Общая физика электричество и магнетизм

(рис. 20.8). Для этого разобьем виток с током длиной L = 2πR на элементарные участки длиной dl.

Y

dl

Рис. 20.8. К определению индукции магнитного поля на оси кругового витка с током

Индукция магнитного поля B в произвольной точке на оси соленоида, согласно принципу суперпозиции, будет определяться су-

перпозицией индукций B, создаваемых элементарными участками dl кругового витка с током:

B dB.

L

Разложим вектор B на проекции по осям ОХ и ОY (см. рис. 20.8): dB dBx dBy ,

dBy dBy j.

Тогда

B dBx dBy .

L L

133

В силу симметрии суммарная индукция магнитного поля от всех элементарных участков dl по оси ОY будет равна нулю

dBy 0.

L

Индукция магнитного поля B в любой точке на оси витка

B dBx .

L

Поскольку векторы индукций магнитного поля dBx от всех эле-

ментов dl витка направлены вдоль оси ОХ, то модуль индукции магнитного поля всего кругового витка с током

По закону Био–Савара–Лапласа индукция магнитного поля, создаваемого элементарным участком dl с током, в среде

где x – текущая координата точки на оси кругового витка. 134

Проекция вектора B на ось ОХ

Подставляя выражения (20.3) и (20.4) в формулу (20.5), получим

dBx 40 R2 x2 3/2 .

Подставим последнее выражение в уравнение (20.2) и проинтегрируем по длине кругового витка

Тогда величина модуля индукции магнитного поля в точке, расположенной на оси кругового витка с током на расстоянии x от его центра, определяется следующим образом:

Используя выражение (20.6), получим индукцию магнитного поля в центре кругового витка с током (x = 0):

B 0 I .

2R

Таким образом, величина индукции магнитного поля B в точке на оси кругового витка с током зависит от величины тока I в витке, радиуса витка R, текущей координаты x точки на оси кругового витка и магнитных свойств среды μ.

135

Сила Ампера dF , с которой магнитное поле действует на

элемент проводника с током dl , находится в магнитном поле, прямо пропорциональна силе тока I в проводнике и векторному произведению элемента длины проводника dl на вектор индукции магнитного поля B.

Сила Ампера, действующая в магнитном поле B на проводник конечной длины L с током I:

F I dl , B ,

L

где интеграл берется по всей длине проводника.

Величина силы Ампера для прямолинейного проводника с током I, находящимся в однородном магнитной поле с индукцией B, определяется следующим образом:

где α – угол между направлением тока в проводнике и вектором ин-

дукции магнитного поля B.

Применим силу Ампера для вычисления силы взаимодействия двух параллельных бесконечно длинных проводников, по которым текут токи I1 и I2 соответственно (рис. 20.10). Пусть расстояние между проводниками равно b и токи I1 и I2 текут в одном направле-

нии (рис. 20.10, а).

Сила dF12 – это сила, действующая со стороны поля, создаваемого проводником с током I2, на проводник с током I1; сила dF21 –

сила, действующая со стороны поля, создаваемого проводником с током I1, на проводник с током I2. По третьему закону Ньютона

F12 F21. Найдем силу F21ед.дл., действующую на проводник с током I2 единичной длины.

137

Выражение, аналогичное (20.11), можно получить, рассматривая взаимодействие токов, текущих в проводниках в противоположных направлениях (рис. 20.10, б).

С помощью выражения (20.11) можно определить величину магнитной постоянной μ0. Магнитная постоянная μ0 – коэффициент, входящий в выражения некоторых законов электромагнетизма при записи их в форме, соответствующей Международной системе единиц (CИ). В системе CИ ампер является основной единицей и по определению, принятому IX Генеральной конференцией по мерам и весам (ГКМВ) в 1948 году: «Ампер есть сила неизменяющегося тока, который при прохождении по двум параллельным прямолинейным проводникам бесконечной длины и ничтожно малой площади кругового поперечного сечения, расположенным в вакууме на расстоянии 1 м один от другого, вызвал бы на каждом участке проводника длиной 1 м силу взаимодействия, равную 2 10−7 Н».

Используя выражение (20.11), получим

2 10 7 0 1 1. 2 1

Откуда получаем точное значение

0 4 10 7 Гн/м Н/А2 Акг2 мс2 .

В2011 г. XXIV ГКМВ приняла резолюцию, в которой предлагается в будущем переопределить несколько основных единиц СИ, включая ампер, так, чтобы основные единицы определялись только на фундаментальных физических постоянных или свойствах атомов.

Врезолюции предлагается, что в СИ величина элементарного электрического заряда e будет иметь точное значение, равное

1,60217 10−19 Кл, тогда новое определение ампера будет основано на этом точном значении элементарного заряда, выраженного в c·А.

Следствием такого подхода к определению ампера станет изменение статуса магнитной постоянной: как отмечается в резолюции ГКМВ, сразу после предполагаемого переопределения ампера значение магнитной постоянной будет равно 4π 10−7 Гн/м, но это зна-

139

чение приобретет погрешность и в дальнейшем будет определяться экспериментально.

20.4. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца

Опыт показывает, что магнитное поле действует не только на проводники с током, но и на отдельные заряды, движущиеся в нем. Оно не действует на покоящийся электрический заряд. В этом существенное отличие магнитного поля от электрического.

На заряженную частицу q, движущуюся в магнитном поле со скоростью v, действует сила Лоренца

где B – вектор индукции магнитного поля.

Из (20.12) следует, согласно правилам векторного произведения векторов, что сила Fл направлена перпендикулярно плоскости, в ко-

торой лежат векторы скорости v и магнитной индукции B. Сила Лоренца всегда перпендикулярна скорости движения заряженной частицы, поэтому она меняет только направление этой скорости, не изменяя ее модуля. Следовательно, сила Лоренца работы не совершает. Иными словами, постоянное магнитное поле не совершает работы над движущейся в нем заряженной частицей и кинетическая энергия этой частицы при движении в магнитном поле не изменяется.

Модуль силы Лоренца равен

где – угол между вектором скорости v и вектором индукции маг-

нитного поля B.

Согласно формуле (20.12) направление силы Лоренца определяется знаком заряда q. Если заряд q положительный, то направление

силы Fл совпадает с направлением вектора [v, B] (рис. 20.11, а). Си-

140