касательных к этим прямым. Ему же принадлежат исследования свойств зажигательных (катакаустических) кривых, образуемых параллельными лучами, отраженными от сферических вогнутых зеркал и от зеркал, меридиональное сечение которых есть циклоида. После 1681 года Чирнгаус долго жил в Саксонии, где основал три стеклянных завода, изготовлявших оптические стекла невиданных до того времени размеров. Чирнгаус был изобретателем европейского белого фарфора, однако после его смерти в 1708 году лавры достались Иоганну Бёттгеру.
Рис.4.42. Схема построения Кубики Чирнгауза
4.3.5 Кривые четвертого порядка
Конхоида Никомеда. Конхоидой данной кривой называется кривая, которую можно получить при увеличении или уменьшении радиуса-вектора каждой точки данной кривой на постоянный отрезок l (рис.4.43). Если уравнение кривой в полярных координатах ρ = f (ϕ) , то уравнение ее
конхоиды ρ = f (ϕ) ± l .
Конхоида Никомеда – конхоида прямой, т.е. кривая, получающаяся увеличением (вторая ветвь − уменьшением) радиус-вектора точек прямой на некую постоянную величину. Уравнение конхоиды Никомеда в декартовых
координатах: |
|
(x −a)2 +(x2 + y2 ) −l 2 x2 = 0. |
Конхоида |
Никомеда |
в |
|||
параметрической |
|
форме: |
x = a +l cosϕ, |
y = atgϕ + l sin ϕ . |
В полярных |
|||
координатах: |
ρ = |
|
a |
± l . |
|
|
|
|
|
cosϕ |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
155
Рис.4.43. Конхоида Никомеда (x −a)2 +(x2 + y2 ) −l 2 x2 = 0 (на рис. a = l =1)
Никомед (III век до н. э.) — древнегреческий математик. Время жизни Никомеда определено, исходя из следующих соображений. С одной стороны, Никомед критиковал Эратосфена за предложенный этим математиком метод удвоения куба. С другой стороны, Аполлонию Пергскому конхоида Никомеда была уже известна.
Никомед занимался классическими математическими проблемами — квадратурой круга и удвоением куба. Для удвоения куба он использовал приём вставок. Для выполнения этого приёма он построил специальную механическую кривую — конхоиду, которую описал в не дошедшем до нас сочинении. Никомед изобрёл и особый механизм для вычерчивания конхоиды.
Циклоидальные кривые. Пусть некоторая кривая катится без скольжения по другой кривой. При этом любая точка, неизменно связанная с первой кривой, описывает новую линию. Среди кривых, образованных таким способом, выделяют кривые, являющиеся тректориями точки, неизменно связанной с окружностью, которая катится без скольжения по второй окружности. Полученные при этом линии называются циклоидальными.
Эпициклоида – кривая, описываемая точкой окружности, которая катится без скольжения по другой окружности извне (рис.4.44).
Впараметрической форме уравнение эпициклоиды имеет вид:
x= (A + a)cosϕ −a cos( Aa+ a ϕ) , y = (A + a)sinϕ −asin( Aa+ a ϕ) ,
156
где A – радиус неподвижной окружности, a – радиус подвижной окружности. Схема построения эпициклоиды представлена на рис.4.45. Кроме этого, эпициклоида может быть записана в комплексной форме следующим образом: z = (a +b)eit −bei(q+1)t . На рис. 4.46 изображены эпициклоиды для различных значений параметра q.
Рис.4.44. Эпициклоида x = (A + a)cosϕ −a cos( Aa+ a ϕ) ,
y = (A + a)sinϕ −asin( Aa+ a ϕ) (на рис. A =1, a = 0.333)
Рис.4.45. Схема построения эпициклоиды
Эпициклоида применяется при проектировании механизмов со взаимоогибаемыми профилями.
157
Рис.4.46. Эпициклоиды при разных q
Гипоциклоида – кривая, описываемая точкой окружности, которая катится без скольжения по другой окружности внутри нее(рис.4.47). Способ построения пояснен на рис.4.48.
Уравнение гипоциклоиды:
x = (A −a)cosϕ + a cos( Aa−a ϕ) , y = (A −a)sinϕ +sin( Aa−a ϕ).
Рис.4.47. Гипоциклоида x = (A −a)cosϕ + a cos( Aa−a ϕ) ,
y = (A −a)sinϕ +sin( Aa−a ϕ) (на рис. A =1, a = 0.333)
Рис.4.48. Схема построения гипоциклоиды
158
Удлиненные и укороченные эпи- и гипоциклоиды (их называют также эпи- и гипоциклоидами) – это кривые, образованные точкой, лежащей снаружи или внутри окружности, которая перекатывается без скольжения по другой окружности снаружи или внутри ее.
Уравнения этих кривых в параметрической форме имеют вид:
x = (A ± a)cosϕ − λa cos( A a± a ϕ) , y = (A ± a)sinϕ − λasin( A a± a ϕ) ,
где A – радиус неподвижной окружности, a – радиус подвижной окружности, причем эпициклоиде соответствует знак «+», а гипоциклоиде − знак «-». Для удлиненной кривой λ >1, а для укороченной λ <1(рис.4.49−4.50).
Рис.4.49. Эпициклоида λ = 2 , λ = 0.3
Рис.4.50. Гипоциклоида λ =1.2 , λ = 0.2
Кардиоиду можно определить как эпициклоиду, у которой диаметры подвижной и неподвижной окружностей равны.
159
Существуют кривые, изображения которых достаточно широко используются в орнаментах. Одни из них похожи на сердце, другие на лист клевера и т.д. (рис.4.51−4.52). В 1895 г. была найдено уравнение r =1+ cos nϕ +sin 2 nϕ , позволяющее построить клевер, где параметр n задает количество лепестков.
|
Рис.4.51. Кривая r =1+ cos nϕ +sin 2 nϕ (n=3,10,25) |
||||||||||||||
В 1903 |
г. была |
построена |
кривая, напоминающая сечение |
||||||||||||
сердца: (x2 + y2 |
−1)3 = x2 y3 , |
|
x = sin |
3 |
t |
(1993), |
ρ = |
|
tgϕ |
|
|
ctgϕ |
|
(2008) |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
(рис.4.52). |
|
y = cost −cos4 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.4.52. Кривые (x2 |
+ y2 |
−1)3 |
= x2 y3 |
|
x = sin |
3 |
t |
, ρ = |
|
tgϕ |
|
|
ctgϕ |
|
|
|
|||||||||||
, |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
y = cost −cos4 t |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Кривая, напоминающая бабочку(рис.4.53), задается в полярной системе координат следующим соотношением:
ρ = ecosϕ − 2cos4ϕ +sin5 12ϕ .
160
Рис.4.53. Кривая ρ = ecosϕ − 2cos4ϕ +sin5 12ϕ
Выше были рассмотрена и проиллюстрирована небольшая часть плоских кривых, используемых в науке и технике.
Дополнительные сведения о типах кривых можно, например, почерпнуть в литературных источниках [22−23].
161
162