Для обратных тригонометрических функций при всех допустимых значениях аргумента x справедливы следующие тождества:
arcsin x + arccos x = π2 , если x ≤1;
sin(arcsin x)= x , если −1≤ x ≤1; cos(arccos)= x , если −1≤ x ≤1;
arcsin(sin x)= x , при x ≤ π2 ; arccos(cos x)= x , при 0 ≤ x ≤ π; arctg x + arcctg x = π2 ;
tg(arctg x)= x , x R ; ctg(arcctg x)= x , x R ;
arctg(tg x)= x , если x < π2 ; arcctg(ctg x)= x , если 0 < x < π.
3.3.7. Гиперболические функции, обратные гиперболические функции
Гиперболический синус является функцией, которая задаётся аналитическим выражением y = sh x = ex −2e−x , в котором D(y)= R и E(y)= R .
Функция y = sh x нечётная, |
монотонно |
возрастающая от −∞ до + ∞ . При этом |
sh x = 0 при x = 0 , sh x < 0 |
при x < 0 |
, sh x > 0 при x > 0 . График функции |
(см. рис. 3.39) центрально симметричен относительно начала координат. Точка (0, 0) является точкой перегиба кривой.
Гиперболический косинус определяется посредством |
формулы |
||||
y = ch x = |
ex + e−x |
, в которой |
D(y)= R и |
E(y)= [1, + ∞). Функция |
y = ch x |
|
|||||
2 |
|
|
|
|
|
121
чётная. Она в промежутке (− ∞, 0] монотонно убывает от + ∞ до 1, а при x [0, + ∞) монотонно возрастает от 1 до + ∞ . Кроме этого ch x > 0 для любых x (− ∞, + ∞). График функции симметричен относительно оси OY (рис. 3.40).
y
y = sh x
0 |
x |
Рис. 3.39. График функции y = shx
y
y = ch x
1
0 |
x |
|
|
|
Рис. 3.40. График функции y = chx |
|
|
||
Гиперболический |
|
тангенс |
задаётся |
следующим |
образом: |
||
y = th x = sh x |
= ex − e−x |
, |
где D(y)= R |
и E(y)= (−1,1). |
Функция |
y = th x |
|
ch x |
ex + e−x |
|
|
|
|
|
|
нечётная, возрастает |
|
на D(y) и |
th 0 = 0 . |
Прямые |
y = ±1 |
являются |
|
горизонтальными асимптотами графика функции (см. рис. 3.41). |
|
||||||
122
Гиперболический котангенс определяется с помощью таких
соотношений: |
y = cth x = |
ch x |
= |
ex + e−x |
, |
D(y)= R \ {0}, |
E(y)= R \ [−1,1]. |
|
sh x |
ex − e−x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
Функция y = cth x нечётная, убывает на промежутках (− ∞, 0) и (0, + ∞). При этом y < −1 при x < 0 и y >1 при x > 0 . Прямые y = ±1, x = 0 – асимптоты
графика функции (см. рис. 3.42).
y
0 |
x |
Рис. 3.41 График функции y = thx
y
1
0 |
x |
−1
Рис. 3.42. График функции y = cthx
123
Перейдём к определению обратных гиперболических функций. |
|
||
Обратной функцией к гиперболическому |
синусу является |
функция |
|
y = arsh x (ареа – синус), |
для которой D(y)= R , |
E(y)= R . Функция |
y = arsh x |
нечётная и возрастает на |
D(y). Она определяется как функция, для которой |
||
значение функции y связано со значением её аргумента y равенством x = sh y .
Используя это равенство, определение гиперболического синуса и неравенства
e± y > 0 (y – |
любое |
конечное |
вещественное число), можно доказать, |
что |
y = arsh x = ln(x + x2 |
+1). График этой функции изображён на рис. 3.43. |
|
||
Для функции |
y = arch x |
(ареа – косинус) имеют место отношения |
||
D(y)= [1, + ∞), |
E(y)= [0, + ∞). |
Данная функция возрастает на D(y). |
Она |
|
определяется как функция, для которой значение функции y связано со
значением её |
аргумента x равенством x = ch y . По |
сути |
посредством |
использования |
этого равенства и определения функций |
ch y |
и e± y можно |
показать, что имеет место равенство y = ln(x + 
x2 −1)= arch x .
График функции y = arch x изображён на рис. 3.44
y
y = arsh x
0 |
x |
Рис. 3.43. График функции y = arshx
124
y
y = arch x
0 |
1 |
x |
Рис. 3.44. График функции y = archx
Функция y = arth x (ареа – тангенс) характеризуется отношениями
D(y)= (−1,1), E(y)= R . Эта функция нечётная, возрастает на D(y). При этом y = 0 при x = 0 , y < 0 при x < 0 , y > 0 при x > 0 . Данная функция определяется
как функция для которой её значение y связано со значением аргумента x
равенством |
x = th y . Из этого равенства следует справедливость формулы |
|||||
y = |
1 |
ln |
1 + x |
= arth x . График функции y = arth x изображён на рис. 3.45. |
||
|
1 − x |
|||||
2 |
|
|
|
|
||
|
|
Функция |
y = arcth x (ареа – котангенс) |
в свою очередь характеризуется |
||
отношениями |
D(y)= R \ [−1,1], E(y)= R \ {0}. |
Эта функция является нечётной, |
||||
убывает на промежутках (− ∞, −1) и (1, + ∞). При этом y < 0 при x < −1, y > 0
при x >1. Функция y = arcth x определяется как функция, для которой её
значение y и её аргумент x связаны равенством x = cth y . Из данного равенства
следует |
истинность |
такого аналитического представления этой функции: |
|||||
y = |
1 |
ln |
x +1 |
|
= arcth x |
. График функции y = arcth x изображён на рис. 3.46. |
|
2 |
x −1 |
||||||
|
|
|
|
||||
125
y
−1 |
0 |
1 |
x |
Рис. 3.45. График функции y = arthx
y
–1 |
0 |
1 |
x |
Рис. 3.46. График функции y = arcthx
126