Общая физика электричество и магнетизм

тельно, вектор Е направлен по нормали к каждой точке поверхности проводника. Если бы это было не так, то под действием ка-

сательной составляющей Е заряды начали бы перемещаться по поверхности проводника, что противоречит равновесному распределению зарядов. Следовательно, в случае равновесия зарядов поверхность проводника будет эквипотенциальной.

Если проводящему телу сообщить некоторый заряд q, то нескомпенсированный заряд распределится так, чтобы соблюдались условия равновесия. Представим себе произвольно замкнутую поверхность, полностью заключенную в пределах тела. При равновесии зарядов поле в каждой точке внутри проводника отсутствует, поэтому поток вектора электрического смещения через поверхность равен нулю. Согласно теореме Гаусса, сумма зарядов внутри поверхности также будет равна нулю. Это справедливо для поверхности любых размеров, проведенной внутри проводника произвольным образом. Следовательно, при равновесии ни в каком месте внутри проводника не может быть избыточных зарядов – все они распределяются по поверхности проводника с некоторой плотностью σ.

Поскольку в состоянии равновесия внутри проводника избыточных зарядов нет, удаление вещества из некоторого объема, взятого внутри проводника, никак не отразится на равновесном расположении зарядов.

Таким образом, избыточный заряд распределяется на полом проводнике так же, как на сплошном, то есть по его наружной поверхности. На поверхности полости в состоянии равновесия избыточные заряды располагаться не могут. Этот вывод вытекает также из того, что одноименные элементарные заряды, образующие данный заряд q, взаимно отталкиваются и, следовательно, стремятся расположиться на наибольшем расстоянии друг от друга.

Представим себе небольшую цилиндрическую поверхность, изображенную на рис. 17.24, образованную нормалями к поверхности проводника и основаниями величины dS, одно из которых расположено внутри, а другое – вне проводника.

Поток вектора электрического смещения D через внутреннюю часть поверхности равен нулю, так как внутри проводника Е, а значит и D, равен нулю. Вне проводника в непосредственной близости к нему напряженность поля Е направлена по нормали к поверхности.

71

эквипотенциальные поверхности имеют характерную для точечного заряда форму сферы (на рис. 17.25 из-за недостатка места сфе-

поля здесь больше. Отсюда следует, что плотность зарядов на выступах особенно велика. К такому же выводу можно прийти, учтя, что из-за взаимного отталкивания заряды стремятся расположиться как можно дальше друг от друга.

Плотность зарядов при данном потенциале проводника определяется кривизной поверхности: она растет с увеличением положительной кривизны (выпуклости) и убывает с увеличением отрицательной кривизны (вогнутости). Особенно велика бывает плотность зарядов на остриях. Поэтому напряженность поля вблизи остриев может быть настолько большой, что возникает ионизация молекул газа, окружающего проводник. Ионы иного знака, чем q, притягиваются к проводнику и нейтрализуют его заряд. Ионы того же знака, что и q, начинают двигаться от проводника, увлекая с собой нейтральные молекулы газа. В результате возникает ощутимое движение газа, называемое электрическим ветром. Заряд проводника уменьшается, он как бы стекает с острия и уносится ветром. Поэтому такое явление называют истечением заряда с острия.

При внесении незаряженного проводника в электрическое поле носители заряда приходят в движение: положительные – в направле-

нии вектора Е, отрицательные – в противоположную сторону.

73

ла, сообщение проводнику новой порции заряда вызовет изменение поляризации этих тел либо изменение индуцированных зарядов на этих телах. В результате подобие в распределении различных порций заряда будет нарушено.

Итак, различные по величине заряды распределяются на уединенном проводнике подобным образом (отношение плотностей заряда в двух произвольных точках поверхности проводника при любой величине заряда будет одним и тем же). Отсюда вытекает, что потенциал уединенного проводника пропорционален находящемуся на нем заряду. Действительно, увеличение заряда в некоторое число раз приводит к увеличению в то же число раз напряженности поля в каждой точке окружающего проводник пространства. Соответственно, в такое же число раз возрастает работа переноса единичного заряда из бесконечности на поверхность проводника, то есть потенциал проводника. Таким образом, для уединенного проводника

q = Сφ.

Коэффициент пропорциональности С между потенциалом и зарядом называется электроемкостью (сокращенно просто емкостью) проводника.

C q .

Таким образом, емкость численно равна заряду, сообщение которого проводнику повышает его потенциал на единицу.

Уединенные проводники обладают небольшой емкостью. Даже шар таких размеров, как Земля, имеет емкость всего лишь 700 мкФ. Вместе с тем на практике бывает потребность в устройствах, которые при небольшом, относительно окружающих тел, потенциале накапливали бы себе («конденсировали») заметные по величине заряды. В основу таких устройств, называемых конденсаторами, положен тот факт, что электроемкость проводника возрастает при приближении к нему других тел. Это вызвано тем, что под действием поля, создаваемого заряженным проводником, на поднесенном к нему теле возникают индуцированные (на проводнике) или связанные (на диэлектрике) заряды. Заряды, противоположные по знаку заряда проводника q, располагаются ближе к проводнику, чем одноименные с q,

75

где ε0 – электрическая постоянная; ε – диэлектрическая проницаемость среды, заполняющей зазор

величиной d между обкладками; q – заряд на ней;

S – площадь обкладки.

Разность потенциалов между обкладками

U Ed qd .

0S

Отсюда емкость плоского конденсатора

C 0d S .

Емкость цилиндрического конденсатора

C 2 0 l , ln R2R1

где l – длина конденсатора;

R1 и R2 – радиусы внутренней и внешней обкладки.

Емкость сферического конденсатора определяется следующим выражением:

где R1 и R2 – радиусы внутренней и внешней обкладки.

Емкость уединенного шара радиуса R, погруженного в однородный безграничный диэлектрик с проницаемостью ε, равна

С = 4πε0εR.

За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда в 1 Кл. Эта единица емкости называется фарад (Ф).

77

При последовательном соединении конденсаторов на каждый из них приходится лишь часть разности потенциалов U клемм батарей, что значительно снижает возможностьпробоя конденсаторов.

17.14. Энергия системы зарядов и уединенного проводника

Пусть два неподвижных точечных заряда q1 и q2 находятся на расстоянии r друг от друга. Каждый из этих зарядов в поле другого обладает потенциальной энергией

W1 = q1φ12, W2 = q2φ21,

где φ12 и φ21 – потенциалы, создаваемые зарядом q2 в точке нахождения заряда q1 и зарядом q1 в точке нахождения заряда q2 соответственно:

поэтому W1 = W2 = W и

W q1 12 q2 21 12 q1 12 q2 21 .

Энергия системы неподвижных точечных зарядов

W1 n qi i ,

2 i 1

где φi – потенциал, создаваемый в той точке, где находится заряд qi, всеми зарядами, кроме i-го.

Рассмотрим уединенный проводник, заряд, емкость и потенциал которого равны q, С, φ соответственно. Увеличим заряд этого проводника на dq. Для этого необходимо перенести заряд dq из бесконечности на уединенный проводник, затратив работу, равную

A = φdq = Cφdφ.

79