Задача 6.8.

Полупроводник в состоянии термодинамического равновесия имеет концентрацию дырок p0 = 1016 см–3 и собственную концентрацию носителей заряда ni = 1010 см–3. Время жизни неосновных носителей заряда равно 2·10–7 с. Определить тепловую равновесную скорость рекомбинации электронов. Определить изменение скорости рекомбинации электронов, если избыточная концентрация электронов n = 1012 см–3.

Решение.

Из закона действующих масснаходим n0, затем Rn0 = n0 τn и Rn = ∆nτn . Тогда ∆R = Rn − Rn0 ≈5·1018 см–3∙с–1.

Задача 6.9.

Образец кремния с концентрацией электронов в состоянии термодинамического равновесия nn0 = 1014 см–3 освещается светом, создающим 1013 элек-

тронно-дырочных пар/(см3·мкс). При условии, что времена жизни электронов и дырок τn = τp = 2 мкс, найти приращение концентрации неосновных носите-

лей заряда (дырок).

Ответ:

до освещения pn0 = ni2 nn0 = 9.31·105 см–3; после освещения pn = pn0 + τpG = 2·1013 см–3.

Задача 6.10.

Рассчитать концентрацию электронов и дырок в n-Si при стационарном освещении cо скоростью генерации носителей заряда G = 1016 см–3.с–1. Концентрация донорной примеси ND = 1015 см–3, время жизни носителей заряда

τn = τp = 10 мкс.

Указание.

Воспользоваться решением предыдущей задачи.

6.3. Основные уравнения для расчета неравновесных носителей заряда

При анализе кинетических процессов в полупроводниках следует различать следующие временные параметры:

• Время жизни – среднее время жизни носителей заряда в кристалле до момента рекомбинации друг с другом или с дефектом решетки. За время

54

жизни избыточные носители, диффундируя от места генерации, преодолевают

всреднем расстояние lдиф, которое называется диффузионной длиной.

•Время свободного пробега – время между двумя последовательными столкновениями частицы. Среднее расстояние, проходимое частицей между двумя последовательными актами рассеяния, называется длиной свободного

пробега lсв.пр.

• Время релаксации – характеристика скорости возвращения неравновесной функции распределения в равновесное состояние; используется при количественном описании столкновительных релаксационных процессов.

Основные уравнения, характеризующие поведение неравновесных носителей заряда:

I. Кинетическое уравнение Больцмана – связывает изменение во времени неравновесной функции распределения носителей заряда f (p,r,t) и вынуждающих это изменение факторов:

dfdt = −(v r f )− 1 (Fвнеш k f )+ J ( f ).

Первый (диффузионный) член отражает изменение неравновесной функции распределения носителей заряда за счет градиента температуры и концентрации, второй (полевой) – ее изменение под действием внешних электромагнитных полей, третий (столкновительный) – изменение из-за рассеяния движущихся носителей заряда на колебаниях и несовершенствах кристаллической решетки.

При малой степени отклонения распределения носителей заряда от равновесного состояния, характеризуемого функцией Ферми–Дирака f0, исполь-

зуется приближение времени релаксации:

dfdt = −(v r f )− 1 (Fвнеш k f )+ fτ(−kf)0 .

II. Уравнение непрерывности – описывает динамику изменения концентрации неравновесных носителей заряда во времени при наличии генерации Gn и рекомбинации Rn в полупроводнике, а также при протекании в нем электрического тока. Для электронов оно выглядит так:

где jn – плотность тока носителей заряда (электронов).

55

Ток носителей заряда возникает вследствие приложенных внешних полей E либо из-за градиента концентрации частиц. Поэтому плотность тока, входящая в (6.6), содержит дрейфовую и диффузионную компоненты:

где γn = qnµn – удельная проводимость; Dn =µnkBT q – коэффициент диффузии соответствующих носителей заряда; µn – их подвижность.

III. Уравнение Пуассона – связывает объемную плотность заряда ρ и напряженность электрического поля E :

где ε – относительная диэлектрическая проницаемость полупроводника. Прирасчетахвфизикеполупроводников обычноиспользуетсяинтеграль-

ная форма уравнения Пуассона

2ϕ = εεq0 (p − n + ND+ − NA− ),

где φ – электростатический потенциал, остальные входящие в уравнение переменные расшифрованы в 4.3.

Следует заметить, что электропроводность, подвижность и время жизни в кристаллических полупроводниках оказываются анизотропными. Ранее, при анализе заполнения частицами разрешенных состояний, была введена эффективная масса плотности состояний, которая учитывала многодолинную зонную структуру полупроводника. При описании транспортных свойств носителей заряда в кристалле применяется аналогичный параметр, также учитывающий реальную зонную структуру полупроводника, – эффективная масса про-

водимости mσ* .

При анизотропном квадратичном законе дисперсии зоны проводимости непрямозонных полупроводников эффективная масса проводимости электронов

где m* и m* – продольная и поперечная эффективные массы электрона. В слу-

чае изотропного квадратичного закона дисперсии mσ* n = mn* .

56

Для вырожденных валентных зон, вблизи экстремумов которых сохраняется квадратичная зависимость E (k ), эффективная масса проводимости дырок имеет вид

где m*рl, m*рh – эффективные массы легких и тяжелых дырок в валентной зоне

соответственно.

Следует подчеркнуть различие между эффективной массой плотности со-

стояний m*n p в (2.3), (2.4)иэффективноймассойпроводимости m*n p в (6.9), d , σ ,

(6.10). Первая вводится для удобства оценки эффективной массы носителей в реальных полупроводниках при замене изоэнергетических поверхностей, в частности для долин в зоне проводимости, усредненной сферической поверхностью. Эффективная масса проводимости, по существу, отражает динамические свойства электронов и дырок. Введение эффективной массы проводимости позволяет сохранить простой вид выражения (5.3) для подвижности в приближении времени релаксации для полупроводников со сложной структурой зон: µ = qτmσ* .

Амбиполярная диффузия.

Данный тип диффузии определяется наличием подвижных носителей заряда двух знаков в полупроводниках с биполярной проводимостью. В силу того, что электроны обладают бόльшим коэффициентом диффузии, чем дырки, они диффундируют быстрее. Однако электростатическое поле, возникающее при разделении носителей заряда, тормозит движение электронов и одновременно ускоряет движение дырок. В результате скорости диффузии электронов и дырок сравниваются и характеризуются единым коэффициентом амбиполярной диффузии:

Здесь γn = qnµn , γp = qpµp – электронная и дырочная проводимости.

57

Амбиполярный дрейф.

Этот механизм наблюдается при рассмотрении дрейфа в полупроводнике неравновесного локализованного пакета одного знака, например дырок, при одновременном действии тянущего электрического поля. Диффузией носителей заряда при такой постановке задачи можно пренебречь.

При высоком уровне инжекции здесь уже нельзя в расчетах пользоваться однополярной подвижностью основных носителей заряда μp. Необходимо учитывать неосновные носители заряда, которые будут тормозить движение пакета дырок, снижая их дрейфовую скорость vдр, аследовательно, и подвиж-

Задача 6.11.

Вывести выражение для максвелловского времени релаксации.

Решение.

Максвелловское время релаксации – это время, за которое исчезает избы-

точный объемный заряд подвижных носителей заряда, введенный в полупроводник в момент времени t0. Для нахождения времени релаксации τ запишем уравнение непрерывности, в котором пренебрежем генерацией и рекомбинацией (эти процессы оказываются слишком медленными по сравнению с рассматриваемым):

dndt = 1q div γnE или q dndt = γndiv E .

Далее выразим div E из уравнения Пуассона (полагаем ρ = qn ):

Решая уравнение, получим

ρ(t )=ρ0 exp(−tτМ),

58

где τМ = εεγ0 – максвелловское время релаксации. Его типичное значение со-

ставляет примерно 10–12 с.

Задача 6.12.

Неосновные носители заряда (дырки) точечно инжектируются в однородный образец n-типа. В приложенном электрическом поле напряженностью 50 В/см дырки перемещаются на расстояние 1 см за 0.1 мс. Определить скорость дрейфа и коэффициент диффузии неосновных носителей заряда.

Ответ:

vp = 104 см/с;

Dp = kBTµp/q = 5.18 см2/с.

Задача 6.13.

Образец кремния n-типа при температуре T1 = 300 К имеет удельное сопротивление 0.05 Ом∙м, причем концентрация электронов в нем не изменяется при нагревании до температуры T2 = 500 К. Определить, насколько изменяется концентрация неосновных носителей заряда в этом температурном диапазоне. При температуре T1 подвижность электронов 0.14 м2/(В·с), ni = 7·1015 м–3.

Указание.

Воспользоваться выражением для удельного сопротивления ρ =1γ, где γn = qnµn – удельная проводимость образца. Для учета температурного изменения ширины запрещенной зоны использовать формулу Варшни.

Задача 6.14.

На сколько (в процентах) увеличится удельная проводимость антимонидаиндия ссобственной электропроводностью при изменении температуры от 20 до 30 °C, если при T = 0 К ширина запрещенной зоны EG(0) = 0.236 эВ,

а подвижность электронов и дырок изменяется по закону T–3/2. Принять коэффициент линейного температурного изменения ширины запрещенной зоны b = –2.8∙10–4 эВ/К.

Указание.

Температурная зависимость удельной проводимости определяется соответствующей зависимостью входящих в ее формулу величин: γn = qnµn .

59

Задача 6.15.

Вычислить отношение полного тока через полупроводник к току, обусловленному дырочной составляющей: а) в собственном германии; б) в германии p-типа с удельным сопротивлением 0.05 Ом∙м. Принять собственную концентрацию носителей заряда при комнатной температуре ni = 2.1·1019 м–3, по-

движность электронов 0.39 м2/(В·с), подвижность дырок 0.19 м2/(В·с).

Решение.

На основе закона Ома получаем выражение для отношения полного тока к его дырочной составляющей

Задача 6.16.

Полагая, что при комнатной температуре в полупроводнике n-типа концентрация электронов линейно изменяется от 1018 до 7·1017 см–3 на длине 1 мм, определить плотность диффузионного тока. Коэффициент диффузии электронов Dn принять равным 22.5 см2/с.

Ответ: Jn dif = qDndn/dx = 10.8 A/cм2.

Задача 6.17.

НайтисобственнуюконцентрациюносителейзарядавGe,еслиудельноесопротивление при комнатной температуре равно 0.47 Ом·м. Подвижности электронов и дырок при комнатной температуре равны 0.39 м2/(В·с) и 0.19 м2/(В·с) соответственно.

Ответ: ni = 2.3·1019 м–3.

Задача 6.18.

Для нелегированного Ge подвижности электронов и дырок равны 0.38 и 0.18 м2/(В·с), для нелегированного Si – соответственно 0.13 и 0.05 м2/(В·с). Определить значение собственной проводимости γi для этих материалов. Собственную концентрацию электронов при комнатной температуре в Ge принять равной ni = 2.5·1019 м–3, в Si ni = 1.5·1016 м–3.

Ответ:

Ge: γi = qni (µn + µp) = 2.24 (Ом·м)–1; Si: γi = qni (µn + µp) = 0.43 (Ом·м)–1.

60

Задача 6.19.

Определить коэффициент амбиполярной диффузии нелегированного Ge при комнатной температуре. При расчете учесть, что µn = 3900 см2/(В·с),

µn/µp = 2.1.

Ответ: D = 65 см2/с.

Задача 6.20.

ПрикомнатнойтемпературеобразецGe имеетравновеснуюконцентрацию доноров 2·1013 см–3. Время жизни избыточных носителей заряда τp0 = 24 мкс, коэффициенты диффузии Dn = 101 см2/с и Dp =49.2 см2/с. Определить коэффициент амбиполярной диффузии и амбиполярную подвижность. Каковы при этом значения времен жизни электронов и дырок?

Решение.

В случае узкозонного Ge при расчете концентрации основных носителей заряда необходимо учесть вклад легирования и разрыва собственных связей полупроводника (4.14).

С использованием выражений для Dn и Dp (6.7) после преобразований получаем:

Dамб = DnDp (n + p)= 58.4 см2/с,

Dnn + Dp p

µамб = µµnµp+(nµ+ p)= 868 см2/(В·с).

nn p p

Задача 6.21.

В момент времени t1 = 10–4 c после выключения равномерной по объему генерации электронно-дырочных пар неравновесная концентрация носителей заряда оказалась в 10 раз больше, чем в момент t2 = 10–3 c. Определить время жизни τ, если уровень возбуждения невелик и рекомбинация идет через простые дефекты.

Решение.

Релаксация неравновесной концентрации описывается уравнениемd p/dt =

= – p/τ. Отсюда p(t) = p(0)exp(–t/τ), p(t1)/Δp(t2) = exp((t2 – t1)/τ) и τ = = (t2 – t1)/ln[Δp(t1)/Δp(t2)] ≈ 4·10–4 c.

61

6.4.Принцип детального баланса. Центры захвата

ицентры рекомбинации

Длядефектногоцентра,обладающего энергетическимуровнемEt в запрещенной зоне, существует 4 варианта обмена носителями заряда с разрешенными зонами, которые характеризуются соответствующими вероятностями в единицу времени. Обозначим cn – вероятность в единицу времени (или скорость)захватаэлектроналовушкой; en – вероятность(скорость)термоэмиссии электрона с ловушки; cp – вероятность захвата дырки ловушкой; ep – вероят-

ность термоэмиссии дырки с ловушки (рис. 6.1). Единица измерения введенных вероятностей – секунда в минус первой степени.

Процесс захвата электрона на глубокий уровень количественно описывается подобно рассмотренному ранее рассеянию носителя заряда на дефекте посредством введения сечения захвата электронов σn и дырок σp .

Суммарная скорость изменения заполнения электронами ловушки

сэнергетического уровня dt n p t t n p t

взапрещенной зоне Здесь Nt – концентрация ловушек, причем nt из.+ e + c− n )− e(N= c nи эмиссии носителя заряда

них заполнены электронами. В соответствии с принципом детального баланса в отсутствие внешних сил любая система стремится к термодинамическому

равновесию, при этом dndtt = 0 и устанавливается равновесное заполнение ло-

вушек электронами nt0 . В этих условиях темпы эмиссии и захвата электронов

ловушкой должны быть одинаковы, и то же самое должно выполняться для дырок.

В этих условиях вероятности (скорости) эмиссии электронов и дырок:

62