Лекции / Лекция 1, 2

Ордена Трудового Красного Знамени федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение высшего профессионального образования

Московский технический университет связи и информатики (МТУСИ)

КАФЕДРА ТЕХНИЧЕСКОЙ ЭЛЕКТРОДИНАМИКИ И АНТЕНН

Основы теории электромагнитных полей и волн

Федотова Т.Н.

Москва 2022 г.

Лекция №1

§ 1. Векторы электромагнитного поля

В современной физике при рассмотрении многих явлений наряду с понятием вещества вводится понятие поля: электромагнитное поле, гравитационное поле, поле ядерных сил и т.д. Иными словами, предполагается, что возможны две формы существования материи: вещество и поле.

Под полем понимают часть пространства, в каждой точке которой наблюдается то или иное физическое явление. В данном курсе мы рассматриваем электромагнитное поле, то есть часть пространства, в каждой точке которой наблюдаются электрические и магнитные явления.

Электромагнитное поле обладает массой, энергией и импульсом. На него действует гравитационная сила – путь распространения световых волн заметно искривляется пол влиянием гравитационных сил больших масс вещества, например, Солнца. Импульс электромагнитных волн проявляется в давлении, которое они оказывают на материальные тела. Энергия электромагнитного поля может переходить в другие виды энергии. Фактически само существование жизни на Земле обусловлено преобразованием электромагнитной энергии (энергии солнечных лучей) в тепловую, химическую и другие виды энергии.

Классическая теория электромагнитного поля учитывает только макроскопические свойства вещества, т.е. предполагается, что размеры рассматриваемой области велики по сравнению с размерами молекул, а время изменения электромагнитного поля (например, период колебаний) велико по сравнению со временем внутримолекулярных колебательных процессов.

Электромагнитное поле обычно разделяют на два взаимосвязанных поля: электрическое и магнитное.

Источниками электрического поля являются электрические заряды. Неподвижные заряды создают только электрическое поле. Движущиеся заряды создают как электрическое, так и магнитное поля. Эти поля описываются с помощью векторов.

Векторы электрического поля

Эта сила направлена по прямой, соединяющей эти заряды. Направление силы зависит от знака зарядов: разноименные заряды притягиваются, а одноименные – отталкиваются. Величина является одной из характеристик среды и будет рассмотрена позже.

Каждый электрический заряд создает вокруг себя электрическое поле, которое можно вычислить и измерить по его силовому воздействию на другие заряды. Для описания этого воздействия вводят понятие вектора напряженности электрического поля – удельной силы, действующей на единичный точечный положительный заряд

При таком определении направление силы принято считать положительным. Отметим, что хотя напряженность поля и определяется силой взаимодействия двух зарядов (1.1), сама она не является силой. Если в поле отсутствует пробный заряд, то механическая сила

Система из двух одинаковых по величине, но противоположных по знаку зарядов (+q и - q ), отстоящих друг от друга на некоторое расстояние l, называется электрическим диполем. Атом можно рассматривать как электрический диполь. Суммарный заряд атома равен нулю. Соединения атомов образуют молекулы. Различают полярные и неполярные молекулы. В неполярных молекулах центр тяжести всех электронов, совпадает с центром тяжести всех протонов, а в полярных – сдвинуты друг относительно друга, т.е. образуют

представляющим собой вектор, численно равный произведению величины заряда на расстояние между зарядами и направленный вдоль оси диполя от отрицательного заряда к положительному:

Как мы уже говорили, каждый заряд, расположенный в некотором объеме, создает вокруг себя электрическое поле, определить которое можно по его силовому воздействию на другой электрический заряд.

Если в некотором объеме существует электрическое поле, то оно оказывает силовое воздействие на диполи вещества, ориентируя их

Неполярные молекулы не обладают собственным дипольным моментом, но под действием внешнего электрического поля в такой молекуле перераспределяется отрицательный электрический заряд, и она становится полярной: у нее появляется дипольный момент. Дипольные моменты отдельных молекул ориентируются по полю и их суммарный момент оказывается отличным от нуля. Этот процесс называется электронной поляризацией.

Полярные молекулы, обладающие собственными дипольными моментами, тоже ориентируются по внешнему электрическому полю, образуя суммарный дипольный момент. Такой процесс называется ориентационной поляризацией. Очевидно, что ориентационная поляризация всегда сопровождается электронной.

Эти типы поляризации являются основными в газообразных и жидких средах. Поляризация твердых сред имеет некоторые особенности, но сущность явления остается той же.

Так как мы рассматриваем классическую электродинамику, то при любом уменьшении объема V он остается достаточно большим по сравнению с объемом молекулы. То же самое относится к элементарной длине dl и элементарной площади dS.

При не очень сильном внешнем поле величина индуцированного дипольного момента пропорциональна напряженности электрического поля:

Величина kэ – называется диэлектрической восприимчивостью среды, а коэффициент 0 – электрической постоянной. В системе СИ эта постоянная равна

где q1 – заряд, создающий электрической поле.

В выражение (1.12) не входит параметр r. Следовательно, при одинаковом распределении свободных зарядов вектор D имеет одинаковые значения в разных средах, т.е. не зависит от «связанных» зарядов вещества. Эта особенность вектора D характерна не только для поля, созданного точечными зарядами, но и для любого поля, созданного более сложным распределением зарядов.

Векторы магнитного поля

Магнитное поле также характеризуется тремя векторами: вектором магнитной индукции B , вектором намагниченности M и вектором напряженности магнитного поля H .

Сила, с которой электромагнитное поле воздействует на точечный электрический заряд, зависит не только от местоположения и величины заряда, но и от скорости его движения. Эту силу обычно раскладывают на две: электрическую и магнитную. Электрическая сила не зависит от движения заряда:

Магнитная сила зависит от величины и направления скорости v движения заряда и всегда перпендикулярна ей:

Здесь B – вектор магнитной индукции, характеризующий силовое воздействие магнитного поля. Из формулы (1.14) следует, что магнитная индукция численно равна силе, с которой магнитное поле действует на единичный точечный положительный заряд, движущийся с единичной скоростью перпендикулярно линиям B . Магнитная индукция измеряется в

Вб2 .м

Полная сила, действующая на точечный заряд q, находящийся в электромагнитном поле (лоренцева сила) определяется равенством

Магнитное поле действует, конечно, не только на отдельные движущиеся заряды, но и на проводники, по которым течет электрический ток. Например, сила F , с которой однородное магнитное поле действует на прямолинейный проводник длиной l с током I, определяется экспериментально установленным законом

где I – вектор, численно равный величине тока I, направление которого совпадает с направлением тока в проводнике, т.е. с направлением движения положительных зарядов. Если в магнитное поле внести достаточно малую плоскую рамку, обтекаемую током I, то на нее будет действовать момент силы K , стремящийся повернуть рамку таким образом, чтобы ее плоскость была перпендикулярна вектору B .

Момент сил, действующих на достаточно малую плоскую рамку с площадью S, находящуюся в магнитном поле, определяется выражением:

рамку, правовинтовую систему.

Рамки с током обычно характеризуют величиной

стремящегося сориентировать электрический диполь вдоль линий электрического поля. Из формулы (1.19) следует, что момент сил, действующий на рамку, находящуюся в магнитном поле, стремиться повернуть ее так, чтобы момент рамки совпал с направлением вектора B . Величина вектора B зависит от свойств среды. Под действием магнитного поля вещество намагничивается. В результате появляется дополнительное магнитное поле, которое налагается на первичное. При этом суммарное магнитное поле оказывается отличным от того, каким оно было бы в вакууме.

Схематически явление намагничивания можно представить следующим образом. Электроны атомов в своем вращении вокруг ядра уподобляются крошечным рамкам с током и, следовательно, обладают магнитными моментами. В отсутствии внешнего магнитного поля магнитные моменты атомов направлены хаотически и суммарный магнитный момент рассматриваемого объема, представляющий собой геометрическую сумму магнитных моментов атомов, равен нулю. Под действием внешнего магнитного поля происходит ориентация магнитных моментов атомов, и суммарный магнитный момент оказывается отличным от нуля.

Образующееся в результате намагничивания дополнительное магнитное поле может как ослаблять, так и усиливать первичное поле среды, в некоторых магнитное поле ослабляется, называют диамагнитными, среды, в которых поле незначительно усиливается, называют парамагнитными, а среды, в которых происходит существенное усиление магнитного поля,

– ферромагнитными.

В соответствие вектору магнитной индукции ставят вектор напряженности магнитного

§ 2. Классификация сред

Свойства среды характеризуются параметрами , и . Параметр называется удельной

В зависимости от свойств этих параметров среды делятся на:

–линейные, в которых параметры не зависят от величины электрического и магнитного полей и

–нелинейные, в которых хотя бы один из параметров зависит от величины этих полей. Все реальные среды, по существу, нелинейные, но при не очень сильных полях во многих случаях можно пренебречь зависимостью параметров среды от величины электрического и магнитного полей и считать, что рассматриваемая среда линейна. В дальнейшем будем рассматривать только линейные среды.

В свою очередь линейные среды делятся на однородные и неоднородные, изотропные и анизотропные.

В однородных средах параметры не зависят от координат, т.е. свойства среды одинаковы во всех ее точках.

Если свойства среды одинаковы по разным направлениям, то ее называют изотропной, если они различны по разным направлениям, то среду называют анизотропной. В изотропных

средах векторы P и E , D и E , а также M и H , B и H параллельны, в анизотропных средах они могут быть непараллельными. В изотропных средах все параметры – скаляры, в анизотропных, по крайней мере, хотя бы один из них является тензором. Примерами анизотропных сред могут являться кристаллические диэлектрики и ферромагнетики.

§ 3. Основные уравнения электромагнитного поля

3.1. Первое уравнение Максвелла

Уравнения Максвелла не выведены, а записаны Максвеллом на основе существующих в середине 18 столетия представлений об электрических и магнитных явлениях. Эти

уравнения связывают векторы электромагнитного поля. Мы ввели шесть векторов, характеризующих электромагнитное поле. Но так как векторы E , P и D электрического

соотношения (1.9) и соотношение (1.21), электромагнитное поле полностью определяется

двумя векторами (обычно E и H ).

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока (закона Ампера),

Форма контура при этом может быть произвольной при условии, что он охватывает ток I не более одного раза.

До Максвелла под током I понимали только ток проводимости, т.е. ток, текущий по металлическому проводнику. В общем случае распределение тока I внутри контура Г может

А

в. Подставляя (3.2) в (3.1), получаем:м2

S

Уравнения (3.1) и (3.4), справедливые в случае постоянных токов и поля, оказываются неверными в случае переменных процессов. Максвелл сделал их справедливыми, введя понятие тока смещения. Примером тока смещения является переменный электрический ток, циркулирующий между обкладками конденсатора, даже если он разделены идеальным диэлектриком или находятся в вакууме. Соединительный провод, по которому течет ток проводимости, окружен кольцевыми линиями магнитного поля, образующими как бы «оболочку» вокруг всего провода. Максвелл предположил, что эта «оболочка» не обрывается у пластин конденсатора, а образует замкнутую поверхность, т.е. изменяющееся электрическое поле конденсатора также окружено кольцевыми линиями магнитного поля. Таким образом, переменное электрическое поле так же, как и ток проводимости, сопровождается появлением магнитного поля. Это дало основание ввести понятие о новом виде тока, получившего название тока смещения. Плотность этого тока определяется формулой

Следует представлять, что ток проводимости и ток смещения в вакууме имеют различную физическую сущность. Ток проводимости – это упорядоченное движение свободных электрических зарядов, а ток смещения в вакууме соответствует только изменению электрического поля и не сопровождается каким-либо движением электрических зарядов. Ток смещения в вакууме не сопровождается выделением тепла.

Вернемся к закону полного тока. С введением тока смещения закон полного тока запишется в виде

Подставляя (3.2) и (3.3) в (3.6), получаем первое уравнение Максвелла в интегральной форме, сформулированное для контура конечных размеров:

Для перехода к дифференциальной форме этого уравнения воспользуемся теоремой Стокса: циркуляция вектора по замкнутому одновитковому контуру равна потоку от ротора этого вектора через поверхность, опирающуюся на этот контур. Применяя эту теорему к левой части (3.8), получаем

Это и есть первое уравнение Максвелла в дифференциальной форме.

3.2. Второе уравнение Максвелла

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона индукции Фарадея, который формулируется следующим образом: если замкнутый контур Г пронизывается переменным потоком Ф, то в контуре возникает эдс, равная скорости изменения магнитного потока

Знак минус в правой части формулы означает, что возникающая в контуре эдс, всегда как бы стремится помешать изменению потока, ее создающего. Это явление носит название «правило Ленца».

До Максвелла считалось, что уравнение (3.11) справедливо только для проводящего контура. Максвелл предположил, что оно справедливо также и в том случае, если среда не обладает проводимостью.

Равенство (3.14) сформулировано для контура конечных размеров и называется вторым уравнением Максвелла в интегральной форме.

Чтобы записать это уравнение в дифференциальной форме, снова воспользуемся теоремой Стокса. Предположим, что контур Г неподвижен и не изменяется со временем. Тогда операции дифференцирования и интегрирования в правой части уравнения (3.14) можно поменять местами. Преобразовывая левую часть (3.14) по теореме Стокса, получаем

Равенство (3.16) называется вторым уравнением Максвелла.

3.3. Третье уравнение Максвелла

Третье уравнение Максвелла является обобщением закона Гаусса на случай переменных процессов. Закон Гаусса связывает поток вектора электрического смещения через произвольную замкнутую поверхность S с зарядом Q, сосредоточенным внутри этой поверхности:

S

Заряд Q может быть произвольно распределен внутри поверхности S, т.е.

где V – объем, заключенный внутри поверхности S; – объемная плотность заряда, определяемая как предел отношения заряда Q, сосредоточенного внутри объема V, к величине этого объема при неограниченном уменьшении V:

Уравнение (3.20) называют третьим уравнением Максвелла в интегральной форме.

Для перехода к дифференциальной форме воспользуемся теоремой Остроградского Гаусса, связывающей поток вектора через замкнутую поверхность с интегралом по объему, ограниченному этой поверхностью, от дивергенции этого вектора:

Из равенства (3.23) следует, что линии вектора D имеют начало (истоки) и конец (стоки) на свободных электрических зарядах (начинаются на положительных, а заканчиваются на

3.4. Четвертое уравнение Максвелла

Четвертое уравнение Максвелла в интегральной форме совпадает с законом Гаусса для

магнитного поля, формулируемым следующим образом: поток вектора B через любую замкнутую поверхность S равен нулю, т.е.

Это означает, что не бывает линий вектора B только входящих замкнутую поверхность S или выходящих из нее – они всегда пронизывают ее.

Переход к дифференциальной форме осуществляется так же, как и в случае третьего закона Максвелла. В результате уже известных нам преобразований получаем

Лекция №2

3.5. Уравнение непрерывности

Уравнение непрерывности можно получить, взяв дивергенцию от обеих частей первого уравнения Максвелла (3.10). Учитывая, что дивергенция ротора любого вектора равна нулю, и используя третье уравнение Максвелла, получаем

Левая часть этого уравнения представляет собой вектор плотности полного тока