Лекции / Лекция 4, 5, 6

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И АНТЕНН

Основы теории электромагнитных полей и волн

Федотова Т.Н.

Москва 2025 г.

Лекции № 4

§ 6. Энергия электромагнитного поля

6.1.Уравнения Максвелла для монохроматического поля Метод комплексных амплитуд

Все реальные электромагнитные процессы можно представить либо в виде суммы дискретных гармонических колебаний, либо в виде непрерывного спектра гармонических колебаний. Поэтому изучение гармонических во времени электромагнитных полей представляет большой теоретический и практический интерес. Такие поля часто также называют монохроматическими.

Анализ гармонических процессов существенно упрощается при использовании метода комплексных амплитуд. В этом случае вместо любой скалярной функции , изменяющейся по закону

гармонического колебания, вводится в рассмотрение комплексная функция

где

уравнениям будут удовлетворять соответствующие комплексные функции a и . Однако

определение комплексных функций во многих случаях оказывается проще определения исходных функций. Это объясняется тем, что дифференцирование комплексной функции

Средние значения

В случае периодических полей большой интерес представляют энергетические соотношения для средних за период величин, т.е. для функции f t среднее за период Т значение определяется по формуле

При рассмотрении энергетических соотношений приходится вычислять произведения векторов электромагнитного поля. Однако метод комплексных амплитуд непосредственно применим лишь в случае линейных уравнений. При рассмотрении произведений векторов электромагнитного поля, например, при рассмотрении баланса энергии электромагнитного

для перехода к сопряженной величине достаточно изменить знак у всех мнимых единиц, т. е. вместо i всюду поставить -i.

Система уравнений монохроматического поля

Как мы уже отмечали, уравнения Максвелла являются линейными дифференциальными уравнениями. Поэтому при изучении монохроматических электромагнитных полей можно

Вводя обозначение

Это уравнение является первым уравнением Максвелла для монохроматического поля.

и называется комплексной диэлектрической проницаемостью среды. Ее значение зависит

плотностей тока проводимости и тока смещения (см. разд. 3.7) и называется тангенсом угла потерь:

(6.15) только в тех случаях, когда можно пренебречь диэлектрическими потерями, возникающими в результате периодически изменяющейся поляризации вещества. В общем случае комплексную диэлектрическую проницаемость можно представить в виде

Наличие диэлектрических потерь приводит, в частности, к появлению фазового сдвига

Рассмотрим второе уравнение Максвелла. В общем случае при переходе к комплексным векторам магнитную проницаемость среды также следует считать комплексной величиной

С учетом изложенного второе уравнение Максвелла можно записать в форме

В случае монохроматического поля введение комплексных диэлектрической и магнитной проницаемостей дает возможность рассмотреть ряд явлений, в которых не выполняются уравнения состояния (3.39), и, в частности, учесть потери, возникающие при поляризации и намагничивании.

Заметим, что в случае монохроматического поля третье и четвертое уравнения Максвелла являются следствиями первых двух уравнений.

Известно, что в любой внутренней точке среды с отличной от нуля проводимостью объемная плотность свободных зарядов экспоненциально убывает с течением времени. Это означает, что в установившихся электромагнитных процессах (например, в случае монохроматических полей) объемная плотность свободных зарядов в проводящей среде должна быть равна нулю, и третье уравнение Максвелла для однородной изотропной среды принимает вид

В случае монохроматических полей, уравнение (6.21) будет выполняться также и для

сопровождается возникновением тока, а в непроводящей среде появление тока проводимости, удовлетворяющего закону Ома, невозможно. Следовательно, свободные заряды должны отсутствовать.

Эти уравнения вытекают из первых двух уравнений Максвелла (6.16) и (6.21). Действительно взяв дивергенцию от обеих частей этих равенств, придем к соотношениям (6.23) и (6.24), так как дивергенция ротора любого вектора равна нулю. Таким образом, монохроматическое поле описывается системой двух уравнений:

В тех точках, где имеются сторонние токи, система уравнений (6.25) непригодна. Первое уравнение Максвелла, учитывающее сторонние токи, записывается в форме (4.4). В случае монохроматического поля это уравнение принимает вид:

Соответственно третье уравнение Максвелла для комплексного вектора E в случае однородной изотропной среды имеет вид

где ст – комплексная плотность сторонних зарядов.

Равенство (6.27) является следствием уравнения (6.25), так как сторонние токи и заряды (разд. 4.1) связаны уравнением непрерывности:

Второе и четвертое уравнения Максвелла остаются без изменений, т. Е. записываются в форме (6.20) и (6.23) соответственно.

Таким образом, система уравнений Максвелла, учитывающая сторонние токи и заряды, в случае монохроматического поля имеет вид:

Отметим, что систему уравнений Максвелла монохроматического поля можно переписать

. .

для комплексных амплитуд Em и H m . Действительно, учитывая в системе (6.24), что

Лекция №5

6.2. Уравнение баланса мгновенных значений мощности

Как мы уже говорили, электромагнитное поле является одной из форм материи. Как и любая другая форма материи, оно обладает энергией. Эта энергия может распространяться в пространстве и преобразовываться в другие формы энергии.

Сформулируем уравнение баланса для мгновенных значений мощности применительно к некоторому объему V, ограниченному поверхностью S (рис. 6.1). Пусть в этом объеме, заполненном однородной изотропной средой, находятся сторонние источники. Из общих физических представлений очевидно, что мощность, выделяемая сторонними источниками, может расходоваться на джоулевы потери, на изменение энергии электромагнитного

поля внутри объема, а также может частично рассеиваться, уходя в окружающее пространство через поверхность S. При этом должно выполняться равенство

где Рст – мощность сторонних источников; Рп – мощность джоулевых потерь внутри объема V; P – мощность, проходящая через поверхность S; W – энергия электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V, a dW/dt – мощность, расходуемая на изменение энергии в объеме.

В данном разделе будут использованы уравнения состояния (3.39), не позволяющие учесть потери энергии при поляризации и намагничивании среды. Поэтому слагаемое Рп в равенстве (6.33) фактически определяет мощность джоулевых потерь в объеме V, обусловленных током проводимости.

Уравнение (6.33) дает только качественное представление об энергетических соотношениях. Чтобы получить количественные соотношения, нужно воспользоваться уравнениями Максвелла. Рассмотрим первое уравнение Максвелла с учетом сторонних токов (4.4). Все члены этого уравнения – векторные величины, имеющие размерность А/м2. Чтобы получить уравнение, аналогичное (6.33), нужно видоизменить первое уравнение Максвелла (4.4) так, чтобы его члены стали скалярными величинами, измеряющимися в ваттах. Для этого достаточно все члены указанного равенства скалярно умножить на вектор

В последнем слагаемом в правой части (6.35) изменен порядок сомножителей в скалярном

не принципиально и не дает никаких преимуществ при выводе рассматриваемого здесь уравнения. Однако при такой записи во всех членах уравнения (6.35) второй сомножитель

Максвелла. Это обстоятельство позволит в дальнейшем несколько упростить вывод уравнения баланса в случае монохроматического поля (уравнения баланса комплексной мощности). Интегрируя почленно уравнение (6.35) по объему V, получаем:

произведения E , H . Введем обозначение:

и преобразуем подынтегральное выражение в последнем слагаемом в правой части (6.36):

Подставляя (6.37) и (6.38) в (6.36) и меняя порядок интегрирования и дифференцирования, получаем

Выясним физический смысл выражений, входящих в уравнение (6.39).

Рассмотрим первое слагаемое в правой части (6.39). Представим объем V в виде суммы

и другие представления:

Формулы (6.40) можно рассматривать как обобщенный закон Джоуля-Ленца, справедливый для проводящего объема V произвольной формы.

Интеграл в левой части (6.39) отличается от первого слагаемого в правой части только тем,

мощность сторонних источников. Будем считать мощность, отдаваемую сторонними токами электромагнитному полю, положительной. Электрический ток представляет собой упорядоченное движение заряженных частиц. Положительным направлением тока считается направление движения положительных зарядов. Ток отдает энергию электромагнитному полю при торможении образующих его заряженных частиц. Для этого необходимо, чтобы вектор напряженности электрического поля E имел составляющую, ориентированную противоположно направлению тока, т.е. чтобы скалярное произведение

будет положительной величиной. Таким образом, мгновенное значение мощности, отдаваемой сторонними токами электромагнитному полю в объеме V, определяется выражением

V

Для уяснения физического смысла последнего слагаемого в правой части уравнения (6.39) рассмотрим частный случай. Предположим, что объем V окружен идеально проводящей оболочкой, совпадающей с поверхностью S. Тогда касательная составляющая вектора E на поверхности S будет равна нулю. Элемент поверхности dS совпадает по направлению с

касательными составляющими входящих в него векторов. Кроме того, предположим, что среда в пределах объема V не обладает проводимостью ( 0 ). При этом в рассматриваемой области не будет джоулевых потерь, и первый интеграл в правой части

Очевидно, что в этом случае мощность сторонних источников может расходоваться только на изменение энергии электромагнитного поля. Таким образом, правая часть равенства (6.42) представляет собой скорость изменения энергии электромагнитного поля, запасенной в объеме V, т.е. соответствует слагаемому dW/dt в уравнении (6.39). Естественно предположить, что интеграл в правой части (6.42) равен энергии электромагнитного поля, сосредоточенного в объеме V:

– как объемную плотность полной энергии электромагнитного поля.

Подчеркнем, что принцип суперпозиции, которому удовлетворяют векторы напряженностей электрического и магнитного полей, не распространяется на энергию.

– взаимная энергия полей. Взаимная энергия W12 может быть как положительной, так и

В случае переменных процессов распределение электромагнитной энергии непрерывно изменяется. Это изменение в каждой данной точке можно определить на основе уравнения (6.35), которое удобно представить в виде

источников и мощности джоулевых потерь соответственно. При переходе от соотношения (6.35) к уравнению (6.49) учтены формулы (6.40) и (6.48). Уравнение (6.49) является

дифференциальной формой теоремы Пойнтинга.

Лекция №6

6.3. Активная, реактивная и комплексная мощности