Общая физика электричество и магнетизм

Как видно из ее определения, добротность пропорциональна числу колебаний N, совершаемых системой за время, за которое амплитуда колебаний (заряда, тока, напряжения) уменьшается в е раз, то есть характеризует быстроту затухания электрических колебаний. Следовательно, чем слабее затухание колебаний в нем, тем выше добротность контура.

Добротностью характеризуют качество колебательного контура, так как чем больше добротность, тем меньше потери энергии в контуре за один период колебания. Действительно, если учесть, что полная энергия колеблющейся системы пропорциональна квадрату амплитуды колебания (например, колебания энергии электрического поля конденсатора), то в соответствии с этим энергия контура при затухающих колебаниях убывает со временем по закону (учи-

тывая Wk q2 и (23.11)) 2C

W W0e 2 t ,

где W0 – значение энергии при t = 0.

Продифференцировав это выражение по времени, получим скорость изменения энергии системы

ddWt 2 W0e 2 t 2 W.

Изменив знак на обратный, найдем скорость убывания энергии

Если энергия мало изменяется за время, равное периоду колебаний, убывание энергии за период можно найти, умножив (23.17) на Т:

– W = 2βTW

241

Чтобы определить амплитуду qm и сдвиг фаз φ этих вынужденных колебаний, подставим (23.22) в уравнение (23.20). Подстановка дает

После простых тригонометрических преобразований получим

откуда найдем два уравнения для определения qm и φ:

Чтобы найти qm, возведем оба уравнения в квадрат и сложим:

Подстановка полученных выражений в (23.22) дает

Эта функция описывает установившиеся в контуре вынужденные колебания. Эти колебания являются гармоническими с частотой, равной частоте вынуждающей силы (то есть электродвижущей силы).

Как видно из (23.24), амплитуда вынужденных колебаний пропорциональна амплитуде вынуждающей силы (ЭДС источника в контуре). Для данного контура (определенных ω0 и β) амплитуда зависит от частоты вынуждающей силы (ЭДС источника). Вынужденные колебания отстают по фазе от вынуждающей силы, причем величина отставания φ также зависит от частоты вынуждающей силы (23.25). Проведенный анализ позволяет утверждать, что при некоторой определенной для данного контура частоте амплитуда колебаний достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота – резонансной частотой.

Найдем максимум функции (23.24). Для этого продифференцируем это выражение по частоте ω и приравняем к нулю. Получим

–4(ω02 – ω2)ω + 8β2ω = 0.

ние, равное нулю, соответствует максимуму знаменателя уравнения (23.24). Из остальных двух решений отрицательное должно быть отброшено, как не имеющее смысла (частота не может быть отрицательной). Таким образом, получаем резонансную частоту контура

Подставив это значение частоты в (23.24), получаем выражение для амплитуды при резонансе

245

Графически зависимость вынужденных колебаний амплитуды от частоты колебаний (график функции (23.24)) представлена на рис. 23.4.

Для сравнения на рисунке показаны резонансные кривые двух колебательных контуров с различными коэффициентами затухания.

Отметим, что, согласно (23.26) при β = 0 (идеальный контур), резонансная частота совпадает с собственной частотой контура.

В рассматриваемом колебательном контуре, в котором действует ЭДС, изменяющаяся по за-

кону (23.21), сила тока при установившихся вынужденных колебаниях описывается выражением

I = Imsin(ωt + φ),

где Im – амплитуда силы тока в контуре.

Угол , определяющий сдвиг фаз между m и силой тока в цепи определяется как

Уравнение (23.27) называется законом Ома для переменного тока.

246

Допустим, что мы изменяем частоту колебания . Как показывают формулы (23.27), (23.28), это означает изменение амплитуды тока Im и сдвига фазы .

Анализируя выражения (23.27) и (23.28), можно увидеть, что когда индуктивное и емкостное сопротивления равны

то угол сдвига фаз между током и напряжением обращается в ноль ( = 0), то есть колебания силы тока совершаются в фазе с колебаниями внешней ЭДС.

Условию (23.29) удовлетворяет частота

В данном случае полное сопротивления цепи Z становится минимальным, равным активному сопротивлению R цепи, и ток в цепи определяется этим сопротивлением, принимая максимальное зна-

чение (Im Rm ). При этом падение напряжения на активном со-

противлении равно внешнему напряжению, приложенному к цепи (UR = ), а падение напряжения на конденсаторе UC и на катушке индуктивности UL одинаковы по амплитуде и противоположны по фазе. Это явление резкого возрастания амплитуды силы тока в контуре при совпадении частоты внешнего воздействия с собственной частотой колебательной системы 0 также называется резонан-

сом напряжений, а частота р – резонансной частотой.

247

В радиотехнических устройствах при передаче и приеме модулируемых сигналов колебательный контур при настройке в резонанс с частотой внешнего сигнала должен не только осуществлять выделение основной частоты рез, но и некоторой полосы частот

2 1.

На явлении «избирательного отбора» колебательным контуром наиболее близкого к резонансной частоте спектра частот вынуждающей внешней ЭДС основана работа всех радиоприемных устройств. Поэтому колебательный контур является неотъемлемой частью таких приспособлений, причем резонансная частота приемных контуров регулируется путем изменения его индуктивности или емкости

( р LC1 ).

Чем уже резонансная кривая, тем выше «избирательность» колебательного контура, то есть способность контура выделить определенную частоту из многих сигналов различной частоты. Избирательность контура принято характеризовать полосой пропускания. Под полосой пропускания контура понимают ширину резонансной кривой, выраженную в герцах и определенную по уровню 0,7 от

максимальной амплитуды колебаний ( Im2 ) (рис. 23.6).

Добротность контура может быть определена по виду резонансной кривой по формуле

248

ЭДС с частотой на колебательный контур.

теризует также затухание электрических колебаний, а значит и быстроту уменьшения энергии контура.

23.5. Переменный ток. Закон Ома для переменного тока. Резонанс напряжений. Резонанс токов. Мощность в цепи переменного тока.

Действующие значения тока и напряжения

Переменный ток – это электрический ток, периодически изменяющийся с течением времени по величине и направлению по произвольному закону. Ограничимся случаем изучения тока, изменяющегося во времени по синусоидальному закону. Выше было показано, что такой ток возникает, например, в колебательном контуре.

Если напряжение источника в цепи, состоящей из нескольких последовательно соединенных элементов, меняется по синусоидальному закону, то сила тока не успевает мгновенно принимать одно и то же значение во всей цепи. На передачу взаимодействия между заряженными частицами вдоль цепи требуется некоторое время.

Во многих практических случаях можно считать силу тока одинаковой во всех элементах цепи, как и в случае постоянного тока.

Возьмем, к примеру, стандартное бытовое напряжение частоты ν = 50 Гц. Период колебаний напряжения Т = 1/ν = 0,02 с. Взаимо-

249

действие между зарядами передается со скоростью света c = 3 108 м/c. За время, равное периоду колебаний, это взаимодействие распространяется на расстояние s = cT = 6 106 м = 6000 км. Поэтому в тех случаях, когда длина цепи на несколько порядков меньше данного расстояния, можно пренебречь временем распространения взаимодействия и считать, что сила тока мгновенно принимает одно и то же значение во всей цепи.

В общем случае, когда напряжение колеблется с циклической частотой ω, период колебаний Т = 2 /ω и за это время взаимодействие между зарядами передается на расстояние s = cT. Если длина цепи l, то при условии, что l << cT, временем распространения взаимодействия можно пренебречь. Неравенство l << cT называется условием квазистационарности.

Рассмотрим колебательный контур, состоящий из последовательно соединенных с переменным источником ЭДС ε(t) омического сопротивления, катушки индуктивности и конденсатора. Формально эта цепь разомкнута, и ее концами являются обкладки конденсатора, поэтому для нее можно написать закон Ома для участка цепи, содержащей ЭДС, полагая, что условие квазистационарности выполнено. Тогда

где 1 2 UC – напряжение на конденсаторе, а суммарная ЭДС складывается из ЭДС источника тока и ЭДС самоиндукции εL:

дуктивности и обозначают UL, произведение IR UR – падением

напряжения на сопротивлении. С учетом этого уравнение (23.30) можно преобразовать:

UR UL UC (t).

250