4.3 Графики параметрически заданных функций. Графики функций, содержащих знак модуля

Далее даны определения и построены графики такого рода функций. Кардиоида – плоская кривая, описываемая произвольной точкой M

окружности радиуса r , катящейся без проскальзывания по другой, неподвижной, окружности того же радиуса (рис.4.10−4.11). В полярной системе

координат уравнение кардиоиды принимает вид ρ = a cos2 ϕ2 .

Рис.4.10. График кардиоиды в полярной системе координат для случая, когда a =1

При построение графика, представленного на рис. 4.10, использовались также параметрические уравнения кардиоиды, которые имеет вид при

t (−∞,+∞) : x = 2a cost − a cos 2t , y = 2asin t − asin 2t .

Математик И.И. Блох (математик, представлявший математическую школу Санкт - Петербургского университета) привел ряд примеров применения свойств кардиоиды. Так, изучая фотографию обратной стороны Луны, он выявил, что вершины гор и обособленные кратеры единственным образом укладываются в последовательность, представляющую собой две сопряженные кардиодические линии. Центр этого изображения совпадает с центром диска Луны, а его длина равна половине диаметра диска. Отметим, что одна из экономичных траекторий полета с одной планеты на другую планету с

134

возвращением обратно представляет собой кардиоиду. На рис. 4.11 приведена схема построения графика кардиоиды.

Рис.4.11. Схема построения кардиоиды

Отметим еще несколько свойств кардиоиды. Она используется как линия для вычерчивания профилей, если требуется, чтобы скользящий по

свойством она выгодно отличается от спирали Архимеда (см. далее), у которой, благодаря постоянству скорости стержня, в конце каждого его хода происходят удары (при этом скорость скачком меняет свое направление на противоположное), что вызывает быстрое изнашивание механизма.

Одна из составных частей в механизме для поднятия и опускания железнодорожного семафора очерчена по кардиоиде. При этом скорость поднятия или опускания достигает максимального значения в середине хода семафора.

Заметим, что кардиоиду можно использовать для описания возвратнопоступательных движений стержней в двигателях.

Кроме этого, кардиоидные микрофоны можно использовать в помещениях, куда попадают посторонние шумы или где имеются звуковые отражения.

Однонаправленный микрофон («направленный») проявляет чувствительность к звуку, который приходит с одного направления, и меньшую чувствительность к остальным. Типичной картиной для таких микрофонов

135

является кардиоидная характеристика (своеобразная диаграмма в форме кардиоиды). Наибольшая чувствительность, при этом, достигается на направлении вдоль оси микрофона, а наименьшая - в противоположном направлении. Эффективный угол работы кардиоидного микрофона составляет

130°.

Циклоида – это кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по прямой линии. Циклоида состоит из дуг, каждая из которых соответствует полному обороту катящегося круга(рис. 4.12−4.13).

Рис.4.12. Циклоида x = a(t −sin t) , y = a(1−cos t) (на рис. a =1)

Рис.4.13. Схема построения циклоиды

Особо подчеркнем, что необходимо придать форму циклоиды отшлифованному (чтобы практически исключить трение) желобу, соединяющему две точки, чтобы шарик скатился вниз от одной точки к другой за кратчайшее время.

Циклоидальные кривые широко используются в технике и их свойства их применяются, например, при построении профилей зубьев шестерен, в циклоидальных маятниках, в оптике и т.д.

Например, заряженная электричеством частица, попадая в наложенные друг на друга стационарные электрическое и магнитное поля, движется по кривой, которая является циклоидой.

136

Астроида – замкнутая линия, являющаяся траекторией точки, лежащей на окружности круга радиусом r , который катится по внутренней стороне неподвижного круга радиусом a (рис. 4.14−4.15).

Рис.4.14. Астроида x = a cos3 t , y = asin3 t (на рис a =1)

Рис.4.15. Схема построение астроиды

Уравнение астроиды в декартовой системе координат имеет вид:

2 2 2 x3 + y3 = ρ3 .

4.3.2 Построение графиков функций в полярной системе

137

построение графика функции ρ = f (ϕ) по графику функции y = f (x) в

полярной системе координат.

Спираль Архимеда определяется как траектория точки, участвующей одновременно в двух равномерных движениях, одно из которых совершается вдоль прямой, а другое – по окружности. Данная кривая состоит из двух ветвей, одна из которых раскручивается против хода часовой стрелки и соответствует положительным значениям ϕ (рис. 4.16), другая – по ходу часовой стрелки и соответствует отрицательным значениям ϕ . Спираль Архимеда симметрична относительно перпендикуляра к полярной оси, на котором лежат точки пересечения ее ветвей. На рис. 4.17 дана иллюстрация процедуры построения этой спирали.

Спираль названа в честь известного древнегреческого ученого, математика и механика, одного из основоположников статики и гидростатики. Архимед разработал предвосхитившие интегральное исчисление методы нахождения площадей, поверхностей и объемов различных фигур и тел. В основополагающих трудах по статике и гидростатике (закон Архимеда) Архимед дал образцы применения математики в естествознании и технике. Архимеду принадлежит множество технических изобретений (архимедов винт, определение состава сплавов взвешиванием в воде, системы для поднятия больших тяжестей, военные метательные машины), завоевавших ему необычайную популярность среди современников.

Рис.4.16. Спираль Архимеда ρ = aϕ(на рис. a =1; ϕ [0,4π])

138

прообразом устройства, широко используемого в различных машинах для перемешивания жидких, сыпучих и тестообразных материалов. Самая распространенная его разновидность – винтовой ротор в обычной мясорубке.

Еще один важный тип кривых на плоскости называют розами. К ним относится семейство кривых, уравнение которых в полярных координатах записывается в виде: ρ = asinkϕ или ρ = acoskϕ. Все кривые располагаются внутри круга радиуса a . Вследствие периодичности синуса и косинуса розы состоят из лепестков, симметричных относительно наибольших радиусов, каждый из которых равен a . Количество лепестков зависит от значения параметра k (рис.4.18).

Рис.4.18. Розы ρ = sin3ϕ, ρ = cos2ϕ, ρ = sin10ϕ

Логарифмическая спираль – это кривая, полярное уравнение которой имеет вид ρ = aϕ (рис.4.19). Она пересекает все свои радиусы – векторы под одним и тем же углом.

Рис.4.19. Логарифмическая спираль ρ = eaϕ (на рис. a =1/8 )

Свойства логарифмической спирали также используется в технических устройствах. Например, вращающиеся ножи нередко имеют профиль, очерченный по логарифмической спирали (т.е. под постоянным углом к

140

разрезаемой поверхности). Благодаря этому лезвие ножа стачивается равномерно. На рис. 4.20−4.21 представлены еще некоторые кривые, свойства которых нашли свое применение в технике. Уравнение литууса (Lituus –

На рис. 4.21 представлена улитка Паскаля, заданная уравнением

ρ =1+coskϕ .

Кратко опишем применение улитки Паскаля(рис. 4.21) в технике на следующем примере: кулачки, вращающиеся с постоянной угловой скоростью ω, у которых профиль вычерчен по улитке, а центр вращения расположен в ее полюсе. Выполнив толкатель в виде стержня с острием или роликом, сообщим ему перемещение по исходящей из полюса прямой. Получается движение, подчиняющееся гармоническому закону, с плавным нарастанием скорости от нуля к середине хода толкателя и таким же плавным ее снижением к концу хода.

Рис.4.21. Улитка Паскаляρ =1+cos2ϕ, ρ =1+cos4ϕ

141

В названии этой замечательной кривой 4-го порядка увековечено имя Этьена Паскаля (1588-1651) − отца Блеза Паскаля. Отметим некоторые интересные исторические сведения из жизни его семьи. Рано овдовев, Этьен Паскаль посвящает себя главным образом воспитанию своих детей. Этьен Паскаль тщательно продумывает систему воспитания детей. На первых порах он решительно исключает математику из числа предметов, которым обучает сына Блеза: отец боялся, что увлеченность математикой помешает гармоничному развитию, а неизбежные напряженные размышления повредят слабому здоровью сына. Однако 12-летний мальчик, узнав о существовании таинственной геометрии, которой занимался отец, уговорил его рассказать немного о запретной науке. Полученных сведений оказалось достаточно для того, чтобы начать увлекательную "игру в геометрию", доказывать теорему за теоремой. В этой игре участвовали "монетки" - круги, "треуголки" - треугольники, "столы" - прямоугольники, "палочки" - отрезки. Мальчик был застигнут отцом в тот момент когда он обнаружил, что углы треуголки составляют столько же, сколько два угла стола. Следует отметить, что Б.Паскаль является одним из основоположников проективной геометрии( основные утверждения этой геометрии используются в инженерной графике).

Приведем схему построения улитки Паскаля. Она представлена на рис.4.22.

Рис.4.22. Схема построения Улитки Паскаля

142