Общая физика электричество и магнетизм
.pdf
которых совпадает с направлением вектора Е . Таково поле плоского конденсатора бесконечной длины (рис. 16.3)
Рис. 16.3. Силовые линии плоского конденсатора
16.3.Поток вектора напряженности для электрического поля
ввакууме. Теорема Гаусса
Рассмотрим поверхность, ограниченную контуром и помещенную
в однородное электростатическое поле E. Выбор поверхности и ее ориентация в пространстве определяется единичным вектором нормали n, проведенным к данной поверхности. Тогда ориентирован-
ную элементарную площадь поверхности dS можно представить как dS ndS .
Элементарным потоком вектора напряженности электростатического по-
ля E через элементарную площадку
называется скалярное произведение векторов E и dS
d E EdS EdS cos ,
где α – угол между вектором нормали n к поверхности и вектором напря-
женности электростатического поля E
(рис. 16.4).
Рис. 16.4. Определение ориентации элемента поверхности dS
в электростатическом поле
11
Выбор направления вектора n условный, так как его можно направить в любую сторону. Единицей потока вектора напряженности электростатического поля является В·м.
Для произвольной замкнутой поверхности S поток вектора E сквозь эту поверхность равен
E EdS EndS,
S S
где интеграл берется по замкнутой поверхности S.
Поток ΦЕ является алгебраической величиной, он зависит как от конфигурации поля E, так и от выбора направления n. Для за-
мкнутой поверхности за положительное направление нормали принимается внешняя нормаль, то есть нормаль, направленная наружу области, охватываемой поверхностью. Поэтому пересечения линий напряженности с замкнутой поверхностью, которые выходят из поверхности, следует брать со знаком плюс (угол α – острый) и со
знаком минус, если линии E входят внутрь (угол α – тупой).
Из рис. 16.5 видно, если линии E проходят внутри замкнутой поверхности непрерывно, каждая линия, пересекая поверхность, входит внутрь и выходит наружу одинаковое число раз. В итоге по-
ток вектора E через эту поверхность будет равным нулю.
Таким образом, полный по- E ток ΦЕ через замкнутую по-
верхность
E Nвых – Nвх,
где Nвых и Nвх – число силовых линий, выходящих и входящих
в замкнутую поверхность, соответственно.
Возьмем положительный заряд q и окружим его замкнутой поверхностью S произвольной формы (рис. 16.6).
12
E
q
Рис. 16.6. Картина линий напряженности положительного точечного заряда
Согласно формуле (16.6) поток
E EdS q . (16.7)
S 0
Знак потока совпадает со знаком заряда.
Пусть внутри замкнутой поверхности находится N точечных зарядов q1, q2, …, qN. В силу принципа суперпозиции вектор напряженности результирующего поля
|
|
N |
|
|
|
|
|
E |
Ei , |
|
|
|
|
поэтому |
|
i 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
EidS. |
|
|
E EdS Ei dS |
|
(16.8) |
||||
|
|
N |
|
N |
|
|
S |
S i 1 |
|
i 1 S |
|
||
Каждый из интегралов в выражении (16.7), согласно (16.8), ра-
вен qi . Следовательно,
0
|
|
|
1 |
N |
|
E EdS |
|
|
qi . |
(16.9) |
|
|
|||||
S |
|
|
0 i 1 |
|
|
Соотношение (16.9) выражает суть теоремы Гаусса: поток век-
тора напряженности электростатического поля в вакууме через любую замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, охватываемых этой поверхностью, деленной на электрическую постоянную ε0.
13
16.4. Применение теоремы Гаусса для расчета напряженности электростатических полей
Расчет электростатических полей, основанный на принципе суперпозиции, достаточно сложен, хотя с его помощью можно рассчитать поле любой системы зарядов. В ряде случаев значительно более простым оказывается метод, основанный на применении теоремы Гаусса. Особенно удобен этот метод для симметричного расположения зарядов. Рассмотрим несколько примеров.
Пример1. Полебесконечнойравномернозаряженнойплоскости.
Заряд равномерно сосредоточен в тонком поверхностном слое тела с поверхностной плотностью заряда
ddSq ,
где dS – бесконечно малый участок поверхности, на котором сосредоточен заряд dq. Линии напряженности представляют собой перпендикулярные к плоскости прямые линии, густота которых, вследствие равномерного распределения заряда, всюду одинакова. На участке поверхности S (рис. 16.7) сосредоточен заряд q = σΔS.
Рис. 16.7. Поле равномерно заряженной бесконечной плоскости
Выберем поверхность интегрирования в теореме Гаусса в виде цилиндра, основания S1 которого симметричны относительно заряженной плоскости. Тогда полный поток сквозь цилиндр равен сумме потоков сквозь его основания и боковую поверхность
14
EdS |
|
|
|
|
q |
|
σS1 |
|
|
2 EdScos (E n) |
|
EdScos (E n) 2ES1 |
|
, |
|||||
|
|
||||||||
S |
S |
S |
2 |
|
ε0 |
ε0 |
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
||
где S1 – площадь основания;
S2 – площадь боковой поверхности.
Второй интеграл (по боковой поверхности) будет равен нулю, так как cos (E n) = 0.
Таким образом,
2ES1 S1 .
0
Откуда находим
E |
|
, |
(16.10) |
|
|||
|
2 0 |
|
|
где σ – модуль поверхностной плотности заряда.
Формула (16.10) позволяет вычислить напряженность поля бесконечной равномерно заряженной плоскости. Из полученной формулы (16.10) следует, что модуль напряженности электростатиче-
ского поля равномерно заряженной плоскости не зависит от рас-
стояния и на любых расстояниях одинаков. Следовательно, поле равномерно заряженной плоскости однородно.
Пример 2. Поле двух разноименно равномерно заряженных бесконечных плоскостей.
Две параллельные бесконечные плоскости заряжены равномерно с одинаковой поверхностной плотностью +σ и –σ (рис. 16.8).
Каждая из плоскостей создает однородное поле, напряженность которого определяется формулой (16.10). Из рис. 16.8 видно, что вне плоскостей результирующая напряженность поля равна нулю.
В пространстве между плоскостями напряженности поля имеют одинаковые направления, следовательно, их геометрическая сумма является их арифметической суммой:
E E E 2 0 2 0 0 .
15
Рис. 16.8. Поле разноименно равномерно заряженных плоскостей
Электростатическое поле двух разноименно равномерно заряженных плоскостей однородно и сосредоточено в зазоре между плоскостями.
Пример3. Полесферы, равномернозаряженнойпоповерхности.
Предположим, что заряд q равномерно распределен по сферической поверхности радиуса R. Электрическое поле центрально симметрично относительно центра сферы. Вектор напряженности поля имеет только радиальную составляющую. Поэтому за гауссову поверхность S следует взять сферу радиуса r. Тогда
EdS |
|
4 r2 |
|
|
EdScos (E n) E |
|
dS E4 r2. |
(16.11) |
|
S |
S |
0 |
|
|
Вследствие центральной симметрии электрического поля угол
между E и n равен нулю.
Если r ≥ R, то заряд, охватываемый поверхностью сферы S, будет равен q и, учитывая (16.11), по теореме Гаусса будем иметь
E4 r2 q .
0
16
Откуда
E |
q |
, |
(16.12) |
|
4 0r2 |
||||
|
|
|
где r – расстояние от центра заряженной сферы до точки пространства, в которой вычисляется напряженность поля.
График зависимости напряженности Е от расстояния r для равномерно заряженной сферы изображен на рис. 16.9. Если r < R, то заряд, охватываемый сферой, равен нулю и внутри заряженной сферы поля нет, то есть Е = 0.
Рис. 16.9. График зависимости Е от r для однородно заряженной сферы
Пример 4. Поле объемно заряженного шара.
Шар радиуса R имеет заряд q и заряжен равномерно с объемной плотностью ddVq . В этом случае также имеет место центральная
симметрия, то есть центр шара является центром симметрии поля. Поэтому для гауссовой поверхности S в виде сферы радиуса r
EdS E4 r2. |
(16.13) |
S |
|
Если r ≥ R, то заряд, охватываемый сферой, будет равен q и тогда, используя (16.13) и теорему Гаусса, получим
E4 r2 q .
0
17
Откуда
E 4 q0r2 .
Если r < R, то заряд, охватываемый сферой радиуса r, будет равен 43 r3. Учитывая, что q 43 R3 , из (16.12) для напряженности поля внутри шара получим
E 4 1 0 Rq3 r .
График зависимости Е от r для этого примера показан на рис. 16.10.
Из рис. 16.10 видно, что напряженность поля внутри объемно заряженного шара растет с увеличением расстояния от его центра линейно.
E
0 |
R |
r |
|
||
|
|
Рис 16.10. График зависимости Е от r для объемно заряженного шара
16.5. Работа при перемещении заряда вэлектростатическом поле. Потенциал электростатического поля.
Теорема о циркуляции вектора напряженности электростатического поля
Вычислим работу по пере- |
|
|
мещению точечного заряда q0 |
|
|
из точки 1 в точку 2 в электро- |
|
|
статическом |
поле, созданном |
|
зарядом q. Положение точек |
|
|
1 и 2 определяется радиус-век- |
|
|
торами r1 и |
r2 , а мгновенное |
Рис. 16.11. Перемещение точечного |
положение заряда q0 – радиус- |
заряда q0 из точки 1 в точку 2 |
|
вектором r (рис. 16.11). |
в поле заряда q |
|
18 |
|
|
При перемещении заряда q0 в любой точке траектории на него действует сила Кулона
F k qr0q3 r.
Элементарная работа этой силы при перемещении заряда q0 на элементарном перемещении dl :
dA Fdl k qr03q rdl k qr03q rdlcos α.
Из рис. 16.11 видно, что проекция dl на направление силы равна dl cos α dr. Тогда элементарная работа
dA k qr02q dr.
Работа при перемещении заряда q0 из точки 1 в точку 2 будет равна
r2 |
dr |
|
1 |
|
1 |
|
|
|
A12 k q0q |
kq0q |
|
. |
(16.14) |
||||
r2 |
|
|
||||||
r |
r1 |
|
r2 |
|
||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Из формулы (16.14) следует, что работа сил поля по перемещению точечного заряда q0 из одной точки электростатического поля
вдругую не зависит от формы траектории, а зависит от начального
и конечного положения заряда q0. Поэтому при перемещении заряда q0 по замкнутой траектории работа сил электростатического поля будет равна нулю. Следовательно, электростатическое поле является потенциальным, а сила Кулона – консервативной.
Доказанное справедливо для электрического поля любой системы неподвижных точечных зарядов. Это непосредственно следует из принципа суперпозиции электрических полей и из известного
вмеханике принципа независимости действия сил.
19
Из механики известно, что работа консервативных сил совершается за счет убыли потенциальной энергии
A (Wp |
Wp ) . |
(16.15) |
2 |
1 |
|
Сравнивая соотношения (16.14) и (16.15) можно записать выражение для потенциальной энергии точечного заряда в электростатическом поле
Wp k q0rq .
В одной и той же точке электростатического поля разные заряды q0, вносимые в поле, будут обладать различной потенциальной
энергией Wp. При этом отношение Wp k q не зависит от величины q0 r
заряда q0, вносимого в поле, а определяется только зарядом q, создающим поле, и расстоянием r от него. Это отношение называется потенциалом. Потенциал является энергетической скалярной характеристикой электростатического поля.
Потенциалом электростатического поля называется ска-
лярная величина, численно равная потенциальной энергии пробного точечного электрического заряда, помещенного в рассматриваемую точку поля, к величине этого заряда q0
|
Wp |
. |
(16.16) |
|
q |
||||
|
|
|
||
|
0 |
|
|
Единицей измеренияпотенциала является вольт (В): 1В = 1Дж/1Кл. При малом перемещении dr точечного заряда q0 работа, выполняемая силами электростатического поля, совершается за счет убы-
ли потенциальной энергии Wp заряда в рассматриваемом поле:
dA q0 Edr dWp .
20