3. ДЕФЕКТЫ И ПРИМЕСИ

Электрические свойства полупроводников могут быть значительно изменены включением небольшого количества примесей или других дефектов. Дефектыприсутствуютвлюбомкристалле,иихтермодинамическиравновесную концентрацию Nt можно приближенно оценить как

Nt = kt N exp − kEtT ,

B

где N – концентрация узлов заданного типа; Et – энергия образования дефекта; kt – безразмерный множитель в диапазоне 1…10; T – температура роста кри-

сталла. Энергия образования дефектов в полупроводниках, как правило, составляет несколько электрон-вольт.

3.1. Свойства примесей и дефектов

Любое нарушение идеальной трансляционной симметрии кристаллической решетки с точки зрения физики твердого тела является дефектом. Реальный кристалл обязательно содержит множество разнообразных дефектов. Это могут быть собственные дефекты кристалла – вакансии или атомы в междоузлии, или атомы примесей замещения, а также дислокации, кластеры и т. д. Поверхность кристалла также рассматривается как протяженный дефект.

Относительно размерности дефекты подразделяются на точечные, линейные, двумерные и трехмерные.

Задача 3.1.

Оценитьтермодинамическиравновеснуюконцентрациюдефектовсэнергией образования 2.5 эВ.

Задача 3.2.

1)В высококачественном кристалле кремния плотность дефектов может быть понижена до 1013 см–3. Рассчитать среднее расстояние между дефектами

втаком кристалле.

2)Рассчитать среднее расстояние между атомами примеси в сильнолеги-

рованном Si, в котором концентрация примеси составляет 1019 см–3.

3.2. Водородоподобные примеси

По своему положению в запрещенной зоне энергетические уровни дефектов подразделяют на мелкие (находящиеся у краев разрешенных зон) и глубокие (располагающиеся близко к середине запрещенной зоны). Дефекты с мел-

26

кими уровнями слабо возмущают кристаллический потенциал, и к ним как правило применимо водородоподобное приближение.

Водородоподобная примесь – примесь, энергетический спектр которой подобен спектру атома водорода. Как известно, дискретные уровни энергии

=13.56 эВ – энергия ионизации атома водорода (Ридберг).

Энергетический спектр водородоподобной донорной (или акцепторной) примеси может быть рассчитан вприближенииэффективноймассы. При этом ослабление кулоновской связи носителя заряда за счет поляризации среды учитывается введением диэлектрической проницаемости материала ε. Тогда энергия ионизации вычисляется как

В непрямозонных полупроводниках при расчете необходимо учитывать многодолинную структуру зоны проводимости, а применительно к акцепторам – наличие подзон тяжелых и легких дырок.

Протяженность волновой функции связанного состояния электрона в водородоподобном приближении характеризуется боровским радиусом для донора:

aD = 4πε0ε 2 = a0 εm0 , q2m* m*

где a0 = 0.53 Å – боровский радиус атома водорода.

Примеси и дефекты, энергия которых не совпадает (больше) с расчетом в приближении «эффективной массы», называются глубокими центрами.

Задача 3.3.

1)Оценить энергию ионизации донорной водородоподобной примеси в InSb и GaP. Диэлектрическая проницаемость InSb – 16.8, GaP – 11.1.

2)Оценить значение боровского радиуса донора в этих полупроводниках.

Решение.

InSb – прямозонный полупроводник c эффективной массой электронов

mn* = 0.014 m0. GaP – непрямозонный полупроводник, имеющий абсолютный минимум зоны проводимости в точке X (здесь не будем учитывать известную

27

двугорбую структуру Х-минимума зоны проводимости GaP). Эффективные массы электронов mn* = 0.22 m0, mn* = 1.12 m0. Упрощенная зонная структура полупроводников соответствует приведенной на рис. 2.7.

R* = 0.024 эВ. По полученному γ13 из графика находится ED R* =1.61 и далее ED = 39 мэВ.

Ответ:

1)ED в InSb – 0.67 мэВ, в GaP – 39 мэВ;

2)aD в InSb – 63.6 нм, в GaP – 2.7 нм.

Задача 3.4.

Примесьсерывфосфидегаллияимеетглубинузалегания0.1эВ.Является ли она водородоподобной примесью? Пояснить ответ.

Указание: сравнить с решением задачи 3.3.

28

4.СТАТИСТИКА РАВНОВЕСНЫХ НОСИТЕЛЕЙ ЗАРЯДА

ВПОЛУПРОВОДНИКАХ

4.1. Функция распределения Ферми–Дирака. Плотность разрешенных состояний

Для нахождения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо знать плотность энергетических состояний и вероятность того, что данное состояние с энергией E занято частицей. Для частиц-фермионов, к которым относятся электроны, вероятность заполнения энергетических уровней определяется функцией Ферми–Дирáка (рис. 4.1):

В ряде случаев распределение Ферми– Дирака без существенной погрешности можно аппроксимировать его класси-

ческим приближением – распределением Больцмана, имеющим вид

fn (E,T )≈ exp[(EF − E)(kBT )]<<1.

Плотность разрешенных состояний в зоне проводимости определяется через эффективную массу плотности состояний электронов:

В случае прямозонного полупроводника масса плотности состояний тождественно равна изотропной эффективной массе в Г-минимуме: md*n ≡ mn* .

Для многодолинной зоны проводимости непрямозонного полупроводника в (4.1) следует подставить эффективную массу плотности состояний (2.3).

Плотность разрешенных состояний в валентной зоне рассчитывается аналогично:

g p (E ) = 4π(2md*p h2 )3/2 (EV − E)1/2 ,

где эффективная масса плотности состояний дырок определяется из (2.4).

29

Задача 4.1.

1. Построить распределение Ферми–Дирака для электронов в зоне проводимости для двух температур – 300 и 77 К. Энергию уровня Ферми EF взять равной 0.1 эВ.

2. Оценить в единицах kBT размытие функции при разных температурах. Указание: постоянную Больцмана взять в виде kB = 8.617·10–5 эВ/К.

Задача 4.2.

1.Построить на одном графике распределение Ферми–Дирака при 300 К

иего классическое приближение – распределение Больцмана. Оценить границы применимости данного приближения и его погрешность.

2.Рассмотреть построенный график совместно с зонной диаграммой полупроводника. При каких относительных положениях EC, EF и ED можно

пользоваться распределением Больцмана?

Задача 4.3.

Определить, для какой энергии выше уровня Ферми (в единицах kBT) функция распределения Ферми–Дирака будет отличаться от распределения Больцмана не более чем на 1%. Рассчитать значение функции вероятности для этой энергии.

Задача 4.4.

Получить выражение для производной функции распределения Ферми– Дирака. Изобразить производную функции от энергии для T = 77, 300 и 500 К.

Задача 4.5.

Определить полное число энергетических состояний в кремнии в диапазоне энергий между EC и EC + kBT при T = 300 К.

Ответ: 2.12·1019 см–3.

Задача 4.6.

Определить полное число энергетических состояний в кремнии в диапазоне энергий между EV и EV – kBT при T = 300 К.

Ответ: 7.92·1018 см–3.

30

4.2.Равновесная концентрация свободных носителей заряда

вполупроводнике

Если известна плотность разрешенных состояний в зоне проводимости gn (E ), то плотность занятых электронами состояний определяется произве-

дением gn (E) fn (E). Равновесная концентрация электронов в зоне проводимости

где эффективная плотность состояний в валентной зоне:

В ряде частных случаев существуют упрощенные аналитические выраже-

ния:

1. Если число электронов в разрешенной зоне относительно мало и изменяется с температурой ~ kBT (случай невырожденного полупроводника), то применимо распределение Больцмана

31

Концентрация дырок в невырожденном полупроводнике рассчитывается аналогично; при этом энергия дырок отсчитывается от потолка валентной зоны:

В сильно вырожденном полупроводнике n-типа уровень Ферми находится глубоко в зоне проводимости, и концентрация электронов

Задача 4.7.

Рассчитать эффективную плотность состояний в валентной зоне и зоне проводимости Si, GaAs и GaN при 77, 300 и 500 К.

Указание. Воспользоваться формулами (4.4), (4.6).

Задача 4.8.

Рассчитать и построить температурную зависимость эффективной плотности состояний для электронов в зоне проводимости и дырок в валентной зоне для Ge. Диапазон температур 77…300 К.

Задача 4.9.

Вычислить равновесную концентрацию электронов в зоне проводимости арсенида галлия при T = 300 К через интеграл Ферми половинного индекса. Принять EF = EC – 0.1 эВ.

Задача 4.10.

Равновесная концентрация дырок p0 в кремнии при Т = 300 К равна 1015 см–3. Определить EC – EF и n0.

Задача 4.11.

Определить значения n0 и p0 для кремния при Т = 300 К, если уровень Ферми расположен на 0.22 эВ выше потолка валентной зоны.

32

Задача 4.12.

Пусть Si, Ge и GaAs имеют одинаковую степень легирования ND – NA =

= 3·1015 см–3. При условии, что примеси полностью ионизованы при комнатной температуре, для какого материала уровень концентрации дырок p будет наиболее чувствителен к температуре?

Указание. Чувствительность p определяется как δp/δT.

Задача 4.13.

В исследуемом полупроводнике концентрация электронов составляет 1.3·1016 см–3 при 400 К и 6.2·1015 см–3 при 350 К. Найти ширину запрещенной зоны материала, считая, что она меняется от температуры по линейному закону.

Решение.

Отношение концентраций при температурах T1 и T2

для электронов верхнего минимума принять равной mII = 15 mI, ES = 0.35 эВ, а полную плотность электронов считать не зависящей от температуры.

33