При α < 0 для функции y = xα верны равенства: D(y)= (0,∞),
E(y)= (0,∞). Эта функция убывающая и знакоположительная. График данной функции имеет вид, изображенный на рис. 3.25 в.
y |
|
y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
y = xα , |
|
y = xα , 0 < α <1 |
|
y = xα , |
|
α < 0 |
|
|
|
α >1 |
|
|
O |
x |
O |
x |
O |
x |
а |
|
|
б |
|
в |
Рис. 3.25. Графики функций y = xα , α – иррациональное число:
а – 0 < α <1; б – α >1; в – α < 0
Важно подчеркнуть, что всюду выше в случаях, когда степенная функция многозначная, рассматривались только их главные ветви.
3.3.5. Показательная и логарифмическая функции. Преобразование показательных и логарифмических выражений
3.3.5.1. Показательной функцией называется функция, заданная формулой y = ax , где a – некоторое положительное число, не равное единице, x −независимая переменная. Данная функция обладает следующими свойствами:
1)D(y)= R −область определения функции;
2)E(y)= (0,+∞)– область значений функции;
3)функция является непериодической;
4)ax > 0 для всех x R , причем при x = 0 a0 =1;
102
|
5) при a >1 функция возрастает от 0 до (+ ∞) (значения, равного нулю, |
|
она не принимает) для всех x R ; если x > 0 , то ax >1, если же |
x < 0 , то |
|
0 < ax |
<1; при 0 < a <1 функция убывает от (+ ∞) до 0, не достигая 0, для всех |
|
конечных x R ; если же x > 0 , то 0 < ax <1, если x < 0 , то ax >1; |
|
|
|
6) функция не имеет минимумов и максимумов (экстремумов). |
|
|
Частным случаем показательной функции является функция |
y = ex , где |
число |
e = 2,718281828… имеет смысл основания натуральных логарифмов |
|
(см. ниже). |
|
|
|
Графики функции y = ax изображены на рис. 3.26 а, б. |
|
y |
|
|
|
y |
|
|
|
a >1 |
|
|
|
|
0 < a <1 |
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
1 |
x |
|
O |
1 |
x |
|
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б |
|
|
||
|
Рис. 3.26. Графики функции y = ax : |
|
|
|
|
||
|
|
а – a >1; б – 0 < a <1 |
|
|
|
|
|
3.3.5.2. Логарифмом |
loga b числа b по основанию |
a , |
где a > 0, a ≠1, |
||||
b > 0 называется показатель степени, |
в которую надо возвести основание |
a , |
|||||
чтобы получить число b . |
|
|
|
|
|
|
|
Имеет место основное логарифмическое тождество: |
|
|
|
|
|||
|
|
aloga b = b , где a > 0, a ≠1,b > 0 . |
|
|
|
|
|
Это тождество |
равносильно |
равенствам ac = b |
и |
loga b = c, |
где |
||
a > 0, a ≠1,b > 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
103
Логарифм lgb = log10 b числа b по основанию 10 называют десятичным.
Логарифм по основанию e называют натуральным и обозначают lnb , т.е.
loge b = ln b . |
|
Логарифмы |
обладают следующими свойствами (при условии, что |
a > 0, a ≠1,b > 0 , c > 0): |
|
loga 1 = 0 ; |
loga a =1; |
loga (b c)= loga b + loga c;
loga bc = loga b − loga c;
log |
|
b p = p log |
|
b; |
log |
p b = |
1 |
log |
|
b; |
|
|
|
||||
a |
a |
|
a |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
p |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
logan bm = m loga b; |
alogb c = clogb a , b ≠1; c ≠1; |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
loga |
b = |
logc b |
|
, c ≠1; |
loga |
b = |
1 |
|
, b ≠1. |
|
|
|
|||||
logc a |
logb a |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3.3.5.3. Логарифмической функцией называется функция, заданная |
|||||||||||||||||
формулой |
y = loga |
x , где |
a − некоторое положительное |
число, |
не |
равное |
|||||||||||
единице, x − независимая переменная. |
|
|
|
|
|
||||||||||||
Логарифмическая и |
показательная |
|
функции при |
одном |
и |
том же |
|||||||||||
основании являются взаимно обратными.
При преобразовании выражений, содержащих логарифмические функции, используются такие соотношения:
loga (f (x) g(x))= loga f (x) + loga g(x),
loga gf ((xx))= loga f (x) − loga g(x),
104
loga (f (x))2k = 2k loga f (x) ,
где a > 0, a ≠1, f (x) g(x)> 0, k Z.
Имеют место следующие свойства логарифмических функций:
1) |
D( y) = (0,+∞); |
2) E( y) = R ; |
|
|
3) логарифмическая |
функция |
является |
функцией общего вида, |
|
непериодическая; |
|
|
|
|
4) |
число x =1 является нулем функции; при a >1 loga x > 0 для всех x >1 |
|||
и loga x < 0 для 0 < x <1; |
при 0 < a <1 |
loga x > 0 |
для 0 < x <1 и loga x < 0 для |
|
x >1;
5)при a >1 логарифмическая функция возрастает от (− ∞) до (+ ∞) для всех x > 0 ; при 0 < a <1 эта функция убывает от (+ ∞) до (− ∞) для всех x < 0 ;
6)данная функция не имеет экстремумов.
Важным частным случаем логарифмической функции является функция y = ln x .
Графики функции y = loga x изображены на рис. 3.27 а, б.
y |
a >1 |
y |
< a <1 |
|
0 |
||
|
|
1 |
|
1 |
|
O 1 |
x |
O 1 |
x |
а |
|
б |
|
Рис. 3.27. Графики функции y = loga x :
а – a >1; б – 0 < a <1
105