Внешнее электрическое поле вызывает направленное смещение подвижных носителей заряда, характеризуемое дрейфовой скоростью vдр, на фоне

беспорядочного теплового движения со скоростью vт. Средняя дрейфовая ско-

рость движения носителей заряда в электрическом поле единичной напряженности называется подвижностью носителей заряда. В приближении времени релаксации подвижность выражается формулой

Задача 5.1.

Оценить размер дефектов, вносящих эффективный вклад в рассеяние электронов в GaAs.

Ответ. Этот размер примерно равен четверти длины волны де Бройля

≈ λ 4 ≈ 6.4 нм.

Задача 5.2.

Подвижность электронов в InAs при комнатной температуре равна 35 000 см2/(В·с). Для Si этот параметр равен 1400 см2/(В·с). Рассчитать время рассеяния (релаксации) в этих двух полупроводниковых материалах. Эффективные массы электронов в InAs и Si взять из табл. 2.2.

Указание.

В приближении времени релаксации τ =µm*q .Для непрямозонных полупроводников в качестве массы нужно подставлять массу плотности состояний.

Задача 5.3.

Подвижность электронов в Si при комнатной температуре равна 1400 см2/(В·с). Определить длину свободного пробега и накопленную электрономэнергию вэлектрическомполе1кВ/см. Тепловуюскоростьэлектронов vт принять равной 2·107 см/с.

Указание.

Средняя длина свободного пробега электрона lсв.пр = vтτ.

5.2. Рассеяние носителей заряда на динамических дефектах

При температуре выше абсолютного нуля атомы в кристалле колеблются около своих положений устойчивого равновесия. Так как все атомы твердого тела связаны друг с другом упругими силами, то колебания любого из них

42

передаются соседнему, и, таким образом, по всему кристаллу во всевозможных направлениях распространяются упругие волны. Каждая волна характеризуется квазиволновым вектором q и частотой ω, зависящей от q.

В элементарных ячейках полупроводников типа алмаза и цинковой обманки содержатся 2 атома, поэтому в них имеется 6 различных типов колебаний решетки (рис. 5.1). Дисперсионные зависимости частоты колебаний решетки принято строить в пределах первой зоны Бриллюэна.

Три нижние ветви называют акустическими, остальные – оптическими. Для каждого типа (акустических или оптических) колебаний в трехмерном кристаллевозможны3 поляризацииколебаний:одна продольная (LA, LO) и две поперечные (TA, TO).

Энергияколебаний решеткиквантована.Квант

энергии тепловых колебаний решетки (фонон) обладает энергией Eф = ω и квазиимпульсом Pф = λ.

Фононы являются бозонами, поэтому в кристаллической решетке может быть возбуждено одновременно сколь угодно одинаковых фононов. В состоянии термодинамического равновесия среднее число фононов данного типа с частотой ωj и волновым вектором q (т. е. заполненность фононной моды) вы-

ражается распределением Бозе–Эйнштейна

энергия ωmax = kBθD , где θD – температура Дебая.

Задача 5.4.

Температура Дебая бинарного полупроводника GaAs составляет 360 К. Найти максимальную частоту оптического фонона в этом материале и соответствующую ему энергию. Оценить значение упругой постоянной кристалла.

43

Задача 5.5.

Оценить, является ли рассеяние электронной волны на продольном акустическом фононе актом упругого взаимодействия (рассеяния).

Задача 5.6.

Найти среднее число фононов в GaAs в состоянии с энергией 120 мэВ при температуре 77, 300 и 400 К.

Указание.

Фононы являются бозонами, поэтому следует воспользоваться формулой для распределения Бозе–Эйнштейна (5.4).

Задача 5.7.

Пусть частица, описываемая плоской волной ψ1(x)= eik1x , налетает на

прямоугольный потенциальный барьер (рис. 5.2). Рассчитать коэффициенты отражения и прохождения для модельной задачи по рассеянию частицы на акустическом деформа-

ψотр(x)= re−ik1x , ψ2 (x)=teik2x .

2k = k2 + k1 и δk = k2 − k1, тогда r = δk(2k).

По определению, коэффициент отражения есть отношение интенсивно-

стей отраженной и падающей волн, т. е. R = r 2 = (4δkk2)2 . Выражение для δk

получим, продифференцировав по k дисперсионную зависимость E = 2k2 .

2m

m 2 (δE)2

Отсюда R = 4 4k4 .

44

5.3.Рассеяние на статических дефектах (ионизованная примесь)

Впримесном полупроводнике каждый ион примеси создает вокруг себя электрическое поле. Под действием этого поля движущийся со скоростью v носитель заряда отклоняется от своего первоначального направления. Выведем формулы для времени релаксации носителей заряда и подвижности на основе классических соображений. При этом задача рассеяния частицы на ионе примеси сводится к расчету траектории движения заряженной частицы в кулоновском поле (рис. 5.3). Здесь θ – угол рассеяния, b – прицельный параметр, которые связаны формулой

Дифференциальное сечение рассеяния σ(θ) по определению равно отно-

шению числа частиц, отклоненных центром в единицу времени на угол dθ в телесный угол dΩ, к плотности потока падающих частиц:

Эта формула была получена Резерфордом при изучении рассеяния α-ча- стиц на ядрах тяжелых элементов.

Рис. 5.3. Рассеяние электрона и дырки положительным ионом примеси

Интегральное сечение рассеяния находится интегрированием σ(θ) по всем возможным углам (формула Конуэлла–Вайскопфа) и окончательно имеет вид

трона; Eпот – его потенциальная энергия в кулоновском поле иона.

45

Телесный угол – часть пространства, которая является объединением всех лучей, выходящих из данной точки (вершины угла) и пересекающих некоторую поверхность (которая называется поверхностью, стягивающей данный телесный угол). Границей телесного угла является некоторая коническая поверхность. Обозначается телесный угол буквой Ω.

Телесный угол измеряется отношением площади той части сферы с центром в вершине угла, которая вырезается этим телесным углом, к квадрату ра-

диусасферы: Ω = Sr2 (рис. 5.4).Телесный угол– безразмерная величина. Его единицей измерения в СИ является стерадиан (ср), равный телесному углу, вырезающему из сферы радиуса r поверхность с площадью r2. Площадь по-

верхности шара S = 4πr2 , поэтому полная сфера образует телесный угол, равный 4π ср (полный телесный угол), для вершины, расположенной внутри сферы, в частности, для центра сферы; таким же является телесный угол, под которым видна любая замкнутая поверхность из точки, полностью охватываемой этой поверхностью, но не принадлежащей ей.

Сферическими координатами называют систему координат для отображения геометрических свойств фигуры в трех измерениях посредством задания трех координат (r, θ, φ) (рис. 5.5).

Задача 5.8.

Вывести формулу Резерфорда (5.5) для рассеяния легкой частицы на тяжелом ядре.

Указание. Следует воспользоваться дифференциальным соотношением между плоским и телесным углами dΩ = 2πsin θdθ.

Задача 5.9.

Упростить выражение для интегрального сечения рассеяния на ионизованной примеси (5.6) в приближении высоких и низких температур.

46