Указание.
1.Для высоких температур x велико и x ln(1+ x), поэтому можно приближенно принять ln(1+ x)
x ≈1
x .
2.Для низких температур следует разложить ln(1+ x) в ряд Тейлора по малому параметру x.
5.4.Смешанное рассеяние носителей заряда
Вреальных кристаллах действуют одновременно несколько механизмов рассеяния.Вкладкаждоготипарассеянияоченьсильноменяетсясизменением температуры и концентрации примесей в образце. В полупроводниках с ковалентными связями между атомами (Ge, Si, алмаз), в основном, действуют механизмы рассеяния на ионах и акустических фононах. В полупроводниках с
долей ионной связи (соединения A3B5 и др.), как правило, проявляется рассеяние на ионах и оптических фононах.
Каждый из механизмов рассеяния характеризуется своей вероятностьюWi , т. е. сечением рассеяния σi . Вероятность сложного события есть сумма вероят-
ностей отдельных событий: σ = ∑σi , или, переходя к временам релаксации: i
1
τ = ∑1
τi ,
i
где τi – время релаксации, определяемое i-м механизмом рассеяния.
Дрейф носителей заряда под действием приложенного внешнего поля количественно характеризуется подвижностью µ = qτ
m *, которая будет опре-
деляться суммарным эффектом всех механизмов рассеяния. На рис. 5.6 изображена зависимость подвижности носителей заряда в широком температурном диапазоне.
В области высоких температур основным механизмом, лимитирующим подвижность, является рассеяние на акустических колебаниях решетки. Эта зависимость при простом квадратичном законе дисперсии электронов характе-
ризуется формулой µак T −3/2 . В общем слу- |
|
|
чае |
в различных полупроводниках рассеяние |
Рис. 5.6. Температурная |
на тепловых колебаниях решетки имеет широ- |
зависимость подвижности |
|
носителей заряда при различных |
||
кий |
диапазон зависимости от температуры |
концентрациях примеси |
47
(µреш T −α, где α = 0.5...2.7). Это различие объясняется преимущественным
вкладом в решеточное рассеяние конкретного типа колебаний решетки и особенностями зонной структуры полупроводника. Рассеяние на ионизованных примесях при высоких температурах играет второстепенную роль.
В области средних температур роль рассеяния на колебаниях решетки снижается и главную роль начинает играть рассеяние на ионизованных при-
месях, здесь для подвижности справедлива зависимость µион T 3/2 . При
очень низких температурах энергия электрона становится очень малой, а степень ионизации примесей резко падает; здесь характер температурной зависимости подвижности, обусловленной рассеянием на ионах, изменяется на
µион T −1/2 . Очевидно, что с повышением концентрации ионизованных цен-
тров подвижность носителей заряда падает.
В таблице приводятся данные по температурной зависимости подвижности носителей заряда при различных механизмах рассеяния.
Температурная зависимость подвижности носителей заряда при различных механизмах рассеяния
Рассеяние |
Температурная зависимость |
Примечание |
|
подвижности |
|||
|
|
||
На деформационном |
µак T −3 2 |
Существенно при высоких T |
|
акустическом потенциале |
|||
решетки |
|
|
|
На ионизованной примеси |
µион T 3/2Nдеф−1 |
Относительно высокие T |
|
µион T −1/2Nдеф−1/3 |
Низкие T |
||
|
|||
На нейтральной примеси |
µн ≠ f (T ) |
Существенно при малой иони- |
|
µн ~1 Nн |
зации примеси (низкие T) |
||
|
Задача 5.10.
Известно, что подвижность электронов в n-GaAs при уровне легирования донорами до 5·1017 см–3 равна 3500 см2∙В–1∙с–1. Рассчитать время релаксации для рассеяния на фононах.
Задача 5.11.
Используя рис. 5.7, рассмотреть рассеяние носителей заряда в полупроводнике n-типа. Какие из следующих утверждений верны?
1) Если уровень легирования увеличить в 10 раз, то проводимость тоже увеличится в 10 раз.
2) При высоких температурах преобладает рассеяние на фононах.
48
Рис. 5.7. Подвижность электронов как функция их концентрации и температуры кристалла
3) В слаболегированных полупроводниках при комнатной температуре время рассеяния на кристаллическойрешеткепревышаетпостояннуювремени примесного рассеяния.
4) Если мысленно удалить все примеси из полупроводника, то время рассеяния при низких температурах увеличится.
Задача 5.12.
В полупроводниковом материале наблюдается 3 механизма рассеяния. Если бы присутствовал только первый механизм рассеяния, то подвижность носителей заряда была бы равна µ1 = 2000 см2/(В·с). В случае присутствия только второго механизма рассеяния подвижность была бы равна µ2 = 1500 см2/(В·с), а в случае только третьего – µ3 = 500 см2/(В·с). Определить подвижность носителей заряда в случае присутствия всех трех механизмов рассеяния.
49