Учебник Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

трансформатора, нагруженного на ZH, можно вычислить по (12.29). Если подобрать ZTp так, чтобы его входное сопротивление ZBX=ZB, а это

выполняется при ZTp = √ZBZH, то в линии передачи не будет

отраженной волны. Поскольку ZB и ZTp являются действительными числами, то четвертьволновый трансформатор может согласовывать лишь чисто активные сопротивления нагрузки ZH.

При распространении падающей волны в линии (рис.12.18, а) в первом приближении будут возникать две отраженные волны: одна в месте соединения линии с трансформатором (сечение 1-1), вторая-в месте соединения трансформатора с нагрузкой (сечение 2-2), причем относительный сдвиг по фазе между отраженными волнами в линии равен тс, что достигается выбором длины lтр=Λ/4. Выбирая ZTp = √ZBZH, обеспечиваем равенство амплитуд отраженных волн, что приводит к их компенсации в линии, т.е. к согласованию линии с нагрузкой.

Четвертьволновый трансформатор можно использовать для согласования комплексной нагрузки ZH=RH +iXH с линией пере-дачи. В этом случае трансформатор включают на некотором расстоянии l1, от места подключения нагрузки к линии (рис. 12.18, б). Длину l1, вычисляют или по (12.26), или с помощью диаграммы таким образом, чтобы полное сопротивление в сечении 2-2 было чисто активным: Z2 = R2, а Х2 = 0. Поскольку нагрузкой для трансформатора в этом случае является R2, то его волновое сопротивление должно быть равно ZTp = √ZBR2.

К недостаткам согласования с помощью четвертьволнового трансформатора можно отнести трудность подстройки трансформатора после изготовления, а также необходимость использования отрезка линии передачи с волновым сопротивлением, отличным от волнового сопротивления согласуемой линии. Последний недостаток несуществен при проектировании полосковых трактов, однако может вызвать определенные трудности при проектировании коаксиальных трактов, в которых желательно использовать выпускаемые промышленностью коаксиальные кабели.

Отметим, что при согласовании волноводов с помощью четвертьволнового трансформатора используются волновые сопротивления для соответствующих волн в волноводе. Например, для согласования двух прямоугольных волноводов, работающих в одноволновом режиме на волне Н10 и имеющих одинаковые широкие стенки (а), но разные узкие (b1 и b2), используют четвертьволновый отрезок прямоугольного волновода с поперечными раз-

12.2.4. Широкополосное согласование нагрузки с линией

В отличие от ранее рассмотренных схем для узкополосного согласования, при синтезе которых полоса согласования не контролируется, при проектировании схем, обеспечивающих широкополосное согласование, задаются шириной полосы согласования

301

f и величиной Гдоп или КБВДОП. Синтез таких схем проводят исходя из условия, чтобы на всех частотах полосы f модуль коэффициента отражения в линии не превышал Гдоп. Если согласуемые сопротивления активны и не зависят от частоты (например, сочленение двух линий передачи с разными размерами поперечного сечения), между ними включают нерегулярный отрезок линии передачи, называемый переходом. На рис. 12.20 показана конструкция соединения двух МПЛ с разными волновыми сопротивлениями с помощью перехода. Различают плавные переходы, в которых размеры поперечного сечения изменяются непрерывно вдоль длины отрезка, и ступенчатые, образованные каскадным соединением регулярных отрезков линии с разными волновыми сопротивлениями.

Ступенчатые переходы. Переходы бывают монотонные, когда поперечные размеры отдельных отрезков, образующих переход, или только увеличиваются или только уменьшаются вдоль перехода (рис. 12.20, а), и немонотонные (рис. 12.20, б), в которых отсутствует подобное ограничение. В первом случае электрические длины всех отрезков перехода выбирают одинаковыми и равными l/Λ=0,25, а их волновые сопротивления должны возрастать (убывать) вдоль перехода. Во втором случае обычно для построения перехода используют отрезки регулярной линии с фиксированными волновыми сопротивлениями ZTp1 и ZTp2 и разными длинами l1, l2, ... ln, На практике немонотонные ступенчатые переходы находят ограниченное применение и в дальнейшем рассматриваться не будут. Вопросы проектирования таких переходов изложены в [37].

Рассмотрим монотонные ступенчатые переходы. Простейшим переходом является четвертьволновый трансформатор. Рассмотрим более подробно его принцип действия (см. рис.12.18,а), полагая, что трансформатор согласует линии передачи с волновыми сопротивлениями ZB1 и ZB2. Так как волновые сопротивления в схеме меняются дважды: сначала в сечении 1-1, а затем в сечении 2-2, то отраженная волна в линии является суперпозицией волн, отраженных от сечений 1-1 и 2-2. Коэффициент отражения

падающей волны в сечении 1-1 согласно (12.24) имеет вид Г1 = (ZTp-ZB1 )/(ZTp+ZB1). Пройдя путь lтр до сечения 2-2, волна получает сдвиг по фазе, равный βтр lтр, где βтр-коэффициент

фазы волны в линии, образующей трансформатор. В сечении 2-2 коэффициент отражения падающей волны равен Г2=(ZB2-ZTp)/(Z B2+ZTp). Пройдя путь lТр и получив фазовый сдвиг βтр lТр> вторая отраженная волна возвращается на вход трансформатора (сечение 1-1). Если пренебречь повторным отражением части энергии этой волны при переходе из трансформатора в линию с ZB1, то суммарный коэффициент отражения от входа

трансформатора Согласование достигается, когда Гвх = 0, т.е. когда волны, отраженные от сечений 1-1 и 2-2, противофазны, их амплитуды равны. Противофазность отраженных волн обеспечивают, выбирая lТР=Λ/4 (при этом 2βтр lтр = π). Волновое сопротивление ZTp находится из условия равенства амплитуд отраженных волн

, что позволяет записать (ZTP-ZB1)/(ZTP +ZB1) = = (ZB2-ZTP )/(ZB2+ZTP), откуда

Это совпадает с результатом, полученным в 12.2.3. Полная компенсация отраженных волн имеет место лишь на расчетной частоте, так как сдвиг фаз между ними

302

зависит от частоты. При этом чем меньше отличаются величины ZB1 и ZB2, тем меньше| Г1| и |Г2| (меньше амплитуды векторов поля отраженных волн), а значит, и меньше | Гвх | при одном и том же отклонении частоты от расчетной. Если величины ZB1 и ZB2 отличаются друг от друга достаточно сильно и с помощью одного четвертьволнового трансформатора невозможно получить требуемое согласование в заданной полосе -частот, применяют несколько каскадно включенных четвертьволновых трансформаторов (рис. 12.20, а). Чем большее число трансформаторов включено, тем шире полоса согласования при фиксированных значениях ZB1 и ZB2. Чем больше отличаются друг от друга ZB1 и ZB2, тем большее число четвертьволновых трансформаторов необходимо включить в переход, чтобы не превышался заданный уровень отражений в полосе согласования.

Наибольшее распространение на практике получили ступенчатые переходы с чебышевской и максимально плоской амплитудно-частотными характеристиками (АЧХ) коэффициента отражения. В случае чебышевского ступенчатого перехода, содержащего п ступенек, АЧХ описывается формулой [34]

-полином Чебышева первого рода порядка линии на нижней частоте полосы согласования.

Такой переход имеет оптимальные соотношения между полосой согласования, допуском на рассогласование и длиной перехода, т.е. позволяет получить минимальную длину перехода по сравнению с длиной перехода с иной АЧХ.

Максимально плоская АЧХ ступенчатого перехода, содержащего п ступенек, определяется формулой [34]:

Такой переход не является оптимальным по длине, но в отличие от чебышевского перехода он не имеет осцилляции коэффициента отражения в полосе согласования и его фазочастотная характеристика (ФЧХ) коэффициента передачи более близка к линейной.

На рис.12.21 показаны АЧХ чебышевского (пунктирная линия) и максимально плоского (сплошная линия) ступенчатых переходов, имеющих три ступеньки.

Если известны Гдоп и относительная полоса согласования f oтн, то количество ступенек в переходе можно рассчитать по следующим формулам [33]:

для перехода с чебышевской АЧХ

303

На практике вычисленная по (12.36) или (12.37) величина округляется до ближайшего большего целого числа. Длина каждой ступеньки равна четверти длины волны в линии на

-длины волн в линии на крайних частотах f, и f2 полосы согласования соответственно (рис.12.21).

Строгие и приближенные методы расчета волновых сопротивлений ступенек для переходов с рассматриваемыми видами АЧХ описаны в [33]-[35]. Точные формулы для вычисления волновых сопротивлений отдельных ступенек в переходе получены лишь для переходов с п<4. Например, в случае двухступенчатого пере-

Для переходов с л>4 точное вычисление волновых сопротивлений ступенек достаточно сложно и, как правило, требует применения ЭВМ. На практике обычно в этом случае используют приближенные формулы из [33].

Следует отметить, что в местах стыка отрезков линий с разными волновыми сопротивлениями образуется неоднородность, которая может быть представлена в эквивалентной схеме перехода в виде параллельно подключаемой емкости [33] (рис.12.22). Как, будет показано ниже (см.12.5), короткий отрезок линии, последовательно подключаемый в линию передачи (при условии, что волновое сопротивление отрезка меньше волнового сопротивления линии), может быть эквивалентно представлен в виде параллельно подключаемой емкости. Поэтому из-за влияния неоднородностей стыков полоса согласования реального перехода оказывается смещенной относительно заданной при расчете полосы в сторону более низких частот из-за увеличения электрической длины каждой ступени. Для устранения этого явления ранее определенные длины ступенек уменьшают, пытаясь скомпенсировать влияние емкостей в эквивалентной схеме. Уменьшение длины каждой ступени зависит от величины эквивалентной емкости. Приближенные формулы для вычисления длины ступенек можно найти в [33]. Уточненное значение длины ступенек в переходе определяется или экспериментально или с помощью анализа схемы ступенчатого перехода с учетом неоднородностей, возникающих в местах стыка отрезков линии с разными волновыми сопротивлениями.

Плавные переходы. На рис. 12.23 показано согласование двух микрополосковых линий с разными волновыми сопротивлениями ZB1 и ZB2 с помощью плавного перехода длиной l, являющегося отрезком нерегулярной линии, поперечные размеры которой изменяются непрерывно вдоль длины. Обычно увеличение поперечных размеров линии приводит к уменьшению волнового сопротивления и наоборот. Меняя соответствующим образом волновое сопротивление вдоль согласующего отрезка, можно обеспечить достаточно плавное его изменение, что устраняет резкие

304

скачки волнового сопротивления при стыке соединяемых линий, уменьшает величины неоднородностей, а значит, и отражения от них. Монотонные плавные переходы (см. рис. 12.23) в отличие от ступенчатых обеспечивают требуемое согласование (|гвх|≤ГД0П) . на частотах f≥f1 где f1,-граничная частота полосы согласования. На практике стремятся при заданной величине Гдоп обеспечить по возможности минимальную длину перехода. Эта задача решается путем выбора функции изменения волнового сопротивления вдоль перехода. Одним из наиболее простых и часто используемых на практике является экспоненциальный плавный переход, для которого волновое сопротивление ZB вдоль длины перехода изменяется по закону [30]

Данная формула получена с помощью соотношения (10.49).

В [31] для вычисления модуля коэффициента отражения от входа экспоненциального перехода длиной l приведена следующая приближенная формула:

305

На практике применяют плавные переходы- и с иными законами изменения волнового сопротивления вдоль длины перехода: гиперболические, чебышевские и др. Например, чебышевский плавный переход получается как предельный случай чебышевского ступенчатого перехода, в котором неограниченно увеличивается число ступенек и одновременно стремится к бесконечности верхняя частота полосы согласования f2, при этом длина каждой ступеньки стремится к нулю. Как и в случае ступенчатых переходов, чебышевский плавный переход является самым коротким из всех плавных переходов при заданных величинах Гдоп и ZB2/ZB1. Более подробная информация о плавных переходах имеется в [31, 33, 34].

Если сопоставить частотные характеристики плавных и ступенчатых переходов (см. рис.12.25 и 12.21), то легко заметить, что у плавных переходов коэффициент отражения на входе уменьшается по мере увеличения частоты. Следовательно, плавный переход обеспечивает хорошее согласование в значительно более широкой полосе частот, чем требуется. Поэтому плавный переход всегда длиннее, чем ступенчатый, при заданных

величинах Zдоп, ZB2/ZB, И f.

12.3. МАТРИЧНОЕ ОПИСАНИЕ ЦЕПЕЙ СВЧ

При построении математических моделей сложных цепей СВЧ обычно используют характеристические матрицы. Достаточно общую конструкцию произвольной цепи СВЧ можно представить в виде сочленения, образованного N линиями передачи, которые могут быть как одного, так и разных типов. На рис. 12.26 показано такое устройство, содержащее четыре подводящих линии (N=4). Линии передачи используются либо для подвода энергии от генератора к устройству, либо для подключения к нему внешних оконечных устройств (полезных нагрузок, поглощающих нагрузок, короткозамыкающих поршней и т.д.). Для построения математической модели рассматриваемого сочленения в каждой подводящей линии выбираем поперечное сечение, расположенное на некотором расстоянии от места сочленения. Проводим через эти сечения плоскости Т1,Т2.....TN (рис.12.26), которые в дальнейшем будем называть плоскостями отсчета фаз элементов характеристических матриц. Предположим, что расстояние от плоскостей отсчета до сочленения выбрано так, что в этих плоскостях можно пренебречь амплитудами нераспространяющихся волн, которые могут возникать в месте сочленения линий. Рассмотрим устройство, образовавшееся между плоскостями отсчета. Оно имеет N плеч, образованных отрезками линий передачи. Причем каждый свободный конец этих отрезков линии служит или входом, через который энергия вводится в устройство, или выходом, через который энергия выводится из него. Поскольку каждый отрезок линии может быть представлен отрезком эквивалентной линии, имеющей два входных зажима (полюса) на входе, то рассматриваемое устройство возможно представить эквивалентным многополюсником (рис.12.27). Причем если в каждом из N плеч устройства распространяется лишь один невырожденный тип волны, то эквивалентный многополюсник имеет 2N полюсов, обоз-

306

начаемых 1-1,2-2, ...,N-N. Рассмотрим случай, когда в одном или в нескольких плечах устройства будут распространяться несколько типов волн, т.е. линия, образующая такое плечо, работает в многоволновом режиме, или линия работает в одноволновом режиме, но по ней распространяются вырожденные волны (например, распространяющаяся по круглому волноводу волна H11 с круговой поляризацией вектора Е в центре волновода может быть представлена суммой двух вырожденных распространяющихся волн H11 с линейными взаимно перпендикулярными поляризациями векторов Е). При этом каждое плечо, в котором может распространяться несколько типов волн, следует представить в эквивалентном многополюснике несколькими входами или выходами по числу распространяющихся волн в плече; при этом многополюсник будет иметь 2n полюсов, где

п >N.

Заменив линии передачи эквивалентными линиями, а генераторы, оконечные нагрузки, короткозамыкающие поршни их эквивалентными представлениями, получаем для рассматриваемого устройства (рис. 12.26) эквивалентную схему (рис. 12.27), при этом в каждой эквивалентной линии могут распространяться соответствующие падающие и отраженные волны напряжений (токов). Поскольку мощность, переносимая волной напряжения (тока) по эквивалентной линии, зависит не только от амплитуды напряжения (тока) волны, но и от волнового сопротивления линии (12.2), обычно при рассмотрении свойств многополюсника, ко входам которого могут подключаться линии с разными значениями волнового сопротивления, вводят нормированные напряжение u(z) и ток i(z), распространяющиеся в каждой эквивалентной линии и связанные с напряжением Um(z) и током im(z) с формулами

307

где ZB - волновое сопротивление эквивалентной линии.

Величины u(z) и i(z) имеют одинаковую размерность √Вт, поэтому нормированное волновое сопротивление zB эквивалентной линии, в которой распространяются нормированные напряжение и ток, будет безразмерной величиной, равной 1:

Введем в каждой линии передачи (см. рис. 12.26) соответствующую систему координат так, чтобы продольная ось была направлена от сочленения, а ее начало было расположено в плоскости отсчета фаз рассматриваемой линии. При этом начало

отсчета продольных осей Z1Z2.....ZN в эквивалентной схеме (рис.12.27) совмещено с соответствующими полюсами 1-1,2-2, ...,N-N. Будем называть волны, распространяющиеся в плечах в сторону многополюсника, падающими, а волны, распространяющиеся от многополюсника,-отраженными. Пусть генератор создает в линии 1, подключенной к плечу 1 многополюсника, падающую волну напряжения..Эта волна, дойдя до сочленения, будет частично отражаться, вызывая в линии 1 отраженную волну, а частично, пройдя через многополюсник, поступит на выходы остальных плеч, вызывая в подключенных к ним линиях отраженные волны напряжений. Эти волны, в свою очередь, распространяясь по линиям, подключенным к плечам 2, 3,..., N многополюсника, будут в общем случае частично поступать в оконечные нагрузки, а частично отражаться от них, вызывая в линиях падающие волны напряжения. В свою очередь, падающие волны в линиях, подключенных к плечам 2, 3.....N, будут на входах многополюсника частично отражаться от сочленения, а частично проходить через него, вызывая отраженные волны в линиях, подключенных к плечам многополюсника, и т.д. Таким образом, в каждой плоскости отсчета устройства (см. рис.12.26) или на входах каждой пары полюсов в эквивалентной схеме (см. рис.12.27) будут действовать падающая и отраженная волны, которые будем характеризовать нормированными функциями иjпад и uj°тр, где j=1, 2, ...,N(рис.12.28,а). Каждая из указанных волн представляет

собой суперпозицию волн, созданных как непосредственно генератором, так и оконечными нагрузками линий, подключенных к выходам устройства. Согласно (12.9) и (12.10) в плоскостях отсчета или на полюсах многополюсника можно ввести полные

нормированные напряжения uп1, uп2, ..., unN и токи (рис. 12.28, б). В общем случае режим работы каждого входа многополюсника можно описать с помощью двух комплексных величин, например, для j-го входа это могут быть или

308

Поэтому можно ввести несколько различных описаний многополюсника, считая в каждой выбранной паре одну из величин независимой, а вторую зависимой. Наибольшее применение в технике СВЧ при описании свойств многополюсников нашла волновая матрица рассеяния || S ||, устанавливающая связь между нормированными напряжениями отраженных и падающих волн во всех плоскостях отсчета устройства или на всех полюсах его эквивалентной схемы.

Если рассматриваемое N-плечное устройство является пассивным и линейным (содержит лишь линейные среды), то в силу линейности уравнений Максвелла нормированное напряжение отраженной волны uj°тр в плоскости отсчета j-го плеча (на полюсах j-j многополюсника) можно рассматривать как суперпозицию волн, образовавшихся под воздействием падающих волн в плоскостях отсчета всех плеч устройства (на всех полюсах многополюсника при n = N):

где безразмерные комплексные величины, не зависящие от нормированных напряжений падающих и отраженных волн. Систему из N уравнений (12.42), устанавливающую связь между напряжениями падающих и отраженных волн на входах многополюсника, удобно записать в матричном виде:

Передаточные свойства многополюсника полностью определены, если известна его матрица ||S ||, записанная для выбранной системы плоскостей отсчета в каждом плече на заданной частоте. Вид матрицы не зависит от подключаемых к многополюснику устройств. Определиим физический смысл элементов Sjq матрицы рассеяния. Для этого рассмотрим частный случай работы многополюсника (рис.12.28, а): пусть к полюсам j-j подключен генератор, а к полюсам всех остальных плеч подключены сог-

Sqj-коэффициент передачи по нормированному напряжению от полюсов j-j к полюсам q-q многополюсника (от плоскости отсчета в плече q к плоскости отсчета в плече q устройства) при заданных выше условиях.

Рассмотренная выше матрица рассеяния называется нормированной, поскольку она устанавливает связь между нормированными напряжениями. Иногда вводят [33] ненормированную матрицу || S||, связывающую ненормированные напряжения отраженных и падающих волн в плоскостях отсчета каждой линии. В дальнейшем будут

309

рассматриваться лишь нормированные матрицы. Для таких матриц согласно (12.44) и

(12.41) что совпадает с коэффициентом передачи по мощности из плеча j в плечо q устройства при условии, что мощность (Pjпад)Cp подается на вход плеча j ,а во всех остальных плечах падающие волны отсутствуют. Поэтому для всех элементов матрицы рессеяния выполняется условие | Sqj| ≤1. Для ненормированной матрицы величина | Sqj |зависит не только от отношения мощностей (Pqотp)cp и(Рjпад)ср, но и от волновых сопротивлений линий, подключенных к полюсам j-j и q-q многополюсника.

Кроме матрицы ||s|| в технике СВЧ используют матрицу * сопротивлений и матрицу проводимостей. Матрица сопротивлений ||z|| устанавливает связь между полными нормированными напряжениями и токами на всех входах многополюсника (см. рис. 12.28,

б):

Последнее соотношение напоминает описание цепи с помощью матрицы сопротивлений в классической теории цепей [28]. Это позволяет с заданным многополюсником сопоставить некоторую цепь, называемую эквивалентной схемой, имеющую такую же матрицу сопротивлений. Следует отметить, что переход от многополюсника к эквивалентной схеме неоднозначен, так как имеется множество схем с одинаковыми матрицами сопротивлений. Эквивалентность между многополюсником и цепью, строго говоря, существует только на одной частоте, однако в некотором приближении можно рассматривать и узкую полосу частот вблизи этой частоты. Матрица проводимостей ||Y|| устанавливает связь между полными нормированными токами и напряжениями на всех входах многополюсника (рис. 12.28, б):

где j = 1,2,'...,N, или сокращенно || iп || = || У || • || ип ||. Хотя по аналогии с низкочастотными цепями можно определить физический смысл элементов матриц || Z|| и || У||, как сделано в [16], однако в общем случае в диапазоне СВЧ элементы этих матриц имеют формальный смысл, поскольку формальный смысл имеют и нормированные напряжения и токи в произвольной линии передачи. Напротив, элементы матрицы ||S|| имеют выясненный выше физический смысл в любом случае.

Матрицы ||Z|| и || У|| обычно более удобны при анализе последовательного или параллельного соединения многополюсников [33]. Используя (12.9) и (12.10), легко установить связь между матрицами [34]:

где ||/|| -единичная квадратная матрица порядка N, а (|| Z|| +||/||)-1-матрица, обратная матрице (|| Z|| + || /|).

Изменение положения плоскостей отсчета в плечах многополюсника.

Характеристические матрицы многополюсника определяются для выбранного заранее положения плоскостей отсчета в каждом плече Т1Т2, ...,TN (см. рис.12.26). На практике очень часто при экспериментальном определении элементов матриц многоплечных устройств бывает затруднительно, а иногда и невозможно измерить те или иные величины в поперечных сечениях линий, где расположены плоскости отсчета. Как правило, между измерительной аппаратурой и поперечным сечением, где расположена плоскость отсчета, оказывается включенным дополнительный отрезок линии передачи. Из-за этого измеренные величины относятся к новым плоскостям отсчета, сдвинутым в ту или иную

310