Лекции / Лекция 7, 8

Добавил:

Forster Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы Теории Электромагнитных Полей и Волн

Файл:

и, следовательно, проведенное выше

доказательство справедливо. При

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2025

Размер:

989.88 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И АНТЕНН

Основы теории электромагнитных полей и волн

Федотова Т.Н.

Москва 2025 г.

Лекция № 7

Постановка задач в электродинамике. Волновые уравнения

6.6. Теоремы единственности решения краевых задач электродинамики

Вводные замечания

При решении многих проблем радиотехники, электро- и радиосвязи, радиофизики и других научно-технических отраслей необходимо знать структуру электромагнитного поля в рассматриваемой части пространства. К таким проблемам относятся, например, разработка излучающих систем (антенн) и повышение их помехозащищенности, обеспечение электромагнитной совместимости радиотехнических устройств и систем, разработка различных линий передачи энергии и многое другие. Для расчета электромагнитного поля в каждом конкретном случае требуется решить соответствующую электродинамическую задачу.

Электродинамические задачи подразделяются на прямые и обратные. Прямые задачи электродинамики (задачи анализа) состоят в определении электромагнитного поля, создаваемого в рассматриваемой части пространства известными (заданными) источниками. Обратные задачи электродинамики (задачи синтеза) состоят в определении системы источников, создающих электромагнитное поле, обладающее требуемой (заданной) структурой. Прямые задачи электродинамики часто формулируют как краевые задачи, состоящие в нахождении электромагнитного поля, удовлетворяющего определенным (краевым) условиям на границе рассматриваемой части пространства. Различают внутренние и внешние краевые задачи. Пусть задана некоторая область V, ограниченная замкнутой поверхностью S (см. рис. 5.2). Определение поля внутри области V называют внутренней задачей. Соответственно определение поля во всем пространстве,

внешнем по отношению к области V (рис. 6.3), называют внешней задачей.

Возникающие на практике электродинамические задачи обычно весьма сложны и их решение удается получить лишь после введения ряда упрощающих предположений. Поэтому практически всегда вместо реальной задачи рассматривают некоторую модельную задачу, которая в той или иной степени отражает реальную ситуацию. Часто исходную задачу удается разбить на ряд более простых, каждая из которых позволяет учесть один или несколько влияющих факторов.

Уравнения Максвелла являются дифференциальными уравнениями в частных производных. Такие уравнения допускают множество решений. Однако из общих физических представлений очевидно, что при полном повторении условий эксперимента распределение поля должно быть одинаковым. Следовательно, в каждом конкретном случае электромагнитное поле должно удовлетворять не только уравнениям Максвелла, но и некоторым дополнительным условиям. Эти дополнительные условия определяются специальными теоремами, называемыми теоремами единственности решения задач электродинамики. Ограничимся доказательством этих теорем для краевых задач в случае монохроматического поля, причем будем считать, что в рассматриваемой части

пространства происходит (хотя бы и очень слабое) поглощение энергии, т.е. что Pп ср 0

Единственность решения внутренних задач электродинамики

Покажем, что внутренняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на граничной поверхности S (рис. 6.1) выполняется одно из следующих четырех условий:

- в каждой точке	М поверхности	S	задана проекция вектора
касательную к S в точке М (Е-задача):
		E	M f M , M S ;

- в каждой точке	М поверхности S	задана проекция вектора		H
задача):
	H M g M , M S ;

E	на плоскость Р(М),

(6.77)

на плоскость Р(М) (Н-

(6.78)

- на одной части поверхности S

(обозначим ее S1) задана проекция E вектора

. E

, а на

другой части (S2) - проекция H задача):

E	M F	M
	1

вектора Hпри M S1

на плоскость Р(М), причем

и H	M F	M при М
	2
	. .

S1 + S2 = S

S	2	;
	2

(EН-

(6.79)

- в каждой точке М соотношением

причем

поверхности S проекции векторов

и H на плоскость Р(М) связаны

E	M Z M H	M ,	M S ,	(6.80)

	Re Z M 0 .			(6.81)

Условие (6.80) часто называют импедансным краевым условием. Очевидно, что векторы

. E

и H , образующиеся при проецировании

. E

. H

на плоскость Р(М), имеют различное

.	.	.		.
направление: E t	E ,	H	t '	H	'	, t '
	0	'	0		'	0
в плоскости Р(М).				f M ,
В формулах (6.77) - (6.81)		через		f M ,
известные (заданные) функции точки						M

t	, где
0
g M ,
S .

	0	и
	0		0

F	M
1

- единичные векторы, лежащие

F	M и Z M обозначены
2

. .

Предположим, что существуют два различных решения поставленной задачи E1, H1 и

E	, H	2
2		2

и рассмотрим их разность:

. .

Векторы E1, H1 и

. .
E	, H	2
2		2

. . .				. . .
E E E		2	,	H	3	H	1	H	2	.
3	1

удовлетворяют уравнениям Максвелла:

.	.	.		.	.


rot H	i E j	cm	,	rot E1	i H1

1	1

(6.82)

(6.83)

.	.	.	.	.

rotH2 i E2 jcm ,			rot E2 i H2		(6.84)

. и одинаковым краевым условиям на поверхности S. Уравнения Максвелла для поля E3

получаются почленным вычитанием уравнения (6.84) из (6.83). При этом векторы

,H3

jcm

. .

сокращаются, и уравнения Максвелла для поля E3 , H3 принимают вид:

На поверхности S поле

-в случае Е-задачи:

-в случае H-задачи:

-в случае ЕН-задачи:

			rot H	3	i E							,	rot E i H			3	.	(6.85)
				3						3			3			3
. .
E	, H	3	должно удовлетворять следующим краевым условиям:
3		3
					E				M 0,				M S	;				(6.86)
						3
				Н		3		M 0,					M S	;				(6.87)
						3
			E3 M 0									при M S1,
			E3 M 0									при M S1,						(6.88)
			H3 M 0									при М S2						(6.88)
			H3 M 0									при М S2			,

							S S			2	S ;
									1	2

- в случае импедансного краевого условия (6.80):

E	Z M H	3	M ,
3		3

(6.89)

Составим уравнение баланса для средней за период мощности разностного поля

E	, H	3
3		3

Так как векторы

, H

удовлетворяют уравнениям Максвелла (6.85),

то мощность

сторонних источников разностного поля

ст

равна нулю, и уравнение (6.61) принимает

3ср

вид

, H

dS 0

(6.90)

3 ï ñð

Так как

dS n d S ,

где

- орт внешней нормали к поверхности S, то произведение

определяется только касательными составляющими векторов

3 . В

, H

	.	*
	.	*
случае выполнения условий (6.86) - (6.88) произведение	E	, H		dS	на поверхности S
	3		3
	3		3

обращается в нуль. При этом из (6.90) следует, что:
P		0 .
3п ср
Предположим вначале, что потери энергии в объеме
проводимости 0 , т.е. что 1 i	,		а

В этом случае уравнение (6.91) принимает вид:

(6.91)

V обусловлены только наличием

						.	2
						.
						3	dV 0 .
						E	dV 0 .
					V
Так как	0	, а	.		то из равенства (16.16) следует,
Так как	0	, а	E	0	то из равенства (16.16) следует,
			E	0
			3

уравнение Максвелла, записанное относительно векторов

(6.92)

что E3 0 . Используя второе

.	.	.
E3	и H3 , получаем H3 0 .

. . . .

Следовательно, E2 E1 и H 2 H1 , т.е. задача имеет единственное решение.

Рассмотрим теперь краевое условие (6.80). В этом случае подынтегральное выражение во втором слагаемом может быть преобразовано следующим образом:

.		*			.		*				.		*		dS Z		.		*		dS Z		.
	E	, H	3	dS		E	, H	3	n	dS Е		3	H	3	dS Z	M	H	3	H	3	dS Z	M	H	3
	3		3			3		3	0			3		3				3		3				3

из (6.90) получаем соотношение:

2	dS

. При этом

						.	2
					1	.		1		2
					1	E3	dV	1	Re Z M H3	2	dS 0.
					2	E3	dV	2	Re Z M H3		dS 0.
					2	V		2	S
						V			S
Так как	.	,	.		0 и, кроме того,		выполняется условие (6.81), то
Так как	E 0	,	H	3	0 и, кроме того,		выполняется условие (6.81), то
	3			3

(6.93)

равенство (6.93)

	.
возможно только при	E	0
	3

решение Единственность решения в

. Таким образом, и в этом случае задача имеет единственное

более общем случае, когда	r		i	и			i ,
	r	r	r		r	r	r
					r

доказывается аналогично на основе анализа уравнения (6.90).

	.
средней за период мощности потерь в объеме V для поля	E	3	,
		3

на основе равенства (6.69).

Единственность решения внешних задач электродинамики

При этом выражение для

.
H	3	должно быть записано
	3

В случае внешней задачи электродинамики поверхность S не охватывает рассматриваемую часть пространства, простирающуюся до бесконечности. Поэтому для единственности решения кроме одного из условий (6.77) - (6.80) требуется задать дополнительное условие,

характеризующее поведение векторов

в точках, бесконечно удаленных от

поверхности S. Выясним, каким должно быть это дополнительное условие.

Пусть на S выполняется одно из условий (6.77) - (6.80). Предположим, что имеется два

решения задачи

H	1

и	E

H	2

, и введем в рассмотрение разностное поле

E	3

H	3

, по

формулам (6.82). Как и в случае внутренней задачи электродинамики, векторы

E	3

H	3

удовлетворяют уравнениям Максвелла (6.86) и одному из условий (6.87) - (6.89) на поверхности S. Из произвольной точки О внутри области V мысленно проведем сферу радиуса r так, чтобы вся область V и все сторонние источники оказались внутри этой сферы. Объем, заключенный между поверхностями S и S’, обозначим через V (рис 6.3). Составим

уравнение баланса для средних за период значений мощности поля

	1			.	*			1			.	*
				.	*						.	*
P		Re		E	, H	3	dS		Re		E	, H	3	dS
3n cp	2			3		3		2			3		3
	2		S					2		S '
Перейдем в уравнении (6.94) к пределу при							r . Тогда область

E	3

0 .

, H 3	в объеме V .
	(6.94)

распространится на

все пространство, внешнее по отношению к области V. Если в пределе третье слагаемое в левой части уравнения (6.94) окажется равным нулю, то получающееся при этом соотношение

	1	.	*
lim P3 п ср		Re E3	, H3	dS 0	(6.95)
lim P3 п ср	2	Re E3	, H3	dS 0
r	2
		S

не будет иметь принципиальных отличий от аналогичного уравнения (6.90) для внутренней задачи электродинамики, и, следовательно, рассматриваемая задача также будет иметь единственное решение. Действительно, при выполнении условий (6.77) - (6.79), второе слагаемое в левой части (6.95) обращается в нуль, и это уравнение принимает вид

В частном

когда

lim P		0 .	(6.96)
r	3п ср
r

случае, когда потери в среде обусловлены только наличием проводимости, т.е.1 i , и (6.96) записывается в форме

		.	2
		.
		3
lim		E	dV
r	V
	V

(6.97)

Так как

0 ,

.
E
3

, то из (6.97) получаем E3 0 , а из второго уравнения Максвелла -

.				. .			.		.
H	3	0	. Следовательно,	E	E	и	H	2	H	1
	3		. Следовательно,	2	1	и		2		1

Если на поверхности S выполняется условие

(6.80), то из уравнений (6.95) и (6.89) имеем:

			.	2
1			.		1			Z M H		2
1			3	dV	1				3 t	2
	lim		3			Re			3 t	dS 0	,
	lim		E		2	Re				dS 0	,
2 r		V			2		S
		V					S

откуда также следует единственность решения.

В общем случае, когда		r		i	и
		r	r	r


r	r
r

i r

, единственность решения

доказывается также на основе формулы (6.96) для краевых условий (6.77) - (6.79) и на основе уравнения (6.95) в случае краевого условия (6.80). При этом должно быть использовано соотношение (6.69).

Найдем условие, при котором

(6.98)

поверхность S’ возрастает пропорционально r2. Поэтому для выполнения условия (6.98)

необходимо, чтобы абсолютная величина произведения	.	*		при	r	убывала
необходимо, чтобы абсолютная величина произведения	E , H			при	r	убывала
		3	3

быстрее r 2 . Для этого достаточно потребовать, чтобы искомые векторы E и H убывали

быстрее, чем	1	.
	r

Таким образом, внешняя задача электродинамики имеет единственное решение, если на

поверхности S, ограничивающей объем	V, выполняется одно из условий (6.77) - (6.80) и,
кроме того, при r векторы E и H	убывают быстрее, чем	1	. Последнее всегда имеет
		r

место, так как в любых реальных средах имеются потери энергии Отметим, что теорему единственности для внешней задачи электродинамики можно

доказать и в случае среды без потерь, если вместо условия убывания векторов E и

r	быстрее	1	потребовать выполнения следующих условий:
r	быстрее	r	потребовать выполнения следующих условий:
		r
				.				.
				.				.
			lim r E		r , H				0,
			r				0
			r


				.				.


			lim r H			r , E			0.
			r				0

при

(6.99)

Предельные соотношения (6.99) называются условиями излучения Они были сформулированы Зоммерфельдом. Физически эти условия эквивалентны требованию,

чтобы при r поле имело характер поперечных волн, распространяющихся вдоль
направления r	(предполагается, что источники поля находятся на конечном расстоянии от
0
поверхности S).
Отметим, что в тех случаях, когда поверхность S имеет особенности типа изломов, острых

кромок и др., для единственности решения краевой задачи электродинамики перечисленных условий недостаточно Необходимо выполнение дополнительных условий,

определяющих поведение составляющих векторов E и H вблизи этих особенностей

К таким условиям относятся, в частности, "условия на ребре", сформулированные Мейкснером для случая идеально проводящих тел.

Из приведенного выше доказательства единственности решения краевых задач электродинамики следует, что при отсутствии потерь энергии в области V решение внутренней задачи может быть неединственным. Физически это означает, что в такой системе, помимо полей, созданных непрерывно действующими сторонними источниками, могут существовать незатухающие поля, созданные когда-то действовавшими сторонними источниками (но в рассматриваемое время переставшими действовать). Эти поля из-за отсутствия потерь в среде могут существовать сколь угодно долго (например, собственные колебания объемного резонатора).

§ 7. Волновые уравнения.

Большинство задач электродинамики можно отнести к двум классам. В задачах первого класса требуется найти векторы электромагнитного поля по заданным источникам (прямые задачи электродинамики). В задачах второго класса, наоборот, по заданному распределению поля требуется найти его источники (обратные задачи электродинамики). Здесь будут рассмотрены некоторые методы подхода к решению задач первого класса.

Определение векторов поля непосредственно из уравнений Максвелла затруднительно, поэтому целесообразно преобразовать их таким образом, чтобы получить дифференциальные уравнения, более удобные для решения указанных задач.

Предположим, что среда является линейной, однородной и изотропной. Рассмотрим систему уравнений Максвелла (3.38) совместно с уравнениями состояния (3.39). Возьмем ротор от обеих частей первого уравнения Максвелла и изменим порядок

дифференцирования по времени и координатам. Учитывая соотношение

rot rot H rot j		rot E .
	t

D E , получаем

(7.1)

Левую часть уравнения (7.1) преобразуем с помощью тождества из векторного анализа:

rot rota grad diva

где 2 - оператор Лапласа.

В декартовой системе координат оператор Лапласа

2	2	2	2
				.
	x 2	y 2	z 2

	a ,
2

определяется выражением:

Так как

divH

, то

rot rot H grad divH 2 H 2 H . Учитывая, кроме того, что

rot E H , перепишем уравнение (7.1) в формеt

2	H	2	H	rot j .	(7.2)
		t2

Уравнение (7.2) эквивалентно трем скалярным уравнениям:

H y

которые, как мы уже знаем, относятся к уравнениям вида

		1			2	u	f x, y, z, t
2	u

			2	t		2
		v

(7.3)

(7.4)

и называются неоднородными уравнениями Даламбера, или неоднородными волновыми

уравнениями,	так как они описывают волновые процессы, причем параметр v равен
скорости этих процессов.		x, y, z,t 0 называют однородными
Аналогичные	уравнения с правой частью f

уравнениями Даламбера, или однородными волновыми уравнениями. Уравнение (7.2) отличается от (7.4) только тем, что входящие в него функции являются векторными. Поэтому уравнения такого типа называют неоднородными векторными уравнениями Даламбера. Соответствующие уравнения, правые части которых равны нулю, называют однородными векторными уравнениями Даламбера.

Для вектора E также можно вывести уравнение вида (7.2), взяв ротор от обеих частей второго уравнения Максвелла и выполнив аналогичные преобразования. Учитывая, что

и используя первое уравнение Максвелла, получаем

	E		2	E	j	1	grad .
			2
2		t			t
2
				2
				2

В дальнейшем будет показано, что входящий в уравнения (7.2) и (7.5) параметр

(7.5)

(7.6)

	1	,
		,

являющийся аналогом параметра v, входящего в уравнение (7.4), в случае среды без потерь также играет роль скорости распространения электромагнитного поля и равен скорости света v0 в рассматриваемой среде. Этот результат не является неожиданным, так как свет - это электромагнитные колебания определенного диапазона частот.

Если в исследуемой области пространства имеются сторонние токи и заряды, то, преобразовав аналогичным образом соответствующую систему уравнений Максвелла,

придем к следующим уравнениям для векторов

j jст

2 E

grad ст

(7.7)

2 H

rot j j

ст

Обычно уравнения (7.7) записывают в несколько иной форме. Используя равенство

j E

и второе уравнение. Максвелла,

можно выражения

и rot j , входящие в (7.7),

привести к виду

соответственно.

Ограничиваясь рассмотрением

установившихся электромагнитных процессов (в этом случае

0 ), получаем

ст

rot j

ст

	grad	ст
		ст

(7.8)

В случае монохроматического поля, переходя в уравнениях (7.8) к комплексным векторам

.		.
E	и H		, получаем:
					.				.				1
				2	E			E		i j		ст	1		grad
				2			2					ст

							.			.	rot j					,
							H		H		rot j					,
						2		2						ст
где			- комплексная диэлектрическая проницаемость среды.

ст

;

(7.9)

(7.10)

Уравнения (7.9) и (7.10) можно получить непосредственно из уравнений Максвелла для монохроматического поля. Поэтому они справедливы и в общем случае, когда диэлектрическая и магнитная проницаемости среды являются комплексными величинами. Если в рассматриваемой области пространства отсутствуют сторонние источники (

	ст	0 ,	j	ст	0 ), то уравнения (7.9) и (7.10) упрощаются. Введя вместо
		0 ,	j		0 ), то уравнения (7.9) и (7.10) упрощаются. Введя вместо
магнитную проницаемость						, окончательно получим:
							2	E	2	E 0 ;
							2		2

2 H 2 H 0 .

Уравнения такого вида принято называть однородными уравнениями Соответственно уравнения (7.9) и (7.10) называют неоднородными Гельмгольца.

комплексную

(7.11)

(7.12)

Гельмгольца.

уравнениями

Лекция № 8

7.1. Векторный и скалярный потенциалы

Уравнения (7.9) - (7.12) позволяют, в принципе, найти векторы электромагнитного поля по заданным источникам. Однако из-за сложности правых частей эти уравнения оказываются неудобными для решения задачи. Обычно их используют в тех случаях, когда в рассматриваемой области нет сторонних источников, т. е. когда они являются однородными.

В общем случае для определения векторов поля по заданным источникам обычно применяют искусственный прием: сначала находят вспомогательные функции, а потом

через них вычисляют векторы E и H . Эти вспомогательные функции принято называть

электродинамическими потенциалами. Их можно ввести различным образом в зависимости от специфических особенностей анализируемой задачи, однако, принцип их построения один и тот же.

Рассмотрим систему уравнений Максвелла. Так как дивергенция ротора любого вектора

равна нулю, то из четвертого уравнения Максвелла следует, что вектор

представить в виде ротора некоторого вектора				A :
		B rot A
				.
При этом вектор					.
H	1		rot A grad		.
	1

можно

(7.13)

(7.14)

При известном векторе A уравнение (7.13) позволяет однозначно найти вектор B . Однако

оно допускает некоторый произвол в определении вектора

по заданному вектору

B .

Действительно, если вместо вектора	A	взять вектор	A	, отличающийся от	A	на градиент
			1

произвольной скалярной функции , т. е.			A A grad			,	то значение вектора B не
			1
изменится, так как из векторного анализа известно, что:
		rot grad 0		.				(7.15)

Таким образам, вектор	A	определен уравнением			(7.13)		с	точностью до градиента
произвольной скалярной функции, а неоднозначность вектора								A будет использована в
дальнейшем при составлении дифференциального уравнения для этого вектора.

Подставим уравнение (7.13) во второе уравнение Максвелла и изменим порядок дифференцирования по времени и пространственным координатам. Объединив затем

векторы E и

под знаком ротора, получим

rot E

(7.16)

Учитывая тождество (7.15), можно положить, что стоящее под знаком ротора выражение

	E	A
	E	t
		t

равно

grad

, где и некоторая скалярная функция, или

E grad u

(7.17)

При этом
	A
D grad u	.	(7.18)
	t

Знак минус перед grad u в формуле (7.17) введен,	чтобы в случае электростатического

поля функция и совпадала с обычным выражением для электростатического потенциала.

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке Лекции

#
27.11.2025833.6 Кб0Лекция 1, 2.pdf
#
27.11.2025721.38 Кб0Лекция 10.pdf
#
27.11.20251.07 Mб0Лекция 11.pdf
#
27.11.2025687.72 Кб0Лекция 3.pdf
#
27.11.2025884.83 Кб0Лекция 4, 5, 6.pdf
#
27.11.2025989.88 Кб0Лекция 7, 8.pdf
#
27.11.2025914.79 Кб0Лекция 9.pdf