Нормирование точности и технические измерения

3, Расчет оценки CEO результатов наблюдений:

4. Проверка гипотезы о сходимости эмпирического и тео­ ретического распределений по критериям согласия.

При п > 50 для проверки принадлежности распределения к нормальному предпочтительно использование критериев П ир­ сона х2 или Мизеса-Смирнова со2. При 50 > я > 15 для провер­ ки принадлежности распределения к нормальному предпоч­ тительным является составной критерий (принятое условное обозначение W).

Проверки по критериям согласия проводят при уровнях значимости q от 10% до 2% . П ринятые значения уровней зна­ чимости приводят в описании методики выполнения измере­ ний или обработки результатов измерений.

При я < 15 проверку принадлежности распределения к нор­ мальному не проводят, а качественную оценку формируют на основе априорной информации о виде (законе) распределения случайной величины, что позволяет затем перейти к соответ­ ствующей количественной оценке.

5. Статистическая проверка наличия результатов с грубыми погрешностями.

При нормальном распределении погрешностей можно при­ менять упрощенную процедуру отбраковывания экстремаль­ ных отклонений, например, по критерию 3S:

K r \ > z s . ■

Соблюдение неравенства позволяет утверждать, что прове­ ряемый результат содержит грубую погрешность и должен ис­ ключаться из рассмотрения. Если отбракован хотя бы один ре­ зультат с грубой погрешностью обработка повторяется с п. 1.

6. Расчет оценки среднего квадратического отклонения ре­ зультата измерения (оценки СКО среднего арифметического значения):

S_ = S / 4 n .

7. Расчет значения границы погрешности результата изм е­ рения А (по модулю):

Д = t s t ,

71

где t - коэффициент Стьюдента, зависящ ий от числа резуль­ татов наблюдений п и принятой доверительной вероятности Р; Р - доверительная вероятность.

Обычно принимаю т доверительную вероятность Р = 0,95 или (в особых случаях) 0,99 и выше. Особые случаи - те, в которых результаты измерений связаны со здоровьем и без­ опасностью ж изни людей, с возможными значительными эко­ номическими потерями и т.д.

8. Запись результата измерения А в установленной форме:

Q = x ± A ; P ,

где х - точечная оценка результата измерений, рассчитанная как среднее арифметическое значение для всей серии наблю ­ дений.

В случае наличия значимых неисключенных систематиче­ ских составляю щ их погрешности значения границ погрешно­ сти результата измерения определяют в соответствии с требо­ ваниям и ГОСТ 8 .207 -76 .

Статистическая обработка результ ат ов косвенных измерений

Порядок статистической обработки результатов косвенных измерений можно представить следующим образом:

1.Статистическая обработка результатов прям ы х измере­ ний и нахождение х. и SL.

2.Расчет искомого значения ФВ (точечной оценки резуль­ тата косвенных измерений)

Q= /(ж ,, х 2,... ,х п).

3.Определение оценки каж дой частной погрешности с уче­ том ее весового коэффициента

Ext = k,S„,

где kt = df / д х ..

4. Определение оценки погрешности (среднего квадратиче­ ского отклонения) результата косвенного измерения. Оценку погрешности результата косвенного измерения рассчитывают с учетом весовых коэффициентов частных погрешностей. При значимой стохастической связи оценка среднего квадратиче­ ского отклонения (оценка погрешности косвенного измере­ ния) рассчитывается с учетом коэффициента корреляции R.. (определяют традиционными статистическими расчетами)

72

При практическом отсутствии корреляции между величи­ нами, получаемыми в результате прямы х измерений

5. Определение значения коэффициента Стьюдента t в зав симости от выбранной доверительной вероятности Р и запись результата косвенного измерения в установленной форме

Q —Q -Ь

Р = 0,...

Результаты прямых и косвенных измерений должны от­ вечать требованиям обеспечения единства измерений, т.е» в описании результата следует использовать узаконенные еди­ ницы физических величин и указы вать оценки погрешностей. Информацию о единицах физических величин можно найти в нормативной документации, специальной и справочной лите­ ратуре.

Стандартное определение единства измерений требует, что­ бы погрешности были известны с заданной вероятностью, из чего следует:

-в описание результата входят только стохастически пред­ ставляемые погрешности, значит, систематические составля­ ющие по возможности должны быть исключены;

-- неисключенные остатки систематической составляющей погрешности измерения могут входить в описание результата измерений как рандомизированные величины , значения ко ­ торых соизмеримы со случайной составляющей погрешности измерения;

-если неисключенные остатки систематической составля­ ющей погрешности измерения существенно меньше случай­ ной составляющей, ими пренебрегают, но возможна (хотя и нежелательна) обратная ситуация, когда собственно случай­ ная составляю щ ая оказывается пренебрежимо малой по срав­ нению с неисключенной систематической составляющей.

Ф ормы предст авления результ ат ов измерений

Форма представления результата измерения обычно пред­ полагает наличие:

73

-точечной оценки результата измерения;

-характеристики погрешности результата измерения (или

еестатистической оценки);

-указания условий измерений, для которых действитель­

ны приведенные оценки результата и погрешностей. Условия указы ваю тся непосредственно или путем ссылки на доку­ мент, удостоверяю щ ий приведенные характеристики погреш ­ ностей.

В качестве точечной оценки результата измерения при из­ мерении с многократными наблюдениями принимают среднее арифметическое значение результатов рассматриваемой серии.

Характеристики погрешности измерений можно указывать

вединицах измеряемой величины (абсолютные погрешности) или в относительных единицах (относительные погрешности).

При указании границы интервала погрешности измерений рекомендуемое значение вероятности Р = 0,95.

Требования к оформлению результата измерений:

- наименьш ие разряды должны быть одинаковы у точеч­ ной оценки результата и у характеристик погрешностей;

- характеристики погрешностей (или их статистические оценки) вы раж аю т числом, содержащим не более двух знача­ щ их цифр, при этом для статистических оценок цифра второ­ го разряда округляется в большую сторону, если последующая цифра неуказываемого младшего разряда больше нуля;

- допускается характеристики погрешностей (или их ста­ тистические оценки) вы раж ать числом, содержащим одну значащ ую цифру, при этом для статистических оценок второй разряд (неуказы ваемы й младш ий) округляется в большую сторону при отбрасывании цифры младшего разряда равной или больше 5 и в меньшую сторону при цифре меньше 5.

Пример простейш ей формы представления результатов и з­

мерений:

(8,334 ± 0 ,0 1 2 ) г; Р = 0,95.

2.4.Неопределенность измерений и ее отражение

вописании результатов

Понятие «неопределенность», как наименование количест­ венно оцениваемого свойства измерения, является относитель­ но новым в метрологии. Термин «неопределенность» введен «Руководством по предоставлению неопределенности измере­

74

ний» (далее «Руководство»), поскольку «погрешность» - иде­ ализированное понятие, и не может быть известна точно.

Неопределенность (измерения) - это параметр, связанный с результатом измерения, характеризую щ ий дисперсию значе­ ний, которые могли быть обоснованно приписаны измеряемой величине.

Руководство устанавливает общие правила оценивания и вы раж ения неопределенности измерения, которые следует со­ блюдать при любых уровнях точности в ш ироком спектре и з­ мерений, вклю чая:

-измерения для обеспечения контроля качества и поддер­

жания заданного уровня качества в процессе производства;

-измерения в ходе фундаментальных и прикладны х иссле­ дований;

-измерения калибровочных мер;

-измерения с целью обеспечения единства измерений в стране;

-измерения для разработки, поддерж ания и сличения международных и национальных эталонов единиц физиче­

ских величин, вклю чая стандартные образцы свойств веществ

иматериалов.

Коцениванию неопределенности следует приступать толь­ ко после исключения результатов с грубыми погрешностями и исправления результатов измерений (исключения системати­ ческих составляющих погрешностей). Такой подход позволяет обоснованно применять математический аппарат теории веро­ ятностей и математической статистики к «исправленным ре­ зультатам измерений.

Неопределенность измерения в некоторых информацион­ ных источниках трактуется как мера возможной погрешности оцененного значения измеряемой величины, либо как оцен­

ка, характеризую щ ая диапазон значений, в пределах которо­ го находится истинное значение измеряемой величины . Под неопределенностью измерений ф актически подразумевают то, что результат измерений фиксируется интервалом значений, а не конкретной точкой на числовой оси физической вели­ чины, при этом координата истинного значения остается не­ известной (неопределенной). В более ш ироком смысле можно говорить такж е и о неопределенности «закона распределения» результатов многократных наблюдений при измерении кон­ кретной физической величины . Графическое отображение не­ определенности представлено на рис. 2.8.

75

р

Р ис. 2.8, Графическая интерпретация неопределенности измерений при нормальном распределении

случайной погрешности

На рисунке отраж ены качественная оценка неопределенно­ сти (нормальное распределение), а такж е ее количественные оценки (расш иренная неопределенность ки при выбранной до­ верительной вероятности Р).

В Руководстве использую тся следующие термины и опреде­ ления:

С тандартная неопределенность - неопределенность резуль­ тата изм ерения, вы раж енная как стандартное отклонение.

Оценка (неопределенности) по типу А - метод оценивания неопределенности путем статистического анализа рядов на­ блюдений.

Оценка (неопределенности) по типу В - метод оценивания неопределенности иным способом, чем статистический анализ рядов наблю дений.

Сум м арная стандартная неопределенность - стандартная неопределенность результата измерения, когда результат по­ лучаю т из значений ряда других величин, равная полож и­ тельному квадратному корню суммы членов, причем члены являю тся дисперсиями или ковариациям и этих других вели­ чин, взвеш енны ми в соответствии с тем, как результат изме­ рения изм еняется в зависимости от изменения этих величин.

Расш иренная неопределенность - величина, определя­ ю щ ая интервал вокруг результата измерения, в пределах ко ­ торого можно ож идать, находится больш ая часть распределе­ ния значений, которые с достаточным основанием могли быть приписаны измеряемой величине.

Коэффициент охвата - числовой коэффициент, использу­ емый как множ итель суммарной стандартной неопределен-

76

ности для получения расш иренной неопределенности. При нормальном распределении обычно применяют значения коэф ­ фициента охвата k, называемого такж е «коэффициент покры ­ тия» в диапазоне от 2 до 3.

У становление связи между выбранным уровнем доверия и ин ­ тервалом, характеризую щ им расширенную неопределенность, требует явны х и неявны х предположений относительно зако­ на распределения вероятностей.

К лассификация методов оценивания неопределенности на тип А и тип В представляет два различны х способа получе­ ния оценки составляющ их неопределенности. Оба типа осно­ ваны на вероятностном оценивании распределений случайных величин, а составляющие неопределенности при любом типе оценивания количественно представляют как оценки дис­ персией или стандартных отклонений. Различия двух типов оценивания заклю чаю тся в методе получении оценки: прямое получение оценки путем статистического анализа рядов н а­ блюдений (оценивание неопределенности по типу А) или по­ лучение оценки без непосредственного статистического анали ­ за рядов наблюдений (оценивание неопределенности по типу В). Стандартную неопределенность при оценивании по типу В получают из предполагаемой ф ункции плотности вероятно­ стей, причем используют готовые оценки, полученные в ходе разнообразных метрологических мероприятий.

Наиболее распространенным способом формализации не­ полного знания о распределении величины является по ст ули ­ рование равновероятного распределения возможных значений этой величины в указанны х границах.

Расширенную неопределенность U получают умножением суммарной стандартной неопределенности и, на коэффициент охвата к. Фактически U представляет собой доверительный ин­ тервал, который с выбранной вероятностью накрывает истинное значение измеряемой величины. Коэффициент охвата к зависит от вида приписанного распределения и выбранной доверитель­ ной вероятности.

По определению суммарная стандартная неопределенность измерения, представляет собой оценку среднего квадратиче­ ского отклонения результата косвенных измерений, посколь­ ку результат измерения получают из значений ряда других величин. Суммарную стандартную неопределенность при этом рассчитывают как значение квадратного корня из суммы дис­

77

персий (или ковариаций) этих величин с учетом весовых ко­ эффициентов.

Ф актически понятие «суммарная стандартная неопреде­ ленность» следует рассматривать в двух вариантах:

-оценка неопределенности прям ы х измерений, получаемая «суммированием» нескольких составляю щ их, например, вы ­ званны х наличием погрешности применяемого прибора, по­ грешностей всех использованных мер и субъективной погреш ­ ности (при условии отсутствия методической составляющей и проведении измерений в нормальных условиях);

-оценка неопределенности косвенных измерений, получа­ емая «суммированием» составляющих погрешностей результа­ тов прямых измерений, входящ их в функциональную зависи­ мость для расчета результата косвенных измерений.

Значения составляю щ их, входящ их в суммарную неопре­ деленность, могут быть получены путем оценивания как по типу А, так и по типу В, главное требование - под корнем эти составляющ ие долж ны быть представлены оценками соответ­ ствующих дисперсий.

Вычисление ст андарт ной неопределенности ( иА) по т ипу А

Исходными данными для вы числения являю тся результа­ ты многократны х измерений:

(і = 1

где п. - число измерений і-й входной величины. Стандартную неопределенность единичного измерения і-й

входной величины вычисляю т по формуле:

где х. = — J2 xig - среднее арифметическое результатов изм е­ П. 9=1

рений і-й входной величины .

Стандартную неопределенность измерений і-й входной величины, при которых результат определяют как среднее арифметическое, вы числяю т по формуле:

78

В ы чи слен и е ст анд арт ной неопределенност и (и в) по т и п у В

Исходными данными для вы числения является следующая информация:

- данные предшествовавших измерений величин, входя­ щ их в уравнение измерения; сведения о виде распределения вероятностей;

-данные, основанные на опыте исследователя или общих знаниях о поведении и свойствах соответствующих приборов

иматериалов;

-неопределенности констант и справочных данных;

-данные поверки, калибровки, сведения изготовителя о приборе и др.

Неопределенности этих данных обычно представляют в виде границ отклонения значений величины от ее точечной оценки. При неполном знании о неопределенности некоторой і-й входной величины обычно постулируют равновероятное распределение возможных значений этой величины в указан ­ ных (нижней и верхней) границах ]. При этом стан­ дартную неопределенность, вычисляемую по типу В, опреде­ ляю т по формуле:

- Ь;

а для симметричных границ (± Ь.) -

uB{xl) = bi />}3.

В случае других законов распределения формулы для вы ­ числения неопределенности по типу В будут иными.

Для вычисления коэффициента корреляции используют согласованные пары результатов измерений (хи, х ) (1=1,.

где п.. - число согласованных результатов измерений:

t { x u ~ x i)(x ii - * i)

2

где х., х. - результаты прям ы х измерений, х., х .~ средние зна­ чения результатов прямых измерений.

79

В ы чи слен и е сум м а р н о й ст андарт ной

неопределенности ( u j

В случае некоррелированных результатов измерений хг,..., х т оценку дисперсии суммарной стандартной неопределенности вы­ числяют по формуле:

дх{

df

где — - весовой коэффициент і-ой стандартной неопре­ деленности, и2(х.) - і-ая стандартная неопределенность.

В случае коррелированных результатов измерений хг,..., х т оценку дисперсии суммарной стандартной неопределенности вычисляю т по формуле:

где г(х., х.) - коэффициент корреляции; и (х .) - стандартная неопределенность входной величины i, вычисленная по типу А или по типу В.

В ы бор коэф ф ициент а охват а k п р и вы ч и слен и и

ра сш и р ен н о й неопределенност и

Вобщем случае коэффициент охвата выбирают в соответ­ ствии с формулой:

k —t-pVeff

где t (veff) ~~ квантиль распределения Стьюдента с эффектив­ ным числом степеней свободы v и доверительной вероятно­ стью (уровнем доверия) р.

Число степеней свободы определяют по формуле:

где у. - число степеней свободы при определении оценки i-й входной величины: v. = п. - 1 ~ для вы числения неопределен­ ностей по типу А; V. =со - для вычисления неопределенностей по типу В.

80