Общая физика оптика, квантовая физика, физика атомного ядра и элементарных частиц. Сборник задач

2.52Под каким напряжением U работает рентгеновская трубка, если при силе тока I = 1,0 ∙ 10−3 А и коэффициенте полезного действия η = 8,0 % она излучает n = 2,0 ∙ 1013 фотонов в секунду? Частота излучения ν = 3,0 ∙ 1018 Гц.

Ответ: U = 50,0 кВ.

2.53 Рентгеновская трубка, работающая под напряжением U = 50,0 кВ и потребляющая ток силой I = 1,0 ∙ 10−3 А, излучает за одну секунду 2,0 ∙ 1013 фотонов со средней длиной волны λ = 1,0 ∙ 10−10 м. Определите коэффициент полезного действия установки η рентгеновской трубки.

Ответ: η = 8,0 %.

2.54Энергия рентгеновских лучей ε = 0,60 МэВ. Найдите энергию

Те электронов отдачи, если известно, что длина волны рентгеновских лучей после рассеяния изменилась на 20 %.

Ответ: Те = 0,10 МэВ.

2.55На площадку S = 0,010 м2 падает свет, мощность которого

1,0 Дж/с. Найдите давление света р1, если поверхность полностью отражает лучи, и давление р2, если поверхность полностью поглощает падающие на нее лучи.

Ответ: р1 = 3,3 ∙ 10−7 Па; р2 = 6,7 ∙ 10−7 Па.

2.56Фотон с энергией ε = 1,029 МэВ рассеян на почти свободном электроне. Определите угол рассеяния фотона θ, если длина волны рассеянного фотона оказалась равной комптоновской

длине волны λк = 2,44 пм.

Ответ: θ = 60°.

111

2.2. АТОМ ВОДОРОДА В КВАНТОВОЙ МЕХАНИКЕ. УРАВНЕНИЕ ШРЕДИНГЕРА. СООТНОШЕНИЕ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЕЙ

__________________________________________________________

Краткие теоретические сведения

Модуль импульса р движения частицы с нерелятивистской скоростью v

р= mv, m m0,

срелятивистской скоростью v

где m0 – масса покоя частицы.

Длина волны де Бройля равномерно движущейся частицы

λ hp .

Энергетическим уровнем называется значение энергии, которой обладает электрон в атоме (рис. 2.2).

Энергетическое состояние атома во-

дорода определяется тем, какой энергетический уровень занимает его электрон.

Постулаты Бора Первый постулат (постулат стацио-

нарных состояний): в атоме существуют стационарные состояния; находясь в них, Рис. 2.2 атом не излучает.

112

Второй постулат (правило частот): при переходе электрона из одного стационарного состояния в другое излучается или поглощается один фотон с энергией

hνkn Ek En ,

где n, k – номера энергетических уровней электрона в атоме; νkn – частота фотона;

Еn и Еk – энергии стационарных состояний атома водорода, соответствующих энергетическим уровням с номерами n и k.

Третий постулат (правило квантования орбит): в стационар-

ном состоянии атома электрон, движущийся по круговой орбите, имеет квантованные значения момента импульса

mvnrn n ,

где m – масса электрона;

2πh – постоянная Планка;

vn – скорость электрона на n-ной орбите радиуса rn.

Радиус n-ной орбиты rn движения электрона в атоме водорода

rn а0n2 ,

где а0 24πε2 0 0,529 10 10 м – первый боровский радиус. me

Серией называется совокупность линий излучения c частотами νkn, полученная при переходах электрона атома с более высоких энергетических уровней с номерами k = n + 1, n + 2… на общий энергетический уровень с номером n.

Формула Бальмера − Ридберга, определяющая частоты (длины волн) в дискретном линейчатом спектре атома водорода,

νkn R n12 k12

113

или

1kn R n12 k12 ,

где R = 3,29 · 1015 с−1 – постоянная Ридберга;

R Rc 1,0973 107 м 1 постоянная Ридберга.

Серии излучения атома водорода (рис. 2.3): ультрафиолетовая область – серия Лаймана (n = 1, k = 2, 3, 4…); видимый диапазон – серия Бальмера (n = 2, k = 3, 4, 5…); инфракрасная область – серия Пашена (n = 3, k = 4, 5, 6…);

серия Бреккета (n =4, k = 5, 6, 7…); серия Пфунда (n =5, k = 6, 7, 8…);

серия Хемфри (n = 6, k = 7, 8, 9…).

114

Основным состоянием электрона в атоме водорода называется состояние с наименьшим значением энергии (при n = 1)

E1 m2e42 13,55эВ. 8h 0

Значения энергии электрона в атоме водорода на n-ном уровне

En 13,55n2 эВ,

где n = 1, 2, 3… – главное квантовое число.

Энергия связи электрона в атоме водорода численно равна абсолютной величине En.

Энергией ионизации атома называется энергия, которую нужно сообщить электрону в атоме, чтобы удалить электрон из атома.

Энергия ионизации атома равна энергии связи электрона. Соотношение неопределенностей Гейзенберга: микрочастица

не может одновременно иметь определенную координату и определенную соответствующую ей проекцию импульса. При этом произведение неопределенностей координаты и соответствующей ей про-

Соотношение неопределенности между энергией и временем:

E t /2,

где Е – точность определения энергии системы; t – точность измерения времени.

115

Уравнение Шредингера для стационарных состояний

ψ(x,y,z) 2m2 E U ψ(x,y,z) 0,

где Ψ(x,y,z) – собственная волновая функция, описывающая состояние частицы;

x22 y22 z22 – оператор Лапласа;

m – масса частицы;

Е – полная энергия частицы;

U = U(x,y,z) − потенциальная энергия частицы.

Одномерное уравнение Шредингера для стационарных состояний

d 2ψ(x) 2m E U ψ(x) 0, dx2 2

где Ψ(x) – собственная волновая функция, описывающая состояние частицы;

U = U(x) − потенциальная энергия частицы.

Решение уравнения Шредингера для бесконечно глубокой потенциальной ямы шириной l:

собственные волновые функции частицы

собственные значения энергии частицы

Вероятность обнаружения частицы в интервале ∆x w (x)2 dx,

где (x)2 – квадрат модуля собственной волновой функции.

116

Примеры решения задач

Задача 1. Электрон в атоме водорода перешел с четвертого энер-

гетического уровня на третий. Определите величину энергии испущенного при этом фотона.

Производя вычисления, получим

13,55 312 412 0,47 эВ.

Ответ: = 0,47 эВ.

Задача 2. Найдите длину волны де Бройля для электрона, обладающего кинетической энергией: 1) Тк1 = 100,0 эВ; 2) Тк2 = 3,0 МэВ.

117

2) В данном случае кинетическая энергия электрона Тк2 > m0c2. Электрон следует считать релятивистской частицей. Поэтому модуль импульса и кинетическая энергия электрона определяются следующим образом:

118

Следовательно, длина волны де Бройля

Задача 3. В невозбужденном атоме средняя кинетическая энергия электрона Тк = 13,6 эВ. Исходя из соотношения неопределеннос-

тей, найдите наименьшую неопределенность x, с которой можно вычислить координату электрона в атоме.

Величина неопределенности проекции импульса px на направление ОХ неизвестна. Однако среднее значение импульса р легко найти, поскольку известна средняя кинетическая энергия электрона Тк. Так как Тк << m0 c2 = 0,511 МэВ, то электрон рассматриваем как нерелятивистскую частицу.

Тогда

119

Неопределенность проекции импульса на ось OX не может быть

больше величины модуля импульса р. Поэтому принимаем px = р. Тогда из формулы (2.12) находим

Произведя вычисления, находим

Как следует из последнего соотношения, наименьшая допустимая соотношением неопределенностей погрешность сравнима по порядку величины с первым боровским радиусом (0,53 ∙ 10−10 м). Данный результат подчеркивает тот факт, что понятие о траектории движения электрона в атоме в квантовой механике теряет смысл.

Ответ: x = 0,26 ∙ 10 10 м.

Задача 4. Частица находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l. Найдите вероятность обнаружения частицы в областях: 0 ≤ x ≤ l/3 и l/3 < x ≤ 2l/3.

Тогда вероятность w1 найти частицу в области 0 ≤ x ≤ l/3 определяется следующим образом:

120