Лекции / Лекция 11

Лекция № 11

§ 9. Плоские волны в однородной изотропной среде с потерями и без потерь

9.1. Переход от сферической волны к плоской

Рассмотрим еще раз электромагнитное поле, создаваемое ЭЭВ в дальней зоне в безграничной однородной изотропной

среде без потерь. Предположим, что векторы E и H

требуется знать только в области V, размеры которой малы по сравнению с расстоянием до источника (r0). Введем декартову систему координат х, у, z, ось Z которой проведена вдоль радиуса-вектора, соединяющего середину вибратора Q

с точкой О, принятой за начало координат (рис. 9.1). В пределах области V можно

иметь как х-ю, так и у-ю составляющие, связанные соотношениями:

Поверхности равных фаз (ПРФ) в данном случае определяются уравнением z = const, т.е. представляют собой плоскости, перпендикулярные оси Z. Волну, ПРФ которой образуют семейство параллельных плоскостей, называют плоской волной. Таким образом, сферическую волну, создаваемую ЭЭВ, в пределах области V можно рассматривать как плоскую волну.

9.2. Свойства плоской волны в однородной изотропной среде

Исследуем основные свойства плоской волны, распространяющейся в безграничной однородной изотропной среде. Источники, создающие волну, находятся за пределами

уравнениям Гельмгольца. Предположим, что поле не зависит от координат х и у. Тогда уравнения Гельмгольца принимают вид:

где E 0 и E1 – некоторые векторные, в общем случае комплексные, постоянные.

Для анализа формулы (9.4) необходимо в параметре k отделить действительную и мнимую части. Ограничимся рассмотрением случая, когда потери в среде обусловлены только ее

Возводя в квадрат обе части последнего равенства и разделяя затем вещественную и

Предположим, что источник находится со стороны отрицательных значений координаты z. Тогда выражения 1) и 2) описывают волны, амплитуды которых возрастают по мере удаления от источника. Существование таких волн в рассматриваемом случае физически невозможно. Амплитуда волны типа 3) убывает с увеличением расстояния от источника, однако эта волна распространяется в направлении к источнику. Действительно, поверхности равных фаз волны типа 3) определяются уравнением = t + z = const. В

момент t = t0 в точке z = z0 фаза = 0 = t0 + z0. В момент t = t0 + t в точке z = z0 + z фаза = 1= t0 + t + z0 + z. Полагая 1 = 0, получаем t z. Следовательно,

положительным t соответствуют отрицательные значения z, т.е. волна распространяется в сторону отрицательных значений z. При сделанных предположениях о месте нахождения источника (рис. 9.1) такой волны не должно быть. Единственной волной, не противоречащей физическому смыслу задачи, является волна типа 4). В первом слагаемом

вектор. Непосредственно из уравнений Гельмгольца (9.3) дополнительной информации о

уравнениям Максвелла. Так как векторы E m и Hm не зависят от переменных х и у, то, проецируя указанные уравнения на ось Z, замечаем, что Ezm 0 и Hzm 0 . Таким образом,

Такие волны называют поперечными. Проецируя затем уравнения Максвелла на оси Х и

Таким образом, поле плоской волны в среде с проводимостью, отличной от нуля, определяется выражениями

При изменении удельной проводимости от нуля до бесконечности угол c увеличивается

к уменьшению абсолютной величины характеристического сопротивления, т.е. к увеличению | H | при заданном значении | E | . Это обусловлено тем, что величина H определяется как током проводимости, так и током смещения. В среде без потерь

Из полученных формул видно, что поле плоской волны в однородной изотропной среде обладает следующими свойствами.

бесконечности фазовый сдвиг возрастает от нуля до /4. На рис. 9.2 и 9.3 показаны зависимости мгновенных значений

векторов E и H от времени t в некоторой фиксированной точке пространства (z = z0) в среде с ≠0 (см. рис. 9.2) и в среде без потерь (см. рис. 9.3). На рис. 9.4 и 9.5 показаны

зависимости тех же величин от координаты z в некоторый фиксированный момент времени t = t0 для случаев ≠0 (см. рис. 9.4) и = 0 (см. рис. 9.5).

Фазовая скорость vф плоской волны находится так же, как в случае сферической волны. Используя формулу (9.13), рассмотрим перемещение z ПРФ за время t. В результате придем к равенству = z, из которого следует, что ≠0:

потерь с теми же и .

Параметр , определяющий фазовую скорость, называют коэффициентом фазы. Как видно

величина vф зависит от проводимости среды: при одинаковой частоте она будет меньше в среде с большей проводимостью.

Длина волны при 0:

Она меньше длины волны в среде без потерь с теми же и . Ее значение зависит от проводимости среды. При фиксированной частоте длина волны убывает с увеличением

Распространение волны сопровождается переносом энергии. При 0 комплексный вектор Пойнтинга

содержит как действительную, так и мнимую часть. Это означает, что имеется как активный, так и реактивный поток энергии. Средняя за период плотность потока энергии экспоненциально убывает вдоль оси Z:

При = 0 комплексный вектор Пойнтинга является чисто действительным и не зависит от координат:

Как видно, в этом случае имеется только активный поток энергии.

Возникновение реактивного потока энергии в среде с 0 может быть объяснено следующим образом. При распространении электромагнитной волны в среде возникают

электрические токи с плотностью j E , на поддержание которых расходуется часть

энергии волны. В свою очередь, возникшие в среде электрические токи, излучают электромагнитное поле: создают вторичную плоскую волну, которая складывается с

первичной, происходит непрерывный обмен энергией между волной и средой, что и приводит к возникновению реактивного потока энергии.

Скорость распространения энергии равна фазовой скорости:

Как видно, при 0 скорость распространения энергии зависит от частоты. В среде без

характеристическим сопротивлением волны, распространяющейся в среде без потерь с теми же и , т.е. равно Zc . Аргумент характеристического сопротивления c

изменяется от /4 (при f 0 ) до нуля (при f ).

Из изложенного следует, что свойства плоской волны, распространяющейся в среде с проводимостью и в среде без потерь, различны. Основное отличие состоит в том, что в среде без потерь параметры плоской волны (vф, vэ, , Zc и др.) одинаковы при любых частотах, а в среде с проводимостью они зависят от частоты. Зависимость свойств волны от частоты называется дисперсией, а соответствующие среды – диспергирующими. Отметим, что среда может быть диспергирующей и при = 0, если характеризующие ее параметры и зависят от частоты.

9.3. Волны в диэлектриках

Применяя дважды это приближенное равенство к выражению (9.7), получаем

Подставляя (9.22) в (9.16) и (9.17), находим

Аналогично преобразовывается и выражение (9.8) для коэффициента ослабления:

распространяющейся в реальном диэлектрике, мало отличаются от ее параметров в среде без потерь с теми же и . Коэффициент ослабления является малой величиной и в первом приближении не зависит от частоты. Дисперсионные свойства проявляются незначительно.

9.4. Волны в проводниках

В проводниках (например, в металлах) tg 1. Поэтому в выражениях для и можно пренебречь единицей по сравнению с tg . В результате получим:

Постоянные и нелинейно зависят от частоты. Следовательно, свойства волны на разных частотах будут существенно различаться. Формулы для фазовой скорости, длины волны и волнового сопротивления в этом случае принимают вид:

Сравним параметры плоских волн, распространяющихся в вакууме и в меди ( = 5,65 107 сим/м) на частоте 1 Мгц:

9.5. Затухание волн

Коэффициент ослабления волны, распространяющейся в проводнике, большая величина. Поэтому амплитуды векторов поля резко уменьшаются вдоль направления распространения: волна быстро затухает. Пусть амплитуда напряженности электрического

показывает, во сколько раз уменьшилась амплитуда волны при прохождении ею расстояния l .

Затухание измеряют в неперах (Нп) и децибелах (дБ). Затухание в неперах определяют как

определяет затухание волны при прохождении ею пути в один метр и измеряется в неперах

означает, например, что при прохождении волной расстояния в один миллиметр ее амплитуда уменьшается в е14,8 раз, т.е. примерно в 2,67 миллиона раз. Приведенный пример

показывает, что переменное электромагнитное поле на частотах радиотехнического диапазона практически не проникает в глубь проводника.

9.6. Глубина проникновения

Расстояние 0, при прохождении которого электромагнитное поле ослабевает в е раз, называют глубиной проникновения поля в среду. На расстоянии 0 ослабление составляет 1 Нп, т.е. 0 = 1 и, следовательно,

например, волна создается элементарным электрическим вибратором, расположенным на оси Z параллельно оси Х в среде без потерь. Тогда в области, примыкающей к оси Z и удовлетворяющей условиям, при которых сферическую волну можно приближенно считать

составляющую Ну. Поле такой плоской волны в среде без потерь определяется формулами

E совпадает с направлением оси Х, а другую половину периода – противоположно. Таким

образом, в фиксированной точке пространства (z = const) конец вектора E с течением времени перемещается вдоль отрезка прямой линии, а величина вектора изменяется в интервале [– E0, E0]. Волны, обладающие таким свойством, принято называть линейно

поляризованными. Плоскость, проходящую через ось Z и вектор E , называют плоскостью поляризации. В рассматриваемом примере плоскостью поляризации является плоскость

ХОZ.

Если источником волны является элементарный магнитный вибратор, параллельный оси Х, или элементарный электрический вибратор, параллельный оси Y, то вектор E имеет только

составляющую Еу, а вектор H – только составляющую Нх. Волна в этом случае также будет линейно поляризованной.

соотношениями (9.2). В общем случае выражение для вектора E плоской волны в среде без потерь записывается в виде:

где Exm и Eym – амплитуды составляющих Ех и Еу соответственно, а 1 и 2 – фазы этих составляющих в точке z = 0 при t = 0.

Для перехода к случаю среды с отличной от нуля проводимостью нужно в (9.34) заменить

Формулы (9.34) и (9.35) однотипны, и для дальнейшего достаточно исследовать любую из них, например (9.35). Волну (9.35) можно рассматривать как суперпозицию двух плоских линейно поляризованных волн

arctg Eym с плоскостью ХОZ (рис. 9.8).

Exm

Аналогичное явление имеет место также в том случае, когда разность между 1 и 2 равна целому числу :