Лекции / Лекция 1, 2

а равенство нулю дивергенции какого-либо вектора, как мы только что видели, означает непрерывность линий этого вектора. Следовательно, согласно уравнению (3.30) линии плотности полного тока непрерывны, в то время как линии токов проводимости и смещения могут иметь начало и конец.

Уравнение (3.28) является дифференциальной формой закона сохранения заряда: всякому изменению величины заряда, распределенного в некоторой области, соответствует электрический ток, втекающий в эту область или вытекающий из нее

Рассмотрим некоторый проводящий объем. Выделим внутри этого объема достаточно малый цилиндр, торцы которого перпендикулярны линиям тока (рис. 3.1). Размеры цилиндра

выберем так, чтобы плотность тока проводимости j можно было

считать неизменной в пределах его торцов, а линии тока – параллельными оси цилиндра.

По закону Ома ток dI вдоль оси выбранного цилиндра определяется по формуле

где R – сопротивление рассматриваемого цилиндра, а du – напряжение между его торцами. Сопротивление R можно выразить через геометрические размеры цилиндра (через площадь поперечного сечения dS и длину его образующей dl) и удельную проводимость вещества проводника формулой

Напряженность электрического поля E совпадает по направлению с плотностью тока. Представим напряжение между торцами цилиндра в виде

среды, измеряемая в Сим/м – является важной характеристикой среды. В изотропных средах в отсутствии внешнего постоянного магнитного поля – скалярная величина. Ее значение зависит от температуры: с повышением температуры удельная проводимость уменьшается. Во многих анизотропных средах этот параметр является тензором. При этом плотность тока проводимости и напряженность электрического поля в общем случае не совпадают по направлению.

3.7. Проводники и диэлектрики

Среды могут сильно отличаться друг от друга по величине удельной проводимости. Чем больше , тем больше плотность тока проводимости в среде при той же напряженности электрического поля. Часто для упрощения анализа вводят понятия идеального проводника и идеального диэлектрика. Идеальный проводник – это среда с бесконечно большой проводимостью ( ), а идеальный диэлектрик – среда, не обладающая проводимостью ( =0). В идеальном проводнике существует только ток проводимости, а в идеальном диэлектрике – только ток смещения.

В реальных средах имеется как ток проводимости, так и ток смещения. Поэтому проводниками принято называть среды, в которых ток проводимости намного превосходит ток смещения, а диэлектриками – среды, в которых основным является ток смещения. Такое деление сред на проводники и диэлектрики имеет относительный характер, так как существенно зависит от скорости изменения электромагнитного поля.

Рассмотрим случай гармонически изменяющегося поля.

Пусть напряженность электрического поля изменяется по гармоническому закону, т.е.

Тогда плотности тока проводимости и смещения равны соответственно

j Em x, y, z cos t

и

и является критерием для деления сред на проводники и диэлектрики. Если правая часть (3.37) много больше единицы, то среда является проводником, а если много меньше единицы – диэлектриком. Из (3.37) следует, что диэлектрические свойства сильнее проявляются на более высоких частотах.

3.8. Полная система уравнений Максвелла

Анализ электродинамических процессов возможен только на основе системы уравнений электродинамики. Такой системой являются уравнения Максвелла

В линейных анизотропных средах уравнения (3.38) остаются без изменения, а в соотношениях (3.39) по крайней мере, один из параметров , , будет тензором. Уравнения Максвелла позволяют сделать следующие выводы о свойствах электромагнитного поля. Электрическое и магнитное поля тесно связаны между собой. Любое изменение одного из них вызывает изменение другого. Существование электрического поля (без магнитного) возможно только в статическом случае. Источниками

электромагнитного поля являются токи и заряды. Магнитное поле всегда вихревое, электрическое поле может быть и вихревым, и потенциальным. Чисто потенциальным электрическое поле может быть только в статическом случае. Силовые линии электрического поля могут иметь истоки и стоки. Силовые линии магнитного поля всегда непрерывны. Из 1-го уравнения Максвелла следует, что линии вихревого магнитного поля охватывают линии полного тока, образуя с ними правовинтовую систему. Аналогично, из 2-го уравнения Максвелла вытекает, что линии вихревого электрического поля охватывают

Уравнения, входящие в полную систему уравнений электродинамики (3.38), (3.39), являются линейными дифференциальными уравнениями, и, следовательно, электромагнитные поля удовлетворяют принципу суперпозиции: поле, созданное несколькими источниками, можно рассматривать как сумму полей, созданных каждым источником.

Помимо уравнений Максвелла в дифференциальной форме, в ряде случаев используется интегральная форма этих уравнений:

§ 4. Классификация электромагнитных явлений

Система уравнений Максвелла охватывает всю совокупность электромагнитных явлений, относящихся к макроскопической электродинамике. В ряде частных случаев эти уравнения упрощаются.

Самым простым является случай, когда электромагнитное поле не зависит от времени и,j 0

Система уравнений (4.1) содержит только электрические величины, а система (3.33) – только магнитные, т.е. в этом случае электрические и магнитные явления независимы. Поля, описываемые уравнениями (4.1), называются электростатическими. Эти поля, созданы неподвижными, постоянными по величине зарядами. Система (4.1) является полной системой дифференциальных уравнений электростатики.

Уравнения (4.2) описывают поля, создаваемые постоянными магнитами. Они также могут быть использованы для анализа свойств магнитного поля, созданного постоянными токами

сцеплена с током (не охватывает его линий). Явления, описываемые системой (4.2), называют магнитостатическими, а сами уравнения – уравнениями магнитостатики.

При наличии постоянного тока электрическое и магнитное поля уже нельзя считать независимыми. Электромагнитное поле, создаваемое постоянными токами, называют стационарным электромагнитным полем. Система уравнений Максвелла в этом случае принимает вид

В качестве самостоятельного класса выделяют также так называемые квазистационарные процессы, т.е. процессы, протекающие достаточно медленно. В этом случае в 1-ом

уравнении Максвелла можно пренебречь током смещения: rot H j . Однако в тех случаях, когда токов проводимости нет (например, емкость в цепи переменного тока), необходимо

квазистационарных процессов записывается в обычной форме: rot E B t .

Вобщем случае используют полную систему уравнений Максвелла (3.38), (3.39).

Вслучае гармонических колебаний, как мы увидим в дальнейшем, систему (3.38) удается упростить с помощью искусственного приема, получившего название «метод комплексных амплитуд».

4.1. Уравнения Максвелла и сторонние токи

При рассмотрении системы уравнений Максвелла в форме (3.38) совместно с уравнениями

проводящей среде под действием электрического поля. Этот вектор удовлетворяет закону Ома в дифференциальной форме (3.36).

Однако, кроме этого тока в рассматриваемой области могут существовать токи, являющиеся первопричиной возникновения электромагнитного поля и считающиеся заданными. Эти токи принято называть сторонними. При анализе эти токи считаются известными, что позволяет исключить из рассмотрения процессы, протекающие в генераторе, линии связи, излучателе. Если этого не делать, то любая конкретная задача становится практически неразрешимой.

Для учета сторонних токов 1-ое уравнение Максвелла следует представить в виде

прежде, плотность тока проводимости, вызванного электромагнитным полем.

Аналогично сторонним токам вводится понятие сторонних зарядов. С учетом сторонних зарядов третье уравнение Максвелла записывается в виде

Где ст – объемная плотность сторонних зарядов.

Отметим, что в случае переменных полей сторонние токи и сторонние заряды связаны уравнением непрерывности