Добавил:

Forster Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Московский технический университет связи и информатики

Предмет:

Основы Теории Электромагнитных Полей и Волн

Файл:

Лекции / Лекция 4, 5, 6

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

27.11.2025

Размер:

884.83 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 22

за период значение реактивной мощности равно нулю. Поэтому среднее за период значение

мощности Р совпадает со средним за период значением активной мощности:

P
ср

P акт ср

При анализе гармонических колебаний в электрических цепях широко используют метод комплексных амплитуд. При этом вместо мгновенных значений напряжения U и тока I

вводят в рассмотрение комплексные функции U и

I и соответствующие им комплексные

амплитуды

m и

m ,

связанные обычными соотношениями:

U U

i t

I I

i t

Для

перехода от мгновенных значений напряжения и тока к их комплексным функциям U

и I

достаточно заменить

cos t u на ei t u .

Однако метод комплексных амплитуд

непосредственно применим только в случае линейных соотношений. Поэтому переходить в выражениях для мгновенных значений мощности к комплексным функциям обычными

заменами

на

U и I на I

не имеет смысла. В то же время можно ввести понятие

комплексной мощности, удобное для практического использования. Назовем комплексной мощностью функцию

. *

U I

где звездочка означает, что взята комплексно-сопряженная величина: функции I

являются комплексно сопряженными с

соответственно. Как видно из

(6.54)

	*
и	I	m
и		m

(6.54),

комплексная мощность не зависит от времени. Разделяя (6.54) на действительную и мнимую части, видим, что действительная часть комплексной мощности совпадает со средним за период значением мощности

Re P	1	U		I		cos	P		P	àêò	,
										àêò
	2		m		m	u	i	ñð	ñð
	2

а мнимая часть равна амплитуде реактивной мощности

Im P 12 Um Im sin u i .

Аналогично может быть введена комплексная мощность и в любом Рассмотрим, например, мощности, входящие в уравнение (6.56).

			.		.

Заменяя в (6.41) вектор	E	комплексным вектором	E , a	j	cm	– вектором

другом случае.

	*
j	cm	, комплексно
j		, комплексно

		.
сопряженным	j	cm	с, и умножая результат на 1/2,
сопряженным	j		с, и умножая результат на 1/2,
мощности сторонних источников:
					1	.		*
			P	ст	1	E	j	cm	dV
				ст				cm
					2
					2
*

приходим к выражению для комплексной

1	.		*
1	m	j	m	dV ,	(6.55)
	m		m
	E		cm
			cm
2

где	cm	– вектор,	комплексно		сопряженный
	jm
			.			*		*
сторонних		токов ( j	cm	). Векторы	j	cm	и	cm
								jm

скомплексной амплитудой плотности

связаны соотношением	jcm jcm e i t .
	m

Действительная часть комплексной мощности сторонних источников ( Re Pст ) равна

средней за период мощности сторонних источников, которая в свою очередь равна средней за период активной мощности сторонних источников:

	1	. *
Re Pст Re		E jcm Pст Рст акт .

			ср	ср
	2 V

Мнимая часть комплексной мощности сторонних источников

			1		.	*
	ст
Im P	ст	Im			E j	cm	dV
Im P		Im	2		E j		dV
			2	V
				V

равна амплитуде реактивной мощности сторонних источников.

Преобразовывая аналогичным образом формулу (6.40) для мгновенных значений мощности джоулевых потерь Рп, получаем вещественную величину, равную среднему за период значению мощности джоулевых потерь в объеме V:

	2			. *			2			.	*				2			.
P		1		E j dV			1		E E dV							1		E	2 dV .	(6.56)
P				E j dV					E E dV									E	2 dV .	(6.56)
п ср
			V					V									V
Рассмотрим выражение для потока энергии через поверхность																				S. Переходя в (6.47) к
	.			.
комплексным векторам	E и H , получаем выражение для комплексного потока энергии
через поверхность S:
						1		.		*
				P		1	E , H dS П dS ,													(6.57)
				P	2		E , H dS П dS ,													(6.57)
					2		S									S
где										1
										1			.	*
							П			2		E , H								(6.58)
										2

– комплексный вектор Пойнтинга.

Действительная и мнимая части

равны соответственно среднему за период потоку

энергии через поверхность S и амплитуде реактивного потока энергии через S. Аналогично действительная и мнимая части комплексного вектора Пойнтинга представляют собой среднюю за период плотность потока энергии в рассматриваемой точке пространства и амплитуду плотности реактивного потока энергии в той же точке соответственно.

6.4. Уравнение баланса комплексной мощности

Уравнение баланса комплексной мощности может быть получено либо из уравнений Максвелла в комплексной форме, либо непосредственно из теоремы Пойнтинга. Второй путь короче. Кроме того вывод упрощается, если в качестве исходного использовать уравнение баланса мгновенных значений мощности в форме (6.36). Перейдем от мгновенных значений мощностей, входящих в (6.36), к комплексным мощностям на основе приема, описанного в разделе 6.3. Все подынтегральные выражения в (6.36) содержат произведения двух векторов. Заменим в этих произведениях первый вектор

соответствующим ему комплексным вектором (например, вектор E - на

. E

), а второй

вектор – соответствующим ему комплексно-сопряженным вектором (например,

j	ст

- на

jст ). Умножая обе части получающегося при этом равенства на 1/2, приходим к соотношению:

. *

ст

E j

E j dV

E , H

2 V

Вычисляя производные по

t и учитывая обозначение (6.58), получаем уравнение баланса

комплексной мощности:

E jcm dV

E jdV П dS

dV .

(6.59)

2 V

4 V

Проанализируем это уравнение. Используя формулы (6.55) - (6.57), перепишем его в виде,

ст

Pп ср

(6.60)

Р 2 i Wср

Wср .

где

W э

E dV , W м

H dV

ср

– соответственно средние за период значения энергий электрического и магнитного полей в объеме V. Из равенства комплексных величин следуют отдельные равенства для их действительных и мнимых частей. Отделяя в (6.60) действительные части, получаем

Re P	ст	P	Re Р

		п ср

(6.61)

Левая часть равенства (6.61) представляет собой среднюю за период мощность сторонних источников, которая равна также средней за период активной мощности сторонних источников. Второе слагаемое в правой части (6.61) равно среднему за период потоку энергии через поверхность S и соответственно среднему за период активному потоку энергии через ту же поверхность:

Re P	Re		ПdS P
			ср
		S

Pакт

ср

Поэтому равенство (6.61) эквивалентно соотношению

P	ст	Р
			п ср
ср

ср

(6.62)

Таким образом, уравнение (6.61) представляет собой уравнение баланса средних за период мощностей. Уравнение (6.61) иногда называют также уравнением баланса активных мощностей.

Из (6.62) видно, что в тех случаях, когда

выходит из рассматриваемого объема в

P	ст	Р		, поток энергии в среднем за период
			п ср
ср
окружающее пространство. При					P	ст	Р		Р
								п ср
					ср

средний поток энергии отрицателен, т.е. направлен из окружающего пространства в объем
V.
Отделяя в (6.60) мнимые части, получаем
Im Pст Im Р 2 Wсрм Wсрэ .					(6.63)
Входящие в (6.63) величины	Im P	ст	и Im Р	равны соответственно	амплитуде

реактивной мощности сторонних источников и амплитуде реактивного потока энергии через поверхность S. Поэтому уравнение (6.63) иногда называют уравнением баланса реактивных мощностей.

Реактивный поток энергии изменяется со временем по гармоническому закону с удвоенной

круговой частотой

. В течение периода он половину времени имеет положительное

значение, т.е. энергия поступает в окружающее пространство, а другую половину – отрицательное, т.е. энергия поступает из окружающего пространства в объем V. Среднее за период значение реактивного потока энергии равно нулю. Таким образом, из (6.63) следует, что разность между амплитудами реактивной мощности сторонних источников и

реактивного потока энергии через поверхность S равна умноженной на 2 разности

между средними за период значениями энергий магнитного и электрического полей в объеме V.

Предположим, что объем V представляет собой изолированную систему (например, ограничен идеально проводящей поверхностью). Тогда поток комплексного вектора Пойнтинга через S будет равен нулю, и уравнения (6.61) и (6.63) примут вид

Re Pст Pп ср ,	(6.64)
Im Pст 2 Wсрм Wсрэ .	(6.65)

В этом случае в объеме V энергия электрического поля будет периодически преобразовываться в энергию магнитного поля и обратно. Если средние за период значения энергий электрического и магнитного полей равны, т.е.

W м ср

W э ср

(6.66)

то этот процесс протекает без участия оказывается чисто активной ( Im Pст

источников, и мощность сторонних источников

0 ). Если же	м	э
0 ). Если же	Wср	Wср	, то периодическое

преобразование энергии электрического поля в энергию магнитного поля и обратно возможно только при участии сторонних источников. При этом реактивная мощность

сторонних источников будет отлична от нуля ( Im Pст 0 ). Если в изолированной области

мощность сторонних источников является чисто активной, то имеет место резонанс. Из изложенного следует, что для резонанса необходимо выполнение условия (6.66). Отношение

Q W	P
ср	п ср

(6.67)

где

W	W	м

ср	ср

W э ср

, называют добротностью изолированной системы. Выражение (6.67)

можно переписать в иной форме. Заменяя

на

2 T

, получаем

		W
	Q 2	ср
	Q 2	W
		W

(6.68)

где	W	– изменение энергии электромагнитного поля системы за период. Таким образом,

добротность изолированной системы – это увеличенное в 2 раз отношение запаса энергии

системы Wcp к энергии

, расходуемой за период Т.

1 i

Уравнение (6.59) было выведено в предположении, что

а .

Отметим, что в общем случае, когда

;

уравнение

баланса комплексных мощностей также имеет вид (6.60), однако при этом входящие в него

величины

P,W э

пср ср

определяются выражениями

ср

. *

E E dV

H H dV ,

пср

. *

W э

E E dV , W м

H H dV .

ср

(6.69)

(6.70)

6.5. Скорость распространения электромагнитной энергии

Как уже отмечалось, из теоремы Пойнтинга (6.39) следует возможность распространения в пространстве энергии электромагнитного поля. Вычислим скорость, с которой происходит это распространение. Выделим в рассматриваемой части пространства так называемую энергетическую трубку, т.е. трубку, на боковой поверхности которой перпендикулярная к ней составляющая вектора Пойнтинга (Пп) тождественно равна нулю (рис. 6.2). При этом условии средний за период

поток энергии через поперечное сечение трубки при отсутствии джоулевых потерь не изменяется вдоль трубки.

Энергия электромагнитного поля W , прошедшая за время t через поперечное сечение трубки S , будет распределена с плотностью w в объеме V , ограниченном боковой

поверхностью

расстоянии	l

трубки и поперечными сечениями	S	и S	1	, находящимися на

друг от друга. Эта энергия может быть вычислена по формуле

W w dVV

l w d SS

(6.71)

где	S		– некоторое поперечное сечение трубки, расположенное между сечениями

S	и S
			1 .
Будем называть скоростью распространения энергии vэ, предел отношения l к					t при
t 0		.

При достаточно малых значениях t можно считать, что в пределах				t вектор Пойнтинга
не изменяется. Поэтому наряду с (6.71) должно выполняться соотношение

						W t			П d S ,
						W t			П d S ,
								S
где	d S l		d S	– единичный вектор, перпендикулярный к							S
где		0		– единичный вектор, перпендикулярный к
S
	1 . Приравнивая правые части выражений (6.71) и (6.72)
t 0		, находим
							l		П dS
				v		lim	l		S		.
				v	э	lim	t
					э	t 0				w d S
										w d S

									S

(6.72)

инаправленный в сторону

ипереходя к пределу при

(6.73)


При выводе формулы (6.73) учтено,				что в пределе при		t 0	сечение	S

S	. Если	E	и H , а следовательно,	П	и w не изменяются вдоль сечения

(6.73) упрощается. Так как в этом случае направление вектора Пойнтинга направлением распространения энергии, то

v	П	.

э	w

совпадает с

S , формула совпадает с

(6.74)

Нетрудно показать, что в случае монохроматического поля среднее за период значение скорости распространения энергии vэср определяется формулой

Re П dS

эср d Swср

(6.75)

Если значения вектора П и функции wcp одинаковы во всех точках сечения S выражение (6.75) может быть записано в виде

v		Re П	.	(6.76)
v	эср	w	.	(6.76)
	эср

		ср

<<< < Предыдущая 12 / 22

Соседние файлы в папке Лекции

#
27.11.2025833.6 Кб0Лекция 1, 2.pdf
#
27.11.2025721.38 Кб1Лекция 10.pdf
#
27.11.20251.07 Mб0Лекция 11.pdf
#
27.11.2025687.72 Кб0Лекция 3.pdf
#
27.11.2025884.83 Кб0Лекция 4, 5, 6.pdf
#
27.11.2025989.88 Кб0Лекция 7, 8.pdf
#
27.11.2025914.79 Кб0Лекция 9.pdf