Общая физика электричество и магнетизм

Вспоминая, что UC Cq , и заменяя величины UC и UL, получим

Предположим, что ток в нашей цепи изменяется по синусоидальному закону:

I I0sin t.

Тогда

UR I0 Rsin t;

UL LI0cos t LI0sin( t /2);

UC Cq C1 I0sin t CI0 cos t CI0 sin ( t /2).

Эти соотношения должны быть справедливыми в любой момент времени, поэтому они справедливы и для амплитудных значений, то есть

(UR)0 I0 R; (UL)0 LI0 ; (UC )0 I0 / C.

Трактуя эти равенства как закон Ома для участка цепи, можно заметить, что величины ZL L и ZC 1C аналогичны размер-

ности сопротивлению R. Используя такую интерпретацию, можно видеть, что уравнение (23.31) приобретает тригонометрический смысл: напряжения на емкости и индуктивности оказываются сдвинутыми по фазе на /2 относительно напряжения на сопротивлении R. Здесь удобнее использовать векторное представление колебаний. Любое гармоническое колебание y(t) Asin( t ) можно

251

представить в векторном виде: длина вектора определяется ампли-

жения на емкости и индуктивности оказываются повернутыми относительно него в разные стороны на 90 .

В последовательной цепи действующее в ней общее напряже-

ние складывается из падения напряжений на всех участках. Поэтому оно может быть найдено как геометрическая сумма падения напряжений на индуктивности, емкости и сопротивления. Тогда согласно теореме Пифагора можно записать, что

U 2 UR2 (UL UC )2 ,

или, выражая UR , UL и UC через произведения тока на соответствующие сопротивления,

Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:

При выводе этого выражения учтено, что для последовательной цепи IR = IL = IC = I. Полученное выражение по своей структуре ана-

252

логично закону Ома для цепи постоянного тока. Поэтому оно назы-

вается законом Ома для переменного тока. Важно отметить, что между током и напряжением существует сдвиг фаз, величина которого определяется из рис. 23.7:

Величина L 1C имеет размерность сопротивления и получи-

ла название реактивного сопротивления.

Из анализа выражения (23.32) следует, что при последовательном соединении ЭДС и элементов R, L и C напряжение в цепи достигает максимального значения при совпадении частоты внешней

1 .

LC

При этом значения напряжений на реактивных элементах UL U ZRL

напряжение источника, если (ZL ZC) R. Данное явление полу-

чило название резонанса напряжений.

Рассмотрим теперь электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных источников ЭДС, активного сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора. Проводимость такой цепи определяется выражением

дуктивность и конденсатор токи противоположны по фазе и могут значительно превышать ток источника при выполнении условия

( 1L C) 1 / R. Это явление получило название резонанса токов.

Действие переменного тока оценивается согласно выделяющейся на активном сопротивлении тепловой энергии. Действующим значением силы переменного тока называют величину силы постоянного тока, который за время, равное периоду колебаний переменного тока, выделяет в активном сопротивлении R такое же количество теплоты.

Определим мощность переменного синусоидального тока I I0sin t. Пусть сдвиг фазы напряжения относительно тока со-

ставляет некоторую величину φ. Тогда мгновенное значение мощности запишется как W IU I0U0sin tsin( t ). Однако, с прак-

тической точки зрения, более полезно вычислить среднюю мощность за единицу времени. Определим среднее значение за время одного колебания любой переменной величины y(t) как интеграл,

T1 U0 I0{sin2 tcos cos tsin tsin )

U0 I0 cos T (1 cos 2 t)dt U0 I0 sin T sin 2 tdt 2T 0 2T 0

254

Интегралы в последнем выражении равны нулю, так как среднее значение за период любой периодической величины равно нулю. Поэтому

W U02I0 cos UэффIэффcos ,

где Uэфф U20 ; Iэфф I02 – действующие значения напряжения

и силы тока.

Формула мощности для переменного тока отличается от аналогичной формулы для постоянного тока лишь коэффициентом cos , который принято называть коэффициентом мощности. Увеличение этого коэффициента является важной практической задачей. Там, где сдвиг фаз между током и напряжением достигает 90 , средняя мощность оказывается равной нулю.

24. УРАВНЕНИЯ МАКСВЕЛЛА

Теория Джеймса Клерка Максвелла в электродинамике играет такую же основополагающую роль, как и теория Ньютона в классической механике.

Cистема уравнений Максвелла – это cистема уравнений в дифференциальной или интегральной форме, которая описывает электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах.

В начале XIX века был сделан целый ряд экспериментальных открытий. В 1820 г. Ганс Христиан Эрстед установил, что проходящий по проводу электрический ток отклоняет магнитную стрелку компаса. В этом же году Жан Батист Био и Феликс Савар экспериментальным путем получили выражение для магнитной индукции порождаемого током магнитного поля (закон Био–Савара). Андре Мари Ампер, обнаружив, что между двумя проводниками, по которым пропускается ток, возникает взаимодействие, выдвинул гипотезу, что природный магнетизм связан с существованием в веществе круговых молекулярных токов. Влияние электрического тока

255

на магнит, установленное Эрстедом, натолкнуло Майкла Фарадея на мысль об обратном влиянии магнита на электрические токи. Фарадей установил, что перемещающийся возле проводника магнит порождает в проводнике электрический ток. В научных исследованиях Максвелла результаты экспериментов Фарадея сыграли очень важную роль.

24.1. Вихревое электрическое поле

Опыты Фарадея по изучению явления электромагнитной индук-

ции показали, что электродвижующая сила индукции не зависит от материала проводника, его состояния и температуры. Этот факт натолкнул Максвелла на мысль, что причиной возникновения электромагнитной индукции является само электрическое поле, а проводники играют второстепенную роль и служат только прибором, обнаруживающим это поле. Электроны в проводнике под действием электрического поля приходят в движение, и в замкнутой цепи контура возникает индукционный ток. Согласно закону Ома в диффе-

ренциальной форме, вектор плотности тока j прямо пропорционален вектору напряженности E электрического поля

j E.

Следовательно, для существования электрического тока необходимо электрическое поле. Это позволило Максвеллу заключить, что переменное магнитное поле порождает переменное электрическое поле, под действием которого и возникает индукционный ток.

Таким образом, изменяющееся во времени магнитное поле

возбуждает в окружающем пространстве изменяющееся во времени электрическое поле, являющееся причиной возникновения индукционного тока в контуре.

Особенность электрического поля, возбужденного переменным магнитным полем в том, что оно не является электростатическим. Переменное электрическое поле не удовлетворяет также и условию потенциальности. Линии напряженности переменного электрического поля не начинаются и не заканчиваются на электрических за-

256

рядах, а образуют замкнутые кривые (рис. 24.1). Переменное электрическое поле называют вихревым электрическим полем.

Рассмотрим более подробно особенности вихревого электрического поля. При изучении свойств электростатического поля отмеча-

лось, что работа по перемещению заряда из одной точки поля в другую не зависит от формы траектории. Поле с таким свойством называют потенциальным. В электростатическом поле работа по пере-

мещению заряда по замкнутому контуру L равна нулю, поэтому циркуляция вектора E по замкнутому контуру равна нулю:

Edl 0.

L

Если у векторного поля линии тока замкнуты, то циркуляция векторного поля вдоль этих линий не будет равна нулю, так как

сильно и в какую сторону закручены силовые линии поля в каждой точке.

Для электростатического поля

rot E 0.

257

Для вихревого электрического поля

rot E B .

t

Так как производная Bt – величина переменная, то переменным

является и электрическое поле, которое порождается переменным магнитным полем. Поскольку магнитное поле является основным

иобязательным признаком всякого электрического тока, то Максвелл назвал изменяющееся во времени электрическое поле током смещения.

Током смещения в диэлектрике является движение зарядов,

представляющее собой смещение зарядов в атомах и молекулах диэлектрика при его поляризации. Ток смещения в вакууме – это переменное электрическое поле.

Согласно рассуждениям Дж. Максвелла должно было существовать

иобратное явление: переменное электрическое поле должно по-

рождать в пространстве изменяющееся вихревое магнитное поле.

Опыты по исследованию магнитного поля токов смещения провел в 1903 г. русский ученый А. А. Эйхенвальд. Целью его исследований стало создание модели токов смещения и доказательство того, что ток смещения создает вокруг себя магнитное поле.

Вопытах А. Эйхенвальда (рис. 24.2) диэлектрический диск Д вращался между четырьмя (А, А, В, В) неподвижными заряженными полудисками. Направление электрического поля в нижней части схемы противоположно направлению электрического поля в ее верхней части. Как изве-

стно, диэлектрик во внешнем электрическом поле по-

ляризуется. При прохождении части диска Д через область зазора между верхними и нижними полудисками происходит смена знака поляризационного заряда, что эквивалентно движению положительных зарядов слева направо. Это аналогично тому, что в области

258

зазора будет течь ток смещения. В эксперименте также было установлено наличие магнитного поля вокруг данной части диска Д.

Этим опытом было доказано, что изменяющееся электрическое поле в диэлектрике или вакууме создает изменяющееся вихревое магнитное поле.

24.2. Ток смещения. Плотность тока смещения. Полный ток

Вспомним, что такое токи проводимости и токи смещения. Токи проводимости – это токи, текущие в проводниках и представляющие собой направленное упорядоченное движение заряженных частиц. Ток смещения, согласно рассуждениям Максвелла, связан с изменяющимся во времени электрическим полем.

Током смещения в диэлектрике является движение зарядов, представляющее собой смещение зарядов в атомах и молекулах диэлектрика. Ток смещения в вакууме – переменное электрическое поле.

Известно, что конденсатор представляет собой систему двух проводников, пространство между которыми заполнено диэлектриком. Так как ток смещения возникает в диэлектриках, то логично предположить, что в конденсаторе должны наблюдаться токи смещения.

Рассмотрим плоский конденсатор С, который находится в электрической цепи с источником постоянного тока (рис. 24.3). Для постоянного тока конденсатор, включенный в цепь последовательно, обладает бесконечно большим сопротивлением, так как между пластинами конденсатора находится диэлектрик, который не проводит электрический ток. В месте, где находится конденсатор, наблю-

дается разрыв электрической цепи, и постоянный электрический ток в данной цепи не протекает. При замыкании ключа (см. рис. 24.3) лампочка, включенная в цепь, гореть не будет.

Таким образом, в электрической цепи с источником постоян-

ного тока, в которую включен конденсатор, ток не протекает.

Токи смещения наблюдаются в конденсаторе, включенном в цепь переменного тока (рис. 24.4). Переменный ток в электрической це-

259

пи представляет собой электромагнитные колебания, происходящие по закону синуса или косинуса. Если цепь с конденсатором питать переменным током, то в цепи за каждый период происходит зарядка (рис. 24.4, рис. 24.5, а) и разрядка (рис. 24.5, б; рис. 24.6)

стине появляется положительный заряд, а на левой – отрицатель-

При разрядке конденсатора (рис. 24.6, а) в электрическую цепь с левой пластины начинают уходить положительные заряды. Через проводник, соединяющий обкладки, ток проводимости течет уже от левой обкладки к правой. Так как заряд на пластинах уменьшается, то электрическое поле в конденсаторе ослабляется (рис. 24.6, б).

260