторов используют четвертьволновые отрезки линии, которые на одном конце разомкнуты, а на другомзамкнуты. При этом образуется весьма малогабаритная конструкция полосового фильтра. На рис. 14.40 показана микрополосковая пятизвенная конструкция полосового фильтра. Подобные фильтры называют в литературе фильтрами на встречных стержнях. Элементы короткого замыкания конструкции (рис. 14.40) можно использовать для крепления проводников при реализации фильтра на линиях с воздушным заполнением (например, симметричная или несимметричная полосковые линии). Применение линий с воздушным заполнением позволяет уменьшить тепловые потери в полосе пропускания фильтра. Как правило, уровень тепловых потерь в полосе пропускания фильтра определяет максимальное количество звеньев в схеме фильтра, которое может реализовать та или иная конструкция. Методика проектирования фильтров на встречных стержнях (рис. 14.40) с помощью фильтра-прототипа изложена в [35].

Отметим, что при использовании объемных резонаторов, образованных отрезками линии, разомкнутой на концах (см. рис.11.15), длины отрезков следует выбирать несколько меньше половины длины волны: l=Λ/2-2∆ l. Это связано с концентрацией электрического

369

поля на концах резонатора, что эквивалентно подключению к отрезку эквивалентной линии краевых емкостей. Величину укорочения 2 ∆ l можно рассчитать по следующим приближенным формулам [30]:

для микрополосковой линии

для симметричной полосковой линии 2∆ l ≈О.ЗЗb.

С вопросами проектирования фильтров верхних частот или режекгорных фильтров можно ознакомиться в [35].

14.2.4. Широкополосное согласование с помощью фильтров

Затухание, вносимое фильтром отражающего типа на любой частоте, определяется в основном отражением потока энергии от его входа. Поскольку для реактивного четырехполюсника без потерь справедливо равенство |S11|2=1-|S21|2, то для фильтра отражающего типа частотная зависимость коэффициента отражения от входа имеет такой же вид, как и АЧХ вносимого затухания (см. рис.14.25). На этом основании фильтры отражающего типа применяют для согласования комплексных нагрузок с линией передачи. При этом реактивное сопротивление нагрузки рассматривается как последний элемент эквивалентной схемы полосового фильтра. Полоса пропускания фильтра является полосой согласования нагрузки с линией передачи. Предположим, что требуется согласовать линию передачи с волновым сопротивлением ZB с нагрузкой ZH, эквивалентная схема которой показана на рис.14.41. В данном случае согласующим

устройством, включаемым между линией и нагрузкой, является полосовой фильтр, последний параллельный контур эквивалентной схемы которого образован емкостью нагрузки Сн и подключаемой ей параллельно индуктивности Ln. Величина Ln

определяется с помощью формулы , где f0-средняя частота требуемой полосы согласования. Поскольку С„ и R» заданы, то последний контур эквивалентной схемы полосового фильтра должен иметь при этом нагруженную добротность,

определяемую по формуле Поэтому добротности всех остальных контуров в схеме полосового фильтра Q1,Q2,.....Qn-1 следует

370