Учебник Пименов Ю.В., Муравцов А.Д. Техническая электродинамика, 2000

На рис.11.3 построена описываемая выражением (зд зависимость поперечной составляющей вектора Е от координаты z. На расстоянии l = рΛ/2 от точки z = 0, где Λ- длина волны в линии, а р- произвольное натуральное число, модуль поперечной составляющей, как это следует из (11.22) и видно из рис.11.3, обращается в нуль. Поэтому, не нарушая структуры поля в направляющей системе, в любое из сечений, где поперечная составляющая напряженности электрического поля равна нулю, можно ввести еще одну короткозамыкающую металлическую плоскость, перпендикулярную оси Z. Но отрезок линии между двумя короткозамыкающими пластинами представляет собой объем Vo, окруженный со всех сторон металлической оболочкой, т.е. является объемным резонатором закрытого типа. Если направляющая система открытого типа, то короткозамкнутый с двух сторон отрезок линии является открытым резонатором.

Таким образом, длина объемного резонатора равна целому числу полуволн колебания, распространяющегося в линии:

l = р(Λ/2), р = 1,2..... (11.23)

После подстановки (9.17) в (11.23) и решения полученного уравнения относительно X находим резонансную длину волны резонатора:

Классификация колебаний в объемных резонаторах, представляющих собой короткозамкнутый отрезок направляющей системы, осуществляется в соответствии с типом волны, стоячая волна которого образуется в резонаторе. Чтобы различать колебания с различным числом полуволн, укладывающихся вдоль оси Z резонатора, в указатель типа волны вводят дополнительный индекс р, равный числу полуволн в стоячей волне. Например, если в прямоугольном резонаторе колебание представляет собой стоячую волну, образованную в результате полного отражения волны Ню, причем вдоль оси Z уложилось четыре полуволны, то такая структура поля обозначается Н104- Аналогичный смысл имеют обозначения Нтпр, Етпр, ТЕМР, НЕтпр.

271

Так как у ТЕМ-волн критическая длина волны равна бесконечности, то в случае колебаний ТЕМР выражение (11.24) упрощается и принимает вид

Вывод формул (11.22) и (11.24) основан на предположении, что у волны, распространяющейся в линии передачи, обязательно существуют поперечные составляющие электрического поля, обращающиеся в нуль на короткозамыкающих пластинах. Для волн Нтп и ТЕМ это условие, очевидно, выполняется всегда, так как у этих волн вектор электрического поля лежит в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны. У волн Е, как следует из выражений (9.14) и (9.19), при

поперечные составляющие вектора напряженности электрического поля равны нулю в любом сечении линии передачи. В то же время продольная составляющая напряженности электрического поля и поперечный вектор магнитного поля отличны от

нуля. Поэтому при короткозамыкающие пластины можно вводить в

произвольные сечения линии с волной Етп, т.е. резонансная частота такого резонатора не зависит от его длины. Можно заметить, что данный результат есть частный случай (11.24),

так как при р = 0.Следовательно, у колебаний Етпр p≥O, тогда как у волн Нтпр, ТЕМР всегда р ≥1.

Отметим, что в линиях с ТЕМ- и квази-ГЕМ-волнами полное отражение от конца линии возможно не только в режиме короткого замыкания. Если поперечные размеры линии малы по сравнению с длиной волны, то распространяющаяся по линии волна ТЕМ (квазиТЕМ) практически полностью отражается от ее свободно оборванного (незагруженного) конца (режим холостого хода (XX)). При этом коэффициент отражения для поперечных составляющих вектора Е равен +1, и вместо (11.22) выполняется соотношение

Зависимость поперечной составляющей вектора Е от координаты z показана на рис.11.4. Образуя второй обрыв рассматриваемой линии на расстоянии l = рΛ2, р =1, 2..... от ее конца, получаем объемный резонатор.

11.2.2. Коаксиальный резонатор

Коаксиальный резонатор представляет собой отрезок коаксиальной линии, замкнутый с обоих концов проводящими пластинками. Поперечные размеры коаксиального резонатора, так же как и поперечные размеры коаксиальной линии, выбираются в соответствии с (10.55), что обеспечивает отсутствие резонансов высших типов волн. Резонансная длина волны определяется выражением (11.25), откуда следует, что длина коаксиального резонатора l = рλОр/2. Структура электрического и магнитного полей, а также эпюры, показывающие распределение этих полей вдоль полуволнового резонатора, изображены на рис.11.5.

Как уже отмечалось (см. 11.1.2), векторы Е и Н в объемном резонаторе сдвинуты по фазе на π/2. Если в какой-то момент времени, например t=0, электрическое поле обращается в нуль, то магнитное поле в этот момент времени имеет экстремум. Через четверть периода

272

(t= T/4) электрическое поле достигает экстремума, а магнитное обращается в нуль. Структура поля, показанная на рис.11.5, соответствует некоторому промежуточному моменту времени, когда отличны от нуля и электрическое, и магнитное поля.

Определим собственную добротность коаксиального резонатора, предполагая, что он заполнен диэлектриком без потерь. Вектор напряженности магнитного поля в резонаторе, как и в коаксиальной линии, имеет одну φ-ю составляющую, равную

Как показывает численный расчет по формуле (11.27), у коаксиальных резонаторов из меди собственная добротность на волнах до 10 см может достигать нескольких тысяч и быстро падает по мере уменьшения резонансной длины волны.

Коаксиальные резонаторы широко применяют в качестве волномеров, колебательных контуров в радиопередающих устройствах, в фильтрах и других приборах.

11.2.3.Резонатор в виде отрезка коаксиальной линии, нагруженной на емкость

Для уменьшения геометрической длины коаксиального резонатора, что особенно

важно на волнах длиной порядка 1 м и более, между центральным проводником коаксиальной линии резонатора и одной из короткозамыкающих пластин оставляют зазор (рис.11.6). Ширина зазора выбирается значительно меньше длины волны, что обеспечивает повышенную концентрацию электрического поля в зазоре, т.е. зазор эквивалентен конденсатору, подключенному к линии. Эквивалентная схема такого резонатора (рис.11.7) может быть представлена в виде короткозамкнутого с одной стороны отрезка длиной h коаксиальной линии, второй конец которой нагружен на сосредоточенную емкость. Резонанс в данной системе возможен, если только входное сопротивление короткозамкнутого отрезка линии длиной h имеет индуктивный характер в точках подсоединения к емкости С. Как известно из курса теории линейных электрических цепей и будет также показано в гл.12, короткозамкнутый отрезок линии обладает индуктивным

273

тивным входным сопротивлением при h < λ0/A. Поэтому общая длина такого резонатора Не превышает четверти длины волны. Отметим, что добротность резонаторов с емкостной нагрузкой несколько ниже, чем у полуволнового резонатора.

11.2.4. Прямоугольный резонатор

Прямоугольный резонатор представляет собой отрезок прямоугольного волновода, замкнутый с обоих концов проводящими пластинами (рис.11.8). Резонансная длина волны колебаний Етпр и Нтпр, в таком резонаторе определяется из формулы (11.24), которая после подстановки в нее выражения (10.12) принимает вид

У волны Етпр ни индекс т, ни индекс п не может быть равен нулю, поскольку существование волн Ео„ и Ет0 в прямоугольном волноводе невозможно. У волн Нтпр только один из индексов т или п может быть нулевым. Значение индекса р, равное нулю, допустимо для волн Етпр и невозможно для волн Нтпр (см. выше).Следовательно, в формуле (11.28) независимо от типа волны только один из трех индексов т, п или р может обращаться в нуль.

Низшее (основное) колебание имеет наибольшую резонансную длину волны. В прямоугольном резонаторе основным колебанием при b < а и b < l является H101, при а < b и а < l – H011, a при l<a и l<b- Е110. Обычно наименьшим размером является b.

274

Поэтому наиболее часто используется колебание Н101. Структура электромагнитного поля этого колебания в некоторый момент времени 0 < t <T/4 показана на рис.11.9. Собственная добротность резонатора с колебанием Нш может быть определена из формулы (11.16). Выполнив необходимые преобразования, получаем

Как показывает расчет, собственная добротность, прямоугольного резонатора достигает десятков тысяч в сантиметровом диапазоне волн.

11.2.5. Цилиндрический резонатор

Цилиндрический резонатор представляет собой отрезок круглого волновода, замкнутый с обоих концов проводящими пластинами (рис.11.10). Резонансная длина волны колебаний в цилиндрическом резонаторе определяется из формулы (11.24) и равна для волн Етпр (р ≥

0)

- корни функций Бесселя и их производных (см. 10.3).

Как видно из формул (11.30) и (11.31), основным колебанием в цилиндрическом резонаторе в зависимости от отношения l/а может быть либо Е010, либо H111. У колебания

E010 резонансная длина волны не зависит от l и равна У колебания

275

Так как не зависит от l, то резонатор, рассчитанный на это колебание, может иметь весьма небольшие габариты.

При анализе распространения волны Н01в круглом волноводе было показано, что при достаточно большом диаметре волновода можно добиться весьма малых потерь. Поэтому резонатор, в котором укладывается одна или несколько полуволн колебания Н01, должен обладать чрезвычайно высокой добротностью. Действительно ,

как показывает расчет по формуле (11.34), собственная добротность резонатора с волной Hori достигает сотен тысяч. При столь высокой добротности полоса пропускания резонатора на частоте 10000 МГц не превышает 100 кГц. Это позволяет использовать резонатор с волной H011 в качестве высокоточного волномера.

276

Чтобы иметь возможность перестраивать резонатор с одной частоты на другую, одна из короткозамыкающих металлических пластин выполняется в виде подвижного поршня (рис.11.14). По мере движения поршня меняется длина резонатора, что влечет за собой изменение его резонансной длины волны. Как видно из рис.11.14, поршень не касается стенок резонатора, т.е. электрический контакт между поршнем и стенками резонатора отсутствует. Объясняется это стремлением подавить колебание Е111, у которого та же резонансная длина волны, что и у Но11. Волна Но1, в круглом волноводе и, следовательно, колебание Н011 в резонаторе возбуждают на стенках только поперечные токи (jz=O). Поэтому небольшой зазор между поршнем и стенками резонатора вполне допустим и практически не влияет на электрические характеристики резонатора. В то же время зазор является препятствием для продольных токов волны E111 и делает невозможным резонанс этого колебания.

Следует отметить, что реальные значения Qo несколько меньше расчетных.

11.2.6. Полосковые резонаторы

Полосковый резонатор представляет собой отрезок полосковой линии, на обоих концах которого осуществлен режим XX. На рис.11.15 показан полосковый резонатор, выполненный на МПЛ. Его поперечные размеры так же, как поперечные размеры полосковой линии, выбираются из условия отсутствия высших типов волн и излучения из линии. Так как у волн ТЕМ и квази-ТЕМλкр=∞, то резонансная длина волны колебания ТЕМР и квази-TEMp равна λ0р=2l/р, р = = 1,2,.... Следовательно, длина резонатора l = рλОр12. Продольное сечение полуволнового резонатора на МПЛ и структура силовых линий электрического поля показаны на рис.11.16. Как видно, вблизи концов отрезка МПЛ наблюдается концентрация электрического поля, что эквивалентно включению некоторых емкостей между концами полоски и экраном. Из-за этого длина резонатора I выбирается несколько меньше λ0р12.

277

11.3. ПРОХОДНОЙ РЕЗОНАТОР

Рассмотрим резонатор в виде короткозамкнутого отрезка линии передачи, включенного в линию, в торцевых металлических стенках которого прорезаны одинаковые отверстия (рис.11.17). Отверстие на входе резонатора обеспечивает возбуждение колебаний в резонаторе, а отверстие на его выходе служит для передачи энергии в нагрузку. Резонатор рассматриваемого типа получил название "проходнойрезонатор" и широко применяется в технике СВЧ.

Нагруженную добротность подобного резонатора проще определить не из общего формулы (11.10), а из адекватного ей при

Q>>1 выражения

где fo,5- расстройка, при которой мощность на выходе резонатора уменьшается в 2 раза. Перейдем к определению зависимости коэффициента передачи резонатора т от частоты, что позволит рассчитать добротность по формуле (11.35). Торцевые металлические плоскости резонатора, в которых прорезаны отверстия, можно рассматривать как две диафрагмы, одна из которых находится на входе, а другая -на выходе резонатора. Поток энергии, соответствующий падающей электромагнитной волне, частично отражается от первой диафрагмы, а оставшаяся часть проходит в резонатор. Дойдя до второй диафрагмы, этот поток частично проходит через диафрагму и поглощается в нагрузке. Оставшаяся часть отражается от второй диафрагмы и распространяется в направлении к первой. Напряженность полного электрического поля за резонатором (при z = l) равна сумме напряженностей полей, соответствующих всем волнам, прошедшим через вторую диафрагму. Обозначим коэффициент отражения от диафрагмы через S11 (см. гл.12), а коэффициент прохождения - через S21 (рис.11.18). Если пренебречь мощностью джоулевых потерь в диафрагмах, должно выполняться равенство

После взаимодействия падающей волны с первой диафрагмой комплексная амплитуда напряженности электрического поля прошедшей через диафрагму волны равна

278

Прошедшая волна на пути от первой диафрагмы цр второй приобретает фазовый сдвиг βl. Она частично отражается от второй диафрагмы и частично проходит за нее. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля волны, прошедшей за

вторую диафрагму при Волна, отразившаяся от второй диафрагмы, распространяется по направлению к первой диафрагме и приобретает фазовый сдвиг βl.

Она частично проходит через первую диафрагму и частично отражается от нее. Отраженная волна доходит до второй диафрагмы, частично проходит за нее и частично отражается, и т.д. Комплексная амплитуда напряженности электрического поля волны, прошедшей вэтом случае через вторую диафрагму при z=l, равна

Комплексная амплитуда напряженности полного электрического поля за второй диафрагмой при z = e равна

Так как то ряд в (11.37) представляет собой бесконечно убывающую геометрическую прогрессию. Производя суммирование, определяем коэффициент передачи проходного резонатора:

Вычисляя абсолютное значение коэффициента т и используя (11.36), получаем

гдеφо=аrgs11. Как видно, при правая часть

выражения (11.38) равна единице (|τ|=1), т.е. вся мощность падающей волны поступает на выход резонатора. Такой режим называют резонансным. Найдем длину резонатора l, соответствующую данному случаю. Так как β = 2π/Λ, где Λ - длина волны в линии передачи, то

Зависимость Λ от длины волны λ = c/f для каждого типа волны определяется из соотношения (9.17). Длина волны λОр, и соответствующая ей частота fOp, на которой выполняется равенство (11.39), называется резонансной.

279

Как следует из (11.39), только при φО=О длина резонатора точно кратна целому числу полуволн. При φО<О (диафрагма индуктивная) длина резонатора меньше рΛ/2. При емкостной диафрагме (φ0 > 0) длина резонатора больше рΛ/2.

На частотах, отличных от резонансной, равенство (11.39) не удовлетворяется, и поэтому амплитуда прошедшей волны уменьшается.

Изменение величины |τ| от частоты определяется зависимостью β и φ0 от частоты. При малых изменениях частоты величину φ0 обычно можно считать постоянной. Зависимость величины β от частоты согласно (9.14) имеет вид

Аналогичная зависимость коэффициента передачи от частоты имеет место у параллельного контура, включенного параллельно в линию. Таким образом, эквивалентная схема линии передачи с включенным в нее проходным резонатором имеет вид, показанный на рис.11.19.

При выводе формулы (11.38) мы пренебрегли тепловыми потерями в диафрагмах и линии передачи. Поэтому найденная величина фактически является внешней добротностью резонатора. Если тепловыми потерями в резонаторе пренебречь нельзя, то нагруженную добротность можно рассчитывать по формуле (11.13), предварительно определив собственную добротность из (11.14), а внешнюю-из (11.42).

280