3.3.Действительные элементарные функции

3.3.1.Линейная функция. Прямая пропорциональная зависимость

Линейной функцией называется функция y = f (x), определяемая

равенством y = ax + b , где a и b – некоторые действительные числа.

Областью определения линейной функции является множество всех

(определение непрерывной функции дано, например, в учебниках [ 4, 8]).

При a > 0 ( a < 0 ) линейная функция возрастает (убывает) при всех x R , а при a = 0 линейная функция является постоянной величиной y = b .

График линейной функции y = ax + b есть прямая линия. Коэффициент a

характеризует угол α , который образует прямая с положительным направлением оси OX (рис. 3.12). При этом величина a = tg α называется угловым коэффициентом. Если a > 0, то этот угол острый, если a < 0 – тупой, если a = 0, то прямая y = b параллельна оси OX .

89

Рис. 3.12. Графики функции y = ax + b :

а – a > 0; б – a < 0 ; в – a = 0

Если b = 0 , то прямая y = ax проходит через начало координат.

Переменную y называют прямо пропорциональной переменной x с

коэффициентом пропорциональности k = a , если эти переменные связаны соотношением y = ax, a ≠ 0 . Прямая пропорциональная зависимость является частным случаем линейной функции.

3.3.2. Квадратичная функция

Квадратичной функцией называется функция y = f (x) вида:

y = ax2 + bx + c , где a,b,c − некоторые действительные числа, a ≠ 0 .

Квадратичная функция может быть приведена к виду:

Опишем основные свойства квадратичной функции и ее график. Область определения квадратичной функции – множество всех

действительных чисел R .

90

2a

3.16). При x = 0 y = c .

График квадратичной функции называется параболой. Если a > 0 ( a < 0 ), то ветви параболы направлены вверх (вниз). Осью симметрии параболы служит

прямая x = −2ba . Точка графика функции с абсциссой x0 = −2ba и ординатой

91

y = ax2

Рис. 3.13 Парабола y = ax2 ,a > 0

a>0

D>0 a>0 D=0

а – D > 0 ; б – D = 0

92

93

3.3.3. Функция y = kx . Обратно пропорциональная зависимость.

Дробно-линейная функция

Функция y = kx выражает обратно пропорциональную зависимость

переменной y от переменной x. Здесь k – действительное число, отличное от нуля, которое называют коэффициентом обратной пропорциональности.

Область определения данной функции D(y)= R \ {0}, а область изменения

E(y)= R \ {0}. Эта функция нечётная и её график симметричен относительно начала координат. При k > 0 y < 0 при x < 0 и y > 0 при x > 0. При k < 0 y > 0

при x < 0 и y < 0 при x > 0. При k > 0 данная функция монотонно убывает в

(− ∞, 0) и (0, + ∞), а при k < 0 монотонно возрастает в тех же промежутках.

Функцию y = kx можно рассматривать как частный случай степенной функции y = xα при α = −1. График функции называется гиперболой (см. рис. 3.17 а, б).

а – k > 0; б – k < 0

94

Оси координат OX и OY являются соответственно горизонтальной и вертикальной асимптотами графика функции y = kx .

Дробно-линейной функцией называется функция y = f (x) вида

y = cxax ++db ,

где a, b, c, d – некоторые действительные числа, c ≠ 0 и ad ≠ bc .

При c = 0 эта функция становится линейной, а при ad =bc y = const .

Для исследования свойств и построения графика дробно-линейной

Тогда график функции можно получить из графика функции y = 1x с

помощью геометрических преобразований (параллельных переносов и сжатий (растяжений) вдоль координатных осей).

функцией. Свойства данной функции следуют из свойств функции y = kx

согласно приведённым выше преобразованиям функции и её графика. Прямые y = ac и x = −dc являются горизонтальной и вертикальной асимптотами графика этой функции.

95