Лекции / Лекция 3

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И АНТЕНН

Основы теории электромагнитных полей и волн

Федотова Т.Н.

Москва 2022

Лекция №3

§ 5. Граничные условия

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме справедливы в случае линейных сред, параметры которых либо не зависят от координат, либо являются непрерывными функциями координат. Часто, однако, встречаются случаи, когда рассматриваемая область состоит из двух (или более) разнородных сред. При анализе свойств поля в этих случаях обычно приходится считать, что параметры , , (или, по крайней мере, один из них) на границе раздела сред меняются скачком. Операция дифференцирования в этом случае незаконна и уравнения Максвелла в дифференциальной форме на границе раздела сред теряют смысл. Поэтому для изучения поведения векторов поля при переходе из одной среды в другую нужно исходить из уравнений Максвелла в интегральной форме, которые остаются справедливыми и в этих случаях.

Соотношения, показывающие связь между значениями векторов электромагнитного поля в разных средах у поверхности раздела называются граничными условиями.

5.1. Граничные условия для векторов электрического поля

На поверхности раздела S двух изотропных сред с параметрами 1 и 2 выделим достаточно малый элемент S такой, чтобы, во-первых, его можно было считать плоским, а во-вторых,

Построим на элементе S прямой цилиндр высотой h так, чтобы его основания находились в разных средах (рис. 5.1) и применим к нему третье уравнение Максвелла в

где Sц – поверхность цилиндра, а V – его объем.

Так как поверхность Sц складывается из площадей верхнего и нижнего оснований и боковой поверхности цилиндра, то уравнение (5.1) принимает вид:

Устремим высоту цилиндра к нулю так, чтобы его основания оставались в разных средах.

поверхностным, то при любой конечной величине объемной плотности заряда правая

Особый интерес представляет случай, когда заряды распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие заряды называют поверхностными и характеризуются поверхностной плотностью S, определяемой соотношением

где S – элемент поверхности, а Q – заряд этого элемента.

Если на границе раздела имеются поверхностные заряды, то правая часть уравнения (5.4) уже не будет рана нулю. Считая распределение заряда на площадке S равномерным, разделим обе части этого уравнения на S. В результате получим

Это соотношение показывает, что при переходе из одной среды в другую нормальная

Это соотношение показывает, что нормальная компонента вектора E при переходе через незаряженную поверхность раздела двух сред претерпевает разрыв, величина которого определяется отношением диэлектрических проницаемостей этих сред. Наличие поверхностной плотности зарядов в рассматриваемой точке приводит к изменению величины разрыва, увеличивая или уменьшая его.

На самом деле в природе поверхностные заряды не существуют. Их вводят вместо реального тонкого слоя зарядов для упрощения расчетов, если не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке реального заряженного слоя составляющая Dn непрерывна, но ее значения по разные стороны слоя отличаются на конечную величину. Поэтому при замене реального слоя зарядов бесконечно тонким приходится считать, что Dn изменяется скачком.

Из произвольной точки на поверхности раздела S двух изотропных сред проведем из второй среды в первую

плоскость Р. На линии пересечения поверхности раздела и плоскости Р выделим достаточно малый отрезок l так, чтобы выбранная точка находилась внутри этого отрезка. Размеры отрезка должны быть такими, чтобы, во-первых, его можно было считать прямолинейным, а во-вторых, чтобы в обеих средах касательную компоненту вектора E

можно было считать постоянной в пределах l. В плоскости Р на отрезке l построим прямоугольный контур АBCD высотой h так, чтобы он находился в обеих средах.

Проведем, кроме того, единичную касательную 0 к отрезку l и единичную нормаль N 0

к плоскости Р, образующую с обходом контура ABCD правовинтовую систему. Векторы n0

Левую часть уравнения (10.11) можно представить в виде суммы четырех интегралов:

Устремим высоту контура ABCD к нулю так, чтобы стороны AB и CD оставались в разных

Это равенство показывает, что касательная составляющая вектора E непрерывна при переходе через границу раздела двух сред.

Касательная составляющая вектора D , наоборот, претерпевает разрыв, величина которого зависит от соотношения между диэлектрическими проницаемостями. Переходя от вектора

(5.9), получаем, что при отсутствии поверхностных зарядов на границе раздела справедливо следующее соотношение:

В изотропных средах векторы E и D направлены одинаково. Поэтому преломление вектора D определяется этим же соотношением.

(5.7). Записывается четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме для цилиндрического объема, изображенного на рис. 5.1

Устремляя высоту цилиндра h к нулю и учитывая, что условие достаточной малости площадки S должно в этом случае содержать требование равномерного распределения нормальной компоненты вектора B в обеих средах в пределах S, получаем

переходе через границу раздела двух сред. В свою очередь, нормальная составляющая вектора H испытывает разрыв, величина которого определяется отношением магнитных проницаемостей:

Граничное условие для касательной составляющей вектора Н выводится аналогично соотношению (5.15).

Применим первое уравнение Максвелла в интегральной форме к прямоугольному плоскому контуру ABCD (рис. 5.2):

Условие достаточной малости отрезка l должно включать теперь требование равномерного распределения касательной составляющей вектора H в обеих средах в пределах l. Устремляя высоту контура h к нулю и учитывая, что напряженность магнитного поля и плотность тока смещения – ограниченные величины, получаем

Если на границе отсутствуют поверхностные токи, то правая часть равенства (5.22) равна

(5.24)

Особый интерес представляет случай, когда токи распределены вдоль поверхности раздела в виде бесконечно тонкого слоя. Такие токи называют поверхностными. Плотность поверхностных токов определяется соотношением

где l0 – единичный вектор, указывающий направление движения положительных зарядов в данной точке; L – отрезок линии, перпендикулярной вектору

Уравнение (5.27) справедливо для любого направления касательной 0. Поэтому его можно переписать в векторной форме:

соответственно.

Уравнения (5.27) и (5.28) показывают, что при переходе через границу раздела, по которой

текут поверхностные токи, касательная составляющая вектора H претерпевает разрыв, величина которого определяется значением плотности поверхностных токов в

рассматриваемой точке. Переходя в уравнении (5.27) к касательным составляющим вектора магнитной индукции, получаем

Отметим, что поверхностные токи, как и поверхностные заряды, в природе отсутствуют. Их вводят для упрощения расчетов вместо реального тонкого слоя токов, когда не интересуются распределением поля внутри слоя. В каждой точке внутри реального

5.3. Полная система граничных условий

Граничные условия на поверхности идеального проводника

Мы установили, что на поверхности раздела двух сред должны выполняться следующие граничные условия:

Эти уравнения составляют полную систему граничных условий. Они справедливы для любых электромагнитных процессов макроскопической электродинамики. Не включенные в (5.30) граничные условия для составляющих D , En , B и Hn являются следствием соотношений (5.30) и уравнений состояния (3.39).

Эти же граничные условия можно записать в векторной форме:

При изучении переменных электромагнитных полей вблизи поверхности металлических тел часто полагают, что рассматриваемое тело является идеально проводящим. При этом граничные условия (5.30) и (5.31) упрощаются, так как в среде с поле отсутствует.

Это следует из закона Ома (3.36), так как j должна быть конечной величиной. Полагая во

Таким образом, на поверхности идеального проводника касательная составляющая вектора напряженности электрического поля и нормальная составляющая вектора напряженности магнитного поля обращаются в нуль.