Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

О базовых понятиях и конструкциях элементарной и высшей математики и о некоторых их приложениях.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

1.81 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

функцией. Поэтому графики прямой и обратной функций совпадают. Если же у обратной функции, так же как и у исходной функции, аргумент обозначить через x , а зависимую переменную – через у (как обычно принято), то обратная функция запишется в виде y = f −1 (x) . График обратной функции y = f −1 (x)

симметричен графику данной функции y = f (x) относительно биссектрисы

y = x первого координатного угла.

Для того, чтобы найти обратную функцию для взаимно однозначной


функции	y = f (x) , следует решить			уравнение	y = f (x)	относительно
переменной		x , т.е. найти функцию x = f −1 ( y) , а затем поменять обозначения
переменной		x на	y , а y на x и тем самым получить функцию				y = f −1 (x)
обратную к данной.
Замечание			3.1.6. В общем случае обратную		функцию	для	функции
y = f (x)	определяют как многозначную, если значению y E( f ) соответствует
несколько или бесконечное множество значений x D( f ).
На графике,			если любая прямая, параллельная оси Ox пересекает график
функции	y = f (x)		лишь в одной точке,	то обратная для нее функция будет

однозначной. Если же некоторые из таких прямых пересекают график в нескольких точках, то обратная функция будет многозначной. В подобных случаях выбирают такие промежутки изменения x , которым отвечают однозначные «ветви» многозначной обратной функции.

3.2. Геометрические преобразования графиков функций

Если график функции y = f (x) известен, то с помощью некоторых

преобразований плоскости (параллельного переноса, осевой и центральной симметрии, растяжения и т.п.) можно построить графики более сложных функций.

3.2.1. График	функции	f (ω x) ,	где	ω (0,+∞) , получается сжатием
графика функции	f (x) вдоль	оси Ox	в	ω раз к оси Oy при ω>1 или

растяжением функции		f (x) вдоль оси Ox в	1	раз от оси Oy при 0 < ω<1
растяжением функции		f (x) вдоль оси Ox в	ω	раз от оси Oy при 0 < ω<1
			ω
(рис. 3.5 а, б, в)
				y
	y			y

			f(x)		f(2x)
–1	0	1	x	–1/2	0 1/2	x

		f(0.5x)
	О		x

		2
–2
–2

Рис. 3.5. Графики функций:

а– y = f (x) ; б – y = f (2x); в – y = f (0.5x)

3.2.2.График функции Af ( x) , где A (0,+∞) , получается растяжением

графика функции f (x) вдоль оси Oy в A раз при A >1 и сжатием вдоль этой

оси в 1A раз при 0 < A <1 (рис. 3.6 а, б, в)

y		2	y
		2
	f(x)		2·f(x)
	f(x)
1			1

–1	0	1	x	–1	0	1	x
	–1				–1
					–2
	а				б

	y
1/2				1	f (x)


	0	2
	0	2
					x

–1			–1/2 1
			–1/2 1

Рис. 3.6. Графики функций:

а– y = f (x) ; б – y = 2 f (x); в – y = 12 f (x)

3.2.3.График функции f ( x + a), получается параллельным переносом

графика функции f (x) в отрицательном направлении оси Ox на a при a > 0 и

в положительном направлении при a < 0 (рис. 3.7 а, б, в)

y	y
f(x)	f(x+1)

–1	0	1	x	–2	–1	0 1 x
	–1					–1

y	f(x–1)
	f(x–1)
1

–1	0	1	2	x

	–1

Рис. 3.7. Графики функций:

а– y = f (x) ; б – y = f (x +1); в – y = f (x −1)

3.2.4.График функции f ( x) + b , получается параллельным переносом графика функции f (x) в положительном направлении оси Oy на величину b

при b > 0 и в отрицательном направлении этой оси на величину b при b < 0

(рис. 3.8 а, б, в)

2	y	2	y
2		2	f(x)+1
			f(x)+1
	f(x)
1		1

–1	0		1	x	–1	0		1	x
		–1					–1
		–1					–1
		–2					–2
		–2					–2
	а					б

–1	0		1	x
		–1		f(x)–1
		–1		f(x)–1
		–2
		–2
	в

Рис. 3.8. Графики функций:

а – y = f (x) ; б – y = f (x) +1; в – y = f (x) −1

3.2.5.График функции f (−x) , получается симметричным отображением графика функции f (x) относительно оси Oy (рис. 3.9. а)

3.2.6.График функции − f (x) , получается симметричным отображением графика функции f (x) относительно оси Ox (рис. 3.9 б).

f(x)

f(–x)

–f(x)

–1

Рис. 3.9. Графики функций:

а– y = f (x) и y = f (−x) ; б – y = f (x) и y = − f (x)

3.2.7.График функции f (x) получается из графика функции f (x)

следующим образом: часть графика f (x), лежащая над осью OX , сохраняется,

часть его, лежащая под осью OX , отображается симметрично относительно оси OX (рис. 3.10 а, б). Указанное правило преобразования графика функции f (x)

следует из формулы:

( ) f (x), если f (x)≥ 0,

y = f x = − f (x), если f (x)< 0.

3.2.8. График функции f (x ) получается из графика функции f (x) таким образом: часть графика f (x) при x ≥ 0 сохраняется, а при x < 0 полученная для

x > 0 часть

графика

отображается

симметрично

относительно оси

OY (рис. 3.11 а, б). Данное преобразование выполняется согласно формуле:

y = f

f (x), если x ≥ 0,

(− x), если x < 0.

f (x)

Рис. 3.10. Графики функций:

а – y = f (x) ; б – y =

f (x)

y	y


	y1	f (x)			y1	f (	x	)
		f (x)

x1	O x2	x3		− x2	O x2			x
x1	O x2	x3	x	− x3	O x2		x3

а			б
	Рис. 3.11. Графики функций:
	а – y = f (x) ; б – y = f (	x	)
	а – y = f (x) ; б – y = f (	x	)

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 228 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]