Общая физика оптика, квантовая физика, физика атомного ядра и элементарных частиц. Сборник задач

Задача 5. Оцените, насколько изменилась масса пружины при ее сжатии на 1,0 см. Коэффициент жесткости пружины k = 500,0 Н/м.

где m0 – масса покоя пружины.

Полная энергия пружины после сжатия складывается из энергии покоя пружины и энергии сжатой пружины:

mc2 m0c2 k 2l 2 ,

где m – масса пружины после сжатия. Находим изменение массы пружины:

Ответ: m = 2,8 ∙ 10–19 кг.

161

Задача 6. В протонном ускорителе протоны приобретают кинетическую энергию Eк =6,4 ∙ 10–16 Дж. Узкий пучок протонов, выведенный

новые налетающие протоны начинают двигаться по искривленной траектории 2 (рис. 4.3), затем по траектории 3, проходящей вблизи поверхности шара, не передавая шару заряд. Процесс электризации шара прекращается, и потенциал шара не повышается.

Для оценки потенциала воспользуемся законом сохранения энергии системы, состоящей из протона и заряженного шара:

где е – заряд протона;

v0 – начальная скорость протонов; v – скорость протонов в точке A; m – масса протона.

162

В начальный момент времени потенциальная энергия протона равна нулю, так как протон достаточно удален от шара. Сила электростатического поля шара, действующая на протоны, является центральной силой.

Поскольку взаимодействие между шаром и протоном обусловлено центральной силой, то можно воспользоваться законом сохранения момента импульса протона относительно центра шара:

163

Учитывая, что d 2r , получаем

Еeк 1 4rr22 34Еeк .

Подставим числовые значения

3 6,4 10 16 3000В. 4 1,6 10 19

Ответ: φ = 3000 В.

Задача 7. Оцените частоту гармонических колебаний диполя в однородном электрическом поле, модуль напряженности которо-

F1 и F2, действующие на заряды со стороны электрического поля.

Заряды совершают гармонические колебания, период которых определяется как

T 2 2lа,

164

где а – ускорение, которое электрическое поле сообщает каждому заряду диполя;

2l – расстояние от каждого из зарядов до оси вращения, прохо-

дящей через середину плеча диполя.

Тогда частота колебаний диполя может быть определена следующим образом:

Так как

а eEm ,

то

Ответ: ν = 4,9 ∙ 1010 Гц.

Задача 8. Глаз человека реагирует на свет с длиной волны λ = 500 нм. При этом мощность, попадающего в него видимого излучения, составляет не менее Р = 2,3 ∙ 10–17 Вт. Оцените минимальное число фотонов, которые должны попадать в глаз за единицу времени.

165

Тогда за единицу времени число фотонов n, попадающих в глаз,

Ответ: n ≥ 58.

Задача 9. Оцените ежегодное уменьшение массы Солнца за счет излучения. Экваториальный диаметр Солнца d = 1,4 ∙ 109 м.

где σ – постоянная Стефана – Больцмана; Т – абсолютная температура поверхности Солнца.

166

Длина волны, на которую приходится максимум энергии излучения абсолютно черного тела по закону смещения Вина, обратно пропорциональна абсолютной температуре:

max Tb ,

где b – постоянная Вина.

Максимум энергии излучения Солнца приходится примерно на

длину волны λmax = 470 нм.

Из закона смещения Вина найдем температуру поверхности Солнца

T b .

max

Энергию, излучаемую Солнцем, единицей площади за единицу времени определим по закону Стефана – Больцмана:

Определим энергию, излучаемую за год всей поверхностью S Солнца

E R*St,

где t – время, равное одному году.

Так как S d2, то с учетом выражения (4.17) имеем

167

Из формулы Эйнштейна оценим годовую потерю массы Солнца в результате излучения

1,8 1017 кг.

Ответ: m = 1,8 ∙ 1017 кг.

ЗАДАЧИ

4.1Оцените, насколько дальше спортсмен бросит гранату, если он будет бросать ее с разбега.

При разбеге гранате сообщается дополнительная горизонтальная составляющая скорости, а вертикальная составляющая практически не меняется, значит, не меняется высота и время полета.

Ответ. l ≈ 50 м.

4.2Однородный тонкий негнущийся стержень весом Р поддерживается в горизонтальном положении двумя вертикальными опорами у концов стержня. В момент времени t = 0 одна из опор выбивается. Найдите силу F, которая действует на вторую опору сразу же после выбивания первой опоры.

Указание. Запишите второй закон Ньютона для второй опо-

168

воспользуйтесь уравнением динамики для вращательного

сительно оси, проходящей через один из его концов; L – длина стержня. Воспользуйтесь тем, что угол поворота φ мал,

определите d 22 . dt

Ответ: F = P/4.

4.3Имеются два цилиндра одинаковых размеров, изготовленных из одного материала. Один цилиндр сплошной. Второй ци-

линдр собран из двух цилиндров, вложенных один в другой почти без зазора (рис. 4.4).

Масса внутреннего цилиндра существенно меньше массы внешнего цилиндра. Считать, что трение скольжения между внутренним и внешним цилиндрами отсутствует. Проанали-

зируйте, какой из цилиндров будет быстрее скатываться без скольжения по одной и той же наклонной плоскости. Указание. Рассмотрите качение без скольжения как вращение вокруг мгновенной оси (образующей цилиндра, касающейся в данный момент наклонной плоскости) и поступательное движение этой оси. Вращающим моментом для обоих цилиндров является момент силы тяжести относительно мгновенной оси. Затем необходимо сравнить моменты инерции обоих цилиндров, учтя, что внутренний цилиндр вследствие отсутствия сил трения не вращается.

Ответ: сплошной цилиндр будет скатываться быстрее.

4.4Цепочка содержит N одинаковых невесомых звеньев, скрепленных шарнирно (рис. 4.5). Пренебрегая трением, определите, какое натяжение должна выдержать нить, соединяющая точки 1 и 2, если к цепочке подвешен груз массой m.

169

угла поворота dφ. Приравняйте работу по подъему груза на высоту dh и работу силы тяжести при подъеме груза на данную высоту. Из этого равенства найдите величину силы F.

Ответ: F = mgh/2 r.

4.6В свинцовом шаре радиуса R сделана сферическая полость так, как показано на рис. 4.7. Масса свинцового шара без по-

170