Добавил:

Forster Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы Теории Электромагнитных Полей и Волн

Файл:

Лекции / Лекция 7, 8

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2025

Размер:

989.88 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

Таким образом, все векторы, характеризующие электромагнитное поле ( E ,	D ,	B ,	H ),
выражаются через две функции: векторный потенциал A и скалярный потенциал			и.
Следовательно, задача состоит теперь в том, чтобы найти функции A и и.

Подставляя формулы (7.14) и (7.18) в первое уравнение Максвелла и ограничиваясь случаем однородной изотропной среды, получаем

1		u	2 A
	rot rot A j grad			.	(7.19)
	rot rot A j grad	t	t2	.	(7.19)
		t	t2

Преобразовав левую часть уравнения (7.19) с помощью тождества (7.5), придем к равенству

			2	A
2	A				2	j	grad div A
2
		t

 

(7.20)

Упростим уравнение (7.20). Как уже отмечалось, вектор	A	был определен с точностью до

градиента произвольной скалярной функции. Следовательно, можно потребовать, чтобы вектор удовлетворял добавочному условию. Потребуем, чтобы

div A	u	0 .	(7.21)
	t

Уравнение (7.21) принято называть условием калибровки. С учетом (7.21) уравнение (7.20) принимает вид

	A		2	A	j
			2
2		t
2

				2

(7.22)

Аналогичное уравнение получается и для скалярного потенциала и. Подставив формулу (7.18) в третье уравнение Максвелла, получим

		div
grad div u	t	div
	t

Используя условие калибровки (7.21) и тождество уравнению

div

. grad u

	2	u

(7.23)

, приходим к

	u		2	u
			2

2		t
		t		2
				2

(7.24)

Таким образом, векторный и скалярный потенциалы, как и векторы	E	и	H	,

удовлетворяют неоднородным уравнениям Даламбера. Однако правые части уравнений для потенциалов имеют более простой вид. Поэтому уравнения (7.22) и (7.24) оказываются более удобными при решении конкретных задач.

Найдем частные решения уравнений (7.22) и (7.24), считая функции

и известными. Сначала

рассмотрим

уравнение

(7.24).

Предположим, что электрическое поле создается точечным

неподвижным

зарядом

постоянной

величины,

Q=const,

расположенным в начале координат. Вектор

этом

случае

определяется выражением (1.3). Так как поле не должно зависеть от

времени, то

A t 0

соотношение

(7.17)

принимает вид

E grad u . Расписывая grad u в сферической системе координат

r, ,

(рис. 7.1) и

учитывая, что вектор

в рассматриваемом случае может зависеть только от расстояния r

(от заряда Q до точки наблюдения), получаем

E r

(7.25)

где

- орт радиус-вектора, проведенного из начала координат в точку наблюдения.

Подставляя выражение (1.3) в (7.25) и выполняя интегрирование по переменной r, находим функцию и:

Постоянная интегрирования в формуле (7.26)

		Q	.
		4 r

принята равной нулю, чтобы при

(7.26)

r 0

функция и обращалась в нуль. Формула (7.26) полностью совпадает с известным из курса общей физики выражением для электростатического потенциала точечного заряда. Если

заряд сосредоточен в малом элементе объема следует переписать в виде

dV	с плотностью	, то формулу (7.26)

	dV	(7.27)

4 R	,

где R – расстояние от элемента

до точки наблюдения.

От формулы (7.27) легко перейти к выражению для электрического потенциала, создаваемого произвольным распределением зарядов в объеме V. В соответствии с принципом суперпозиции, получаем

1 4

		dV
	R
V

(7.28)

Значение и, определяемое формулой (7.28), можно рассматривать как решение уравнения

	2	u		,						(7.29)
	2
					u
				2	u
				2
получающегося из (7.24), если в последнем положить			t			0	. Уравнение (7.29) называется
					2
уравнением Пуассона.
Предположим теперь, что поле также создается точечным зарядом,									расположенным в
начале координат, но величина этого заряда меняется со временем								Q Q t		. Тогда в любой
										. Тогда в любой

точке, кроме начала координат, потенциал и будет удовлетворять однородному уравнению Даламбера:

	u		2	u
			2
2		t
2

				2

(7.30)

Для решения уравнения (7.30) удобно использовать сферическую Оператор Лапласа в этой системе координат определяется формулой:

2	1							1				1
2		2		r 2			2		sin		2		2
	r	2				r	2			r	2	sin	2
	r		r		r	r		sin		r		sin

систему координат.

2
		.
	2	.
	2

Так как поле создается точечным зарядом, потенциал и не должен зависеть от углов переписать в виде

расположенным в начале координат, то

и . Поэтому уравнение (7.30) можно

1
r	2

			u		2	u
	r	2				2
		2
r			r	t

Учитывая, что	1	v0	, и переходя от функции и к функции и1, связанной с и




соотношением	u1 ru , получаем

	2	u			1			2	u
		u		1	1				u		1
				1							1
r			2			2	t			2
			2		v	2				2
					v	0
						0

(7.31)

Общее решение уравнения (7.31) имеет вид

u1 f1 t

f 2 t

где

и f

- произвольные дважды дифференцируемые функции

аргументов	t	r	и	t
	t	v		t


		0

В том, что функции

	r	соответственно.

v
v
	0
			r				r
f1	t		r	и	f2	t	r	удовлетворяют уравнению (7.31), можно
f1	t			и	f2	t	v0	удовлетворяют уравнению (7.31), можно
			v0				v0

убедиться непосредственной подстановкой их в это уравнение. Таким образом, скалярный потенциал и можно представить в виде

		r
		r

	f1 t
u		v0
u	r
	r

	r
	r

f 2 t
	v0	.	(7.32)
		.	(7.32)

Первое слагаемое в выражении (7.32) представляет собой волну, распространяющуюся из начала координат вдоль радиусов r со скоростью света v0. Действительно, функция

	r		в


f1 t	v0

радиуса		r

фиксированный момент времени

const . В момент времени	t t

t имеет одинаковые значения на сфере

эта функция принимает то же значение на

сфере радиуса

, так как	t t	r v0 t	t	r	. Волны типа
	t t	v0	t	v0

1	f			r
	f	1	t
r		1
r				v0

принято

называть расходящимися сферическими волнами. Соответственно второе слагаемое в выражении (7.32) представляет собой сферическую волну, распространяющуюся из бесконечности со скоростью света v0 и сходящуюся в начале координат.

Отметим существенную особенность функций, описывающих волновые процессы. Они

всегда содержат множители вида f t

, характер зависимости которых от расстояния v

вдоль направления распространения волны в фиксированный момент времени повторяет характер их зависимости от времени в фиксированной точке пространства.

Если источники поля сосредоточены в конечной области, то сходящаяся сферическая волна может возникнуть только в результате отражения расходящейся сферической волны. Так как пространство считается однородным, то отраженной волны быть не может. Поэтому

функцию

f			r
f	2	t
	2
			v0

нужно считать равной нулю. Следовательно,

		r
		r

	f1 t
u		v0	.	(7.33)
u	r		.	(7.33)
	r

Очевидно, значения потенциала и	должны быть связаны, с интенсивностью источников
поля. В рассматриваемом случае	источником поля является точечный заряд Q t .

Выражение (7.33) должно быть справедливым при любом законе изменения функции Q t

. Так как в статическом случае потенциал и определяется формулой (7.26), то естественно

предположить, что

Тогда

f	t	r

1		v

		0

1 4

Q t

r v0

 

			r
	Q t		v
			v
u			0
u	4	r
	4	r

Если заряд сосредоточен в малом элементе объема



	.
	.
dV

с плотностью

(7.34)

, то по

аналогии с формулой (7.27) скалярный потенциал и можно представить в виде

			R
	t		v

u			0
	4	R

(7.35)

где R - как и ранее, расстояние от элемента

до точки наблюдения.

От формулы (7.35) легко перейти к выражению для скалярного потенциала, обусловленного произвольным распределением зарядов в объеме V:

			, , , t	R
	1			v	dV

u				0
			R
4		V

(7.36)



где	R	x 2 y 2			z 2 ; , ,		-	декартовы
координаты элемента			dV	;	х, у, z - декартовы координаты; точки

наблюдения		N; элемент		объема		dV d d d		(рис. 7.2).

Выражение (7.36) является частным решением неоднородного уравнения Даламбера (7.24).

Аналогичное решение можно записать и для уравнения (7.22). Для этого нужно в формуле

(7.36) заменить

на

, а на

j
. В результате получим:
				, , , t	R
			j	, , , t	0	dV
					0
A					v		,
A	4			R

		V
		V

(7.37)

Из формул (7.36) и (7.37) следует, что для вычисления электродинамических потенциалов A и и в произвольной точке пространства в момент времени t нужно брать значения


токов и зарядов в каждом элементе			dV	в более ранний по сравнению с t момент времени
токов и зарядов в каждом элементе				в более ранний по сравнению с t момент времени
t t v0
	R	, определяемый расстоянием		R от элемента dV до точки наблюдения N(х, у,
		, определяемый расстоянием		R от элемента dV до точки наблюдения N(х, у,

r). Иными словами, влияние источников электромагнитного поля оказывается не

	t v0
мгновенно: требуется некоторое время			R	, за которое электромагнитные колебания,

вызванные зарядами и токами в элементе		dV , успеют распространиться от этого элемента

до точки наблюдения.

Функции A и и в форме (7.36) и (7.37) часто называют запаздывающими потенциалами. Кроме электродинамических потенциалов A и и, используют также и другие потенциалы,

например, вектор Герца Ã . Этот вектор связан с потенциалами À и и соотношениями:

À	Ã	;	u div Ã	.
	t

7.2. Электродинамические потенциалы монохроматического поля

(7.38)

В случае монохроматических электромагнитных полей для определения поля по заданным

источникам обычно вводят комплексные электродинамические потенциалы A и u . Монохроматические электромагнитные поля описываются комплексными уравнениями Максвелла. Из второго уравнения системы, а также из формул (7.14) и (7.17) следует, что

векторы

. E

	.
и	H	можно представить в виде:
и		можно представить в виде:

.	1	.
H		rot A

;

(7.39)

. E

.grad u i A

(7.40)

причем вектор

. A

определяется уравнением (7.39) с точностью до градиента произвольной

скалярной функции.

Подставляя уравнения (7.39) и (7.40) в первое

дополнительное условие, связывающее потенциалы

уравнение системы и накладывая

.		.
A	и	u	(условие калибровки):
	и		(условие калибровки):

	.
div A i u 0		,
получаем уравнение
.	.	.

2 A 2 A jcm .

(7.41)

(7.42)

Аналогичное уравнение получается для потенциала

. u


	u	u	ст
	u	u
2	2

(7.43)

Отметим, что в случае

скалярный потенциал
	u

монохроматического поля можно исключить из рассмотрения и ограничиться рассмотрением одного векторного потенциала

. A . Действительно, выражая из получаем: . E

формулы (7.41)				через
формулы (7.41)			u	через
	i		.	.
	i	grad div A i A .
		grad div A i A .

. A

и подставляя в (7.40)

(7.44)

Для определения потенциала

. A

рассмотрим уравнение (7.42). Так как согласно методу

комплексных амплитуд умножение на величину

эквивалентно дифференцированию

по времени t , то уравнение (7.42) можно переписать в виде

		.	.
.	2	A
			jcm .	(7.45)
2 A	t2

Из сравнения уравнений (7.43) и (7.22) следует что уравнение (7.22) переходит в (7.43), если

в нем заменить на , на , а j на jcm . Таким образом, решение уравнения (7.43)

можно получить из выражения (7.37), если в нем произвести указанные замены. Учитывая,

что

где

	.
j	cm
j

. Am

.				1
cm	e	i t	и v0	1	, получаем
jm	e		и v0		, получаем

					.
					m
					A	4
						4	V
							V

- комплексная амплитуда вектора

	.	e	i k R
j	cm	e
j	m		R
	m

.		.

A A

dV ,
.
A	e	i t
A	e
m

 

;

(7.46)

R - расстояние от элемента

dV до точки наблюдения N (рис. 7.2), k .

В общем случае параметр k - комплексная величина. В среде без потерь, в которой

	, параметр	k		- вещественное число.
	, параметр			- вещественное число.

Подынтегральное выражение в (7.44), умноженное

комплексную амплитуду векторного потенциала

на

. d A

		, представляет	собой

	4
,		создаваемого	токами,

сосредоточенными в элементе

. В случае однородной изотропной среды без потерь оно

описывает сферическую волну,

расходящуюся

от

элемента

Скорость

распространения

такой волны

равна скорости света v0

и связана

с параметром k

соотношением v

. Длина волны определяется произведением скорости v0

на период

колебаний Т и равна

v T

. В случае среды с потерями параметр k имеет как

вещественную, так и мнимую части. При этом выражение:

d A jст dV e i k R

4 R

также описывает сферическую волну, расходящуюся от элемента

, но ее структура

сложнее структуры аналогичной волны в среде без потерь. Более сложными будут также соотношения, связывающие скорость распространения и длину волны с параметром. Интегрирование в формуле (7.46) можно рассматривать как суммирование всех волн,

приходящих в точку наблюдения из каждого элемента

, принадлежащего объему V.

Формула (7.46) определяет векторный потенциал A , если сторонние токи распределены в

объеме V с плотностью

j ст

. Если сторонние токи являются поверхностными

(распределены по поверхности S c плотностью представить в виде:

j ст

), то выражение (7.46) можно

где

	.
j	cm
j	S
	m

.		.
.		.
A		j
		cm
m		Sm
	S
	S

- комплексная амплитуда плотности

	e	i k R
	e	d S ,
		d S ,
		R

поверхностных сторонних токов, а

(7.47)

R -

расстояние от элемента d S до точки наблюдения N .

В случае линейного стороннего тока I ст I mст ei t - комплексная амплитуда векторного

потенциала A выражается формулой:

. Am

e i k R

I ст

m R

(7.48)

где Г - контур, вдоль которого протекает которого совпадает с направлением тока, а

ток	ст	;	dl	- элемент контура, направление
	I

R – расстояние от

до точки наболюдения N.

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Лекции

#
27.11.2025833.6 Кб0Лекция 1, 2.pdf
#
27.11.2025721.38 Кб1Лекция 10.pdf
#
27.11.20251.07 Mб0Лекция 11.pdf
#
27.11.2025687.72 Кб0Лекция 3.pdf
#
27.11.2025884.83 Кб0Лекция 4, 5, 6.pdf
#
27.11.2025989.88 Кб0Лекция 7, 8.pdf
#
27.11.2025914.79 Кб0Лекция 9.pdf