Общая физика электричество и магнетизм

Если в пучке, испускаемом источником, содержатся частицы с различными отношениями заряда к массе, на фотопластинке получится несколько параллельных полосок. Самая близкая к щели полоска вызвана частицами, которые движутся по окружности наименьшего радиуса. Эти частицы обладают наибольшим отношением заряда к массе. Если заряды всех частиц в пучке одинаковы, то ближайшая к щели полоска соответствует частицам наименьшей массы.

По аналогии с оптикой изображение, полученное на фотопластинке, называют спектром. Оптический спектрограф дает спектр длин волн светового пучка, то есть распределение спектральных линий по длинам волн. Масс-спектрограф дает спектр масс пучка частиц, то

есть распределение частиц по массам (точнее, по отношениям mq ).

20.10. Вихревой характер магнитного поля.

Теорема о циркуляции вектора B

(закон полного тока для магнитного поля в вакууме)

Циркуляция вектора магнитной индукции B по произвольному замкнутому контуру L есть величина, численно равная

Bdl Bl dl,

L L

где dl – элемент длины контура, направленный вдоль обхода кон-

тура;

Вl = Bcos α – составляющая вектора B в направлении касательной к контуру (с учетом выбранного направления обхода);

α – угол между векторами B и dl .

Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции B зву-

чит следующим образом: циркуляция вектора B по произвольному замкнутому контуру L равна произведению магнитной постоянной µ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых этим контуром:

171

где n – число проводников с токами, охватываемыми контуром L произвольной формы. Эта теорема справедлива только для поля в вакууме, поскольку для поля в веществе надо учитывать молекулярные токи.

Каждый ток учитывается столько раз, сколько раз он охватывается контуром. Положительным считается ток, направление которого связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта; ток противоположного направления считается отрицательным.

Рассмотрим магнитное поле прямолинейного проводника с током

(рис. 20.31).

Расчет выполним на основе теоремы о циркуляции вектора магнит-

ной индукции B. Замкнутый контур представим себе в виде окружности радиуса r. В каждой точке этого кон-

тура вектор B по модулю одинаков и направлен по касательной к окружности, тогда

Bdl Bl dl B dl B2 r 0 I;

L L L

B 0 2I r .

Циркуляция вектора E электростатического поля всегда равна нулю, то есть электростатическое поле является потенциальным.

Циркуляция вектора B магнитного поля не равна нулю. Такое поле называется вихревым.

20.11. Магнитное поле соленоида и тороида

Соленоид – это катушка индуктивности в виде намотанного на цилиндрическую поверхность изолированного проводника, по которому течет электрический ток.

172

Рассмотрим магнитное поле соленоида (рис. 20.32). Выберем замкнутый прямоуголь-

ный контур ABCDA, как показано на рис. 20.32. Тогда по теореме о цирку-

ляции вектора B :

Bl dl 0 NI.

Bl dl Bl dl Bll 0 NI,

ABCDA DA

где l – длина соленоида.

Внутри соленоида поле однородно и Bl = В, то есть модуль магнитной индукции поля соленоида (в вакууме)

B 0lNI 0 In,

где n Nl – число витков на единицу длины соленоида (соленоид

без сердечника).

Модуль магнитной индукции поля соленоида при наличии сердечника

B 0 In.

Тороид – кольцевая катушка с витками, намотанными на сердечник, имеющий форму тора, по которой течет ток.

Определим магнитное поле тороида (рис. 20.33). Из опыта известно, что магнитное поле сосредоточено внутри тороида (оно однородно), вне его поле отсутствует.

173

Магнитный поток сквозь произвольную поверхность S

BdS BndS.

S S

Если поле однородно, поверхность плоская и перпендикулярна вектору B, то

Φ = BS.

Единица магнитного потока Вебер (Вб). 1 Вб (Вебер) – магнитный поток, проходящий через плоскую поверхность площадью 1 м2, расположенную перпендикулярно однородному магнитному полю, индукция которого равна 1 Тл

1 Вб = 1 Тл 1 м2.

Теорема Гаусса для потока вектора индукции магнитного поля: поток вектора магнитной индукции сквозь произвольную замкнутую поверхность равен нулю

BdS BndS 0.

S S

Эта теорема отражает факт отсутствия магнитных зарядов, вследствие чего линии магнитной индукции не имеют ни начала, ни конца и являются замкнутыми.

20.13. Дивергенция и ротор магнитного поля

Отсутствие в природе магнитных зарядов приводит к тому, что линии вектора B не имеют ни начала, ни конца. Поэтому, согласно

теореме Гаусса, поток вектора B через любую замкнутую поверхность должен быть равен нулю. Таким образом, для магнитного поля и произвольной замкнутой поверхности S имеет место условие

BdS 0.

S

175

Заменив поверхностный интеграл в этом выражении объемным, получим

divBdV 0.

V

Условие, к которому пришли, должно выполняться для любого произвольно выбранного объема V. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральная функция в каждой точке поля равна нулю. Таким образом, магнитное поле обладает таким свойством, что его дивергенция всюду равна нулю

divB 0.

Теперь обратимся к циркуляции вектора B. По определению циркуляция вектора B равна интегралу

Bdl .

L

Проще всего вычислить этот интеграл в случае поля прямолинейного проводника с током:

Bdl 0 I,

L

где I – ток, охватываемый контуром L.

Если ток течет во всем пространстве, где расположен контур, то его можно представить в виде

I jdS jndS.

S S

Интеграл вычисляется по произвольной поверхности S, натянутой на контур. Вектор j есть плотность тока в той точке, где расположена площадка dS; n – положительная нормаль к этой пло-

176

щадке (то есть нормаль, образующая с направлением обхода по контуру при вычислении циркуляции правовинтовую систему).

Bdl 0 jdS.

L S

Преобразовав левую часть по теореме Стокса, придем к равенству

rotBdS 0 jdS.

S S

Полученное равенство должно выполняться при произвольном выборе поверхности S, по которой вычисляются интегралы. Это возможно лишь в том случае, если подынтегральные функции имеют в каждой точке одинаковые значения. Таким образом, мы приходим к выводу, что ротор вектора магнитной индукции пропорционален вектору плотности тока в данной точке:

rot B 0 j.

Отметим, что это выражение справедливо для поля в вакууме в отсутствие меняющихся во времени электрических полей.

Итак, мы нашли дивергенцию и ротор магнитного поля в вакууме. Сравним полученные формулы с аналогичными формулами для электростатического поля в вакууме

div E 1

0

(дивергенция Е равна объемной плотности заряда ρ, деленному на ε0); rot E 0

(ротор Е равен нулю);

divB 0

(дивергенция В равна нулю);

177

Таким образом, работа по перемещению проводника с током в магнитном поле равна произведению силы тока на магнитный поток через поверхность, пересеченную движущимся проводником.

Рассмотрим работу по перемещению контура с током в магнитном поле. Элементарная работа A сил Ампера при рассматриваемом перемещении контура (рис. 20.35) равна сумме элементарных работ по перемещению проводника ABC (dA1) и CDA, (dA2), то есть dA = dA1 + dA2.

A2 = I(dΦ0 + dΦ2),

где dФ0 – поток, пересекаемый проводником CDA при движении сквозь заштрихованную поверхность;

dФ2 – поток, пронизывающий контур в конечном положении.

A1 = −I(dΦ0 + dΦ1)

(знак минус записан потому, что силы образуют с направлением перемещения тупые углы).

Тогда

dA = I(dΦ2 + dΦ1).

Работа по перемещению замкнутого контура с током в магнитном поле равна произведению силы тока в контуре на изменение магнитного потока, сцепленного с контуром.

20.15.Сила, действующая на контур с током

вмагнитном поле

Вначале рассмотрим случай, когда магнитное поле однородно (B = const). Согласно закону Ампера, на элемент контура dl со

]. Результи-стороны

179

рующая таких сил будет равна F I[dl , B]. Выносим постоянные величины I и B за знак интеграла, получим: F I[ dl , B].

Интеграл dl равен нулю (векторное суммирование), поэтому

F = 0. Таким образом, результирующая сила, действующая на контур с током в однородном магнитном поле равна нулю. Это справедливо для контуров любой формы (в том числе и неплоских) при произвольном расположении контура относительно направления поля. Для равенства нулю существенной результирующей силой является лишь однородность поля.

Разумеется, что кроме силы Ампера на контур с током в магнитном поле будет действовать также вращательный момент

M [ pm , B],

где pm ISn – магнитный момент контура с током;

I – величина тока в контуре; S – площадь контура;

n – положительная нормаль к контуру.

Модуль вектора вращательного момента M = pmBsin α, α – угол между векторами pm и B.

Для того чтобы угол α увеличить на dα, нужно совершить работу

dA = Mdα = pmBsin αdα.

Поворачиваясь в первоначальное положение, контур может возвращать затраченную на поворот, увеличение потенциальной энер-

гии Wp, которой обладает контур с током в магнитном поле, то есть:

dWp = pmBsin αdα.

Интегрируя последнее выражение, можно получить, что

Wp = −pmBcos α.

Параллельная ориентация векторов pm и B, согласно последнему выражению, отвечает минимуму потенциальной энергии и, сле-

180