3.3.4. Степенная функция

Степенной

функцией

называется

функция y = xα ,

где α–

любое

действительное

число. Если

α– число

рациональное,

то

функция

y = xα

называется алгебраической, если же α– иррациональное,

то функция

y = xα

называется трансцендентной.

Рассмотрим наиболее часто встречающиеся ситуации:

3.3.4.1. Пусть

α = 2n, n N, y = x2n ,

тогда D(y)= R; E(y)= [0,+∞); y = 0

при x = 0. Функция

y = x2n – четная, она на промежутке (− ∞,0) убывает, а на

y = 0 при x = 0. Функция

y = x2n+1 – нечетная, возрастает на R от − ∞ до +∞.

График этой функции – парабола порядка 2n +1 (см. рис. 3.18 б).

y

y

y = x2n+1 , n N

y = x2n ,

n N

O

x

O

x

а

б

3.3.4.3. Пусть α = −2n , n N , y =

1

. Тогда D(y)= R \ {0}, E(y)= (0,+∞).

x2n

Данная

функция знакоположительная,

четная, возрастает на промежутке

(− ∞,0)

и убывает на промежутке(0,+∞). Ось OX является горизонтальной, а

3.3.4.4.

Пусть

α = −2n +1,

n N , y =

1

.

Тогда

x2n−1

D(y)= R \ {0}, E(y)= R \ {0}. При

x < 0 эта функция принимает отрицательные

8, 18, 20]). График функции y =

1

имеет вид, приведенный на рис. 3.19 б.

x2n−1

Частный случай

y =

1

, соответствующий значению n =1, будет рассмотрен

x

выше.

y

y

O

x

O

x

а

б

Рис. 3.19. Графики функций: а – y =

1

, n N ; б – y =

1

, n N

x2n

x2n−1

3.3.4.5. Пусть

α = r –

рациональное число.

Если

r =

1

, где

n N , то

2n

y = 2n x . Тогда

D(y)= [0,+∞), E(y)= [0,+∞)

и

y = 0

при

x = 0 .

Функция

возрастает при

всех

x ≥ 0 .

График функции

y = 2n x

получается как график

n N , то y = 2n+1 x . Тогда D(y)= R,

E(y)= R , y = 0 при x = 0 , y < 0 при x < 0 и

y > 0 при

x > 0 . Такая функция нечетная,

возрастает при всех

x R . График

функции

y = 2n+1 x получается как

график

обратной функции,

симметричный

O

x

O

x

а

б

График функции y = q

x p

зависит от чисел

p и q . Если p – четное, q –

нечетное, то функция

y = q

x p определена на

R , является неотрицательной и

а

б

p

Рис. 3.21. Графики функций y = x

q

,

p – четное, q – нечетное:

Если p и q – нечетные числа, то функция y = q

x p определена при x R ,

E(y)= R ; y = 0 при x = 0 ,

y < 0 при x < 0 , y > 0

при x > 0 .

Функция y –

нечетная, возрастающая при всех x.

График функции имеет вид, приведенный на рис. 3.22 а, б.

y

y

y = x

p

,

p

>1

q

y = x

p

p

q

q

, 0 <

<1

q

O

x

O

x

а

б

p

Рис. 3.22. Графики функций y = x

q

,

p и q – нечетные:

p

1

Если p – нечетное число, q – четное, то функция y = x q = (x p )

= q x p

q

y

p

p

y

p

p

y = x

q

y = x

q

, 0 <

<1

,

>1

q

q

O

x

O

x

а

б

p

Рис. 3.23. Графики функций y = x

q

,

p – нечетное, q – четное:

а –

0 <

p

<1

; б –

p

>1

q

q

В

частности,

при

p

=

3

имеем

y = x32 (или y2

= x3 ) –

ветвь

2

q

полукубической параболы.

3.3.4.7. Пусть r = −

p

, где p и q – натуральные и взаимно простые числа.

q

Тогда

y = x− p q =

1

=

1

.

Если

p –

четное,

q –

нечетное,

то

p

x q

q

x p

D(y)= (− ∞,0) (0,+∞).

При этом

функция

y – четная,

знакоположительная,

Если p и

q – нечетные

числа,

то D(y)= (− ∞,0) (0,+∞),

E(y)= (− ∞,0) (0,+∞),

y < 0 при x < 0 ,

y > 0 при

x > 0 . Функция y – нечетная,

y

y

y

O

x

O

x

O

x

а

б

в

3.24. Графики функций y =

1

:

q x p

а –

p – четное, q – нечетное; б –

p

и q – нечетные;

lim x

p

= xα , к которому стремится

подробно

разъяснен в

[4])

q

p

→α

q

x

p

последовательность

чисел

q

,

когда

последовательность рациональных

степеней

p

стремится к числу α .

q

Функция y = xα

при α > 0 определена для любых x ≥ 0 ; y = 0 , если x = 0 ;