Общая физика электричество и магнетизм

электрическое поле, поэтому, согласно Максвеллу, через конденсатор «протекают» токи смещения, причем в тех участках, где отсутствуют проводники.

Найдем количественную связь между изменяющимся электрическим полем (током смещения) и вектором электрического смеще-

ния D конденсатора.

По Максвеллу переменное электрическое поле в конденсаторе в каждый момент времени создает такое магнитное поле, как если бы между обкладками конденсатора существовал ток смещения, равный току в подводящих проводах. Тогда можно утверждать, что силы токов проводимости и смещения равны Iсм = I.

Пусть генератор переменного тока, напряжение которого U, заряжает конденсатор емкостью С (см. рис. 24.4). Заряд конденсатора

Q CU σS,

где – поверхностная плотность заряда на пластинах конденсатора; S – площадь пластин конденсатора.

Так как конденсатор плоский, его электроемкость определяется как

C εεd0S ,

где – диэлектрическая проницаемость диэлектрика, которым заполнен конденсатор;

0 – электрическая постоянная;

d – расстояние между пластинами.

261

Согласно закону сохранения электрического заряда, изменение заряда конденсатора равно силе тока проводимости. Сила тока проводимости вблизи обкладок конденсатора

Ввыражении (24.1) учтено, что поверхностная плотность заряда

на обкладках равна электрическому смещению D в конденсаторе

Если обкладки конденсатора неподвижны и не деформируются, то в (24.1) от полной производной по времени можно перейти к частной производной

IdDdS.

S dt

Учитывая, что сила тока смещения выражается через плотность тока смещения как

I Iсм jсмdS,

S

и сравнивая два последних выражения, получаем

Таким образом, вектор плотности тока смещения равен част-

ной производной по времени от вектора электрического смещения в конденсаторе, то есть от скорости изменения вектора электрического смещения в конденсаторе.

262

Определим, каково же направление векторов плотностей токов проводимости j и смещения jсм.

При зарядке конденсатора (см. рис. 24.4 и рис. 24.5, а) через проводник, соединяющий обкладки, ток течет от правой обкладки к левой. Поле в конденсаторе усиливается, и следовательно, ско-

совпадают. При разрядке конденсатора через проводник, соединя-

где P – вектор поляризации.

Используя выражение (24.2) для плотности тока смещения в ди-

Из выражения (24.3) следует, что плотность тока смещения в диэлектрике состоит из двух слагаемых:

dP – плотность тока смещения, вызванного смещением молеку- dt

лярных зарядов в диэлектрике (токи поляризации);

263

0 ddEt

изменения напряженности внешнего электрического поля. Эта составляющая существует в вакууме: любое переменное электрическое поле порождает магнитное поле.

Таким образом, из физических свойств, присущих току проводимости, Максвелл приписал току смещения лишь одно – спо-

собность создавать в окружающем пространстве магнитное поле.

В проводящей среде полный ток складывается из суммы тока проводимости и тока смещения. Тогда плотность полного тока

jп j jсм.

Взаключении, обобщая все выше сказанное, отметим различия

исходства токов проводимости и токов смещения.

Сходства токов проводимости и токов смещения:

–способность создавать в окружающем пространстве магнитное поле;

–плотности токов проводимости и токов смещения измеряются

водних и тех же единицах измерения (Кл/м2).

Различия токов проводимости и токов смещения:

–токи проводимости – это упорядоченное направленное движение электрических зарядов, а токи смещения – это переменное электрическое поле;

–при прохождении токов проводимости по проводникам проводники нагреваются, количество теплоты определяется по закону Джоуля–Ленца; токи смещения не сопровождаются выделением джоулевой теплоты.

24.3.Электромагнитное поле. Уравнения Максвелла

винтегральной и дифференциальной форме

Открытие тока смещения позволило Максвеллу создать единую теорию электрических и магнитных явлений. Теория Максвелла не только объясняла все разрозненные явления электричества и магне-

264

тизма (причем с единой точки зрения), но и предсказала ряд новых явлений. Она предсказала совершенно новый эффект, наблюдавшийся в свободном от материальных тел пространстве, – электромагнитное излучение. Максвелл предсказал существование электромагнитных волн и из равенства скорости их распространения скорости света сделал вывод о том, что световые волны являются электромагнитными по своей природе. Из этого предположения Максвелла вытекало важное следствие: изменяющиеся магнитные

иэлектрические поля могут распространяться в вакууме, перенося импульс и энергию.

Согласно теории Максвелла, изменяющееся во времени электромагнитное поле можно представить в виде плоских монохроматических волн, каждая из которых характеризуется своей частотой

ираспространяется в определенном направлении с определенной скоростью. Теория предсказывала величину этой скорости, а также ее независимость от частоты.

Из теории Максвелла также следовало, что быстро колеблющиеся электрические заряды порождают электромагнитные волны. Генрих Герц подтвердил это, сконструировав первый генератор и первый приемник радиоволн – электромагнитных колебаний с длиной волны больше 100 мкм.

Таким образом, Максвелл показал, что электромагнитное поле – это совокупность взаимосвязанных электрических и магнитных полей; предсказал существование электромагнитных волн, распространяющихся в пространстве от точки к точке с конечной скоростью; показал, что световые волны являются электромагнитными волнами; cвязал воедино электричество, магнетизм и оптику.

Теория Максвелла представляет собой последовательную теорию единого электромагнитного поля произвольной системы электрических зарядов и токов. Она позволяет решить основную задачу электродинамики – по заданному распределению зарядов и токов определить характеристики их электрических и магнитных полей. Теория Максвелла является обобщением важнейших законов для электрических и электромагнитных явлений – теоремы Остроградского–Гаусса, закона полного тока и закона электромагнитной индукции.

Втеории Максвелла не рассматривается дискретное строение среды и механизм процессов, проходящих в веществе (среде), находя-

265

щемся в электромагнитном поле. Свойства среды – относительная диэлектрическая проницаемость, относительная магнитная проницаемость и удельная электрическая проводимость определяются экспериментальным путем.

В теории изучаются макроскопические электромагнитные поля таких систем зарядов и токов, пространственные размеры которых много больше размеров атомов и молекул. Макроскопические поля в теории Максвелла представляют собой усредненные непрерывно изменяющиеся микрополя, создаваемые микроскопическими зарядами и токами. Усреднение производится по интервалам времени, значительно превышающим периоды внутриатомных процессов, и по объемам, значительно превышающим размеры атомов и молекул. Теория базируется также на том, что электрические и магнитные взаимодействия осуществляются посредством электромагнитного поля и распространяются со скоростью света.

Основу теории Максвелла составляют уравнения, названные уравнениями Максвелла.

Эти уравнения в сжатой форме выражают всю совокупность сведений об электромагнитном поле и являются постулатами электродинамики, полученными путем обобщения опытных фактов.

Первое уравнение Максвелла является обобщением закона электромагнитной индукции. В интегральной форме оно имеет вид

Циркуляция вектора напряженности электрического поля по произвольному замкнутому контуру L равна потоку скорости изменения вектора магнитной индукции через площадку, охваченную данным контуром, взятому со знаком минус.

Согласно (24.4) множитель Bt , стоящий под знаком интеграла

в правой части выражения, указывает на то, что магнитное поле изменяется с течением времени. Следовательно, можно заключить,

что электрическое поле порождается как неподвижными зарядами, при этом циркуляция вектора напряженности электриче-

266

ского поля по произвольному замкнутому контуру L равна нулю, так и переменным магнитным полем, тогда циркуляция вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру нулю не равна.

Выражение (24.4) можно записать, используя закон электромагнитной индукции

и, учитывая, что магнитный поток Ф BS.

Неравенство нулю циркуляции вектора напряженности электрического поля по замкнутому контуру в (24.4) означает, что возбуждаемое переменным магнитным полем электрическое поле является вихревым, как и само магнитное поле.

Из первого уравнения Максвелла следует, что всякое переменное магнитное поле возбуждает в окружающем пространстве вихревое электрическое поле.

По теореме Стокса можно перейти от интеграла по контуру L к интегрированию по площади поверхности S, охватываемой данным контуром

Edl rot EdS,

L S

где ротор вектора E выражается определителем

267

Последнее выражение представляет собой первое уравнение в дифференциальном виде.

Второе уравнение Максвелла является обобщением закона полного тока

Bdl 0(I Iсм),

L

где B = H , 1.

Второе уравнение Максвелла основано на предположении, что

всякое изменение электрического поля вызывает возникновение в окружающем пространстве вихревого магнитного поля.

Количественной мерой магнитного действия переменного электрического поля является ток смещения.

Второе уравнение Максвелла в интегральной форме имеет вид

Hdl I Iсм.

L

Циркуляция вектора напряженности магнитного поля по произвольному замкнутому контуру L определяется суммой токов: тока проводимости I и тока смещения Icм.

Из второго уравнения Максвелла следует, что магнитное поле может порождаться либо проводниками с токами проводимости I, либо переменным электрическим полем (током смещения Icм).

Используя теорему Стокса, циркуляцию вектора напряженности магнитного поля можно записать как

Hdl rot HdS.

L S

268

Тогда второе уравнение Максвелла примет вид

Сравнивая выражения, стоящие под знаками интегралов, получаем

Последнее равенство представляет собой второе уравнение Макс-

мы Остроградского–Гаусса для электрического и магнитного полей. В интегральной форме эти уравнения имеют вид

DdS qохвсвоб,

S BdS 0,

S

269

где величина свободных зарядов qохвсвоб, охватываемых замкнутой

поверхностью S, выражается через объемную плотность свободных зарядов как

qохвсвоб dV.

V

Поток вектора электрического смещения, исходя из третьего уравнения Максвелла в интегральной форме, через произвольную замкнутую поверхность численно равен алгебраической сумме свободных зарядов, охваченных этой поверхностью. Значит, постоянное электрическое поле в вакууме порождается свободными элект-

рическими зарядами. Магнитный поток (поток вектора B) через

произвольную замкнутую поверхность, согласно четвертому уравнения Максвелла в интегральной форме, тождественно равен нулю. Это означает, что магнитное поле является вихревым (силовые линии магнитного поля замкнуты).

Используя теорему Остроградского–Гаусса, из векторного анализа получаем

Так как объемы и поверхности, по которым производится интегрирование, произвольны, то можно приравнять подынтегральные функции и получить уравнения Максвелла в дифференциальной форме.

270