Нормирование точности и технические измерения

Погрешности, изменяю щ иеся по сложному закону, образуют­ ся при объединении нескольких систематических погреш но­ стей.

Рис. 2.5. Виды простейших систематических погрешностей:

а - постоянные; б, в - прогрессирующие (линейная и нелинейная); г, д - прогрессирующие нелинейные (предложены варианты аппрокси­

мации прямыми линиями); е - периодические (гармонические)

Обычно для аппроксимации систематической погрешности подбирают наиболее простую функцию, например, линейную для прогрессирующей погрешности. Такой же упрощ енный подход применяю т и для аппроксимации гармонической си­ стематической погрешности, которая может быть описана как синусоида, косинусоида, пилообразная либо другая периоди­ ческая функция.

Систематическая погрешность может иметь не только эле­ ментарный, но и более сложный характер, который можно ап­ проксимировать функцией, включающей приведенные простые составляющие. Сложная систематическая погрешность, вклю ­ чающая постоянную, прогрессирующую и периодическую со­ ставляющие, в общем виде может быть описана выражением

As = а 4- Ъ\\1 + dsішр,

где а - постоянная составляющ ая сложной систематической погрешности; ф, \|/ - соответственно аргументы прогрессиру­ ющей и периодической составляющ их сложной систематиче­ ской погрешности.

Стандартное определение случайной погрешности измере­ ния имеет следующий вид: составляю щ ая погрешности ре­

61

зультата изм ерения, изм еняю щ аяся случайным образом (по знаку и значению) при повторных измерениях одной и той же физической величины .

Случайными погрешностями в строгом смысле термина можно считать только те, которые обладают статистической устойчивостью (ведут себя как центрированная случайная ве­ личина). Причиной появления таких погрешностей чаще все­ го является совокупное действие ряда слабо влияю щ их деста­ билизирую щ их факторов, связанны х с любыми источниками погрешностей, каж ды й из которых не имеет доминирующего влияния. При этом функциональные связи аргументов с по­ греш ностями либо отсутствуют (в наличии только стохасти­ ческие зависимости), либо не могут быть вы явлены из-за не­ определенности факторов и большого их числа.

Погрешности, которые нельзя отнести ни к случайным, ни к систематическим из-за совершенно иного механизма образо­ вания и принципиально отличного значения, называю т грубы­

ми погрешностями измерений или промахами.

П ром ах - погрешность результата отдельного измерения, входящ его в ряд измерений, которая для данных условий рез­ ко отличается от остальных результатов этого ряда.

«Результат измерения с грубой погреш ностью» фактически вызван ошибкой, допущенной при измерении, поэтому его следует признать ошибочным и подлеж ащ им устранению.

И склю чение результатов может осущ ествляться либо цен­ зурированием явно нелепых значений, либо статистическим отбраковыванием отдельных экстремальных значений, кото­ рое основано на принципе практической уверенности. Приме­ нение этого принципа позволяет отбрасывать те значения, ве­ роятность появления которых в исследуемом массиве данных меньше некоторого заранее выбранного значения.

По значимости все погрешности (составляющие и инте­ гральные) можно разделить на значимые и пренебрежимо малые. К пренебрежимо малым составляющим относят по­ греш ности, которые значительно меньше доминирую щ их со­ ставляю щ их . Ф ормальное соотношение между пренебрежимо малой Д т .п и доминирую щ ей Д гаах составляющ ими можно за­ писать в виде:

^тіп ^тах'

Пренебрежимо малой интегральной погрешностью измере­ ния можно считать такую , которая не является препятствием

62

для замены истинного значения физической величины полу­ ченным результатом. За действительное значение измеряемой величины принимают такое значение, которое получено экс­ периментально (в результате измерений) и настолько близко к истинному, что для данной задачи измерений может заменить истинное ввиду несущественности различия между ними, что можно записать как:

х дв - Q-

где Х дЯ - действительное значение физической величины; Q - истинное значение физической величины .

Если различие между истинным значением величины Q и результатом ее измерения Х дЯ мы считаем пренебрежимо м а­ лым, то можно записать

где ЛдЯ - погрешность измерения действительного значения величины.

Установление действительного значения измеряемой ф изи­ ческой величины должно предваряться выбором допустимой погрешности измерений, которая и будет представлять собой

предел пренебрежимо малого значения погрешности результа­ та измерений.

В зависимости от реж има измерения погрешности приня­ то делить на статические и динамические. Статическая по­ грешность измерений - погрешность результата измерений, свойственная условиям статического измерения. Динамиче­ ская погрешность измерений - погрешность результата изм е­ рений, свойственная условиям динамического измерения. По существу динамической погрешностью измерений является составляющая погрешности, дополнительная к статической, и возникающая при измерении в динамическом режиме:

д дин - д д.р - д ст .р 1,

где Ддип - динамическая погрешность средства измерения; Дд р - погрешность средства измерения при использовании его в ди­ намическом режиме; Д стр _ статическая погрешность средства измерения (погрешность при использовании средства измере­ ний в статическом режиме).

Динамический реж им измерений встречается не только при измерении изменяю щ ейся величины, но и при измерении величины постоянной. И в том и в другом случаях (рис. 2.6)

63

мерительной информации на входе средства измерений), ко­ торая оказы вается соизмеримой со скоростью преобразования измерительной информации VQ^X и /и ли даже выше ее.

Рис. 2.6. Механизм возникновения динамических погрешностей: VQ > VQ_^х

Н апример, из-за необходимости обеспечить высокую произ­ водительность работы контрольно-сортировочных автоматов подш ипниковых заводов, скорость изменения входного сиг­ нала измерительной информации может оказаться выше ско­ рости преобразования измерительной информации средством измерения. И з-за «запазды вания» с преобразованием сигнала возникаю т динамические погрешности (рис. 2.7).

Puc. 2.7. Несоответствие во времени выходного сигнала X входному сигналу Q (преобразование с запаздыванием, преобразование

с запаздыванием и инерционным «перебегом» сигнала)

Обоснованной представляется следующая укрупненная классиф икация погрешностей измерений по степени полноты информации об их характере и значениях:

-определенные погрешности;

-неопределенные погрешности.

Копределенным можно отнести любые известные по чис­ ловому значению и знаку погреш ности. Извест ны м и могут стать, например, те составляющ ие погрешности измерений, которые имеют достаточно жесткую функциональную связь с вы зываю щ ими их источникам и . Такие погрешности по сути совпадают с систематическими и принципиально могут быть

64

выявлены и исключены из результатов измерений, их зна­ чения можно прогнозировать. Определенной можно считать также любую (в том числе и уже зафиксированную случай­ ную или даже грубую) погрешность, числовое значение и знак которой получены Экспериментальными методами.

Определенные погрешности при достаточной полноте ин ­ формации могут быть исключены из результатов измерений. Теоретическая определенность систематических погреш но­ стей делает возможным исключение этих погрешностей до и з­ мерений, в процессе измерений, а такж е при математической обработке результатов измерительного эксперимента после измерений.

В тех случаях, когда погрешность становится определен­ ной, в результат измерений может быть внесена поправка - значение величины, вводимое в неисправленный результат измерения с целью исклю чения погрешности. Знак поправки противоположен знаку погрешности. Иногда поправки вно­ сят, используя поправочный множитель (например, в слу­ чаях, когда систематическая погрешность пропорциональна значению величины).

Исключение систематических погрешностей измерения не только из отдельных результатов измерений, но и из целых серий, полученных при многократных измерениях одной и той же физической величины, в метрологии принято назы ­ вать исправлением результатов, а полученные при этом ре­ зультаты - исправленными. Статистическая обработка масси­ вов результатов измерений, образующих серии, недопустима без предварительного исправления результатов, т.е. исклю че­ ния результатов воздействия, по крайней мере, переменных систематических составляющих погрешностей.

К н еопределенны м по гр еш но ст ям следует отнести невыявленные систематические, а такж е случайные (собственно случайные) и грубые погрешности, значения которых не были определены экспериментально.

При исключении определенных погрешностей абсолютная точность невозможна, поэтому неисключенные остатки по­ грешностей приходится относить к неопределенным .

Неисключенная систематическая погрешность — состав­ ляющая погрешности результата измерений, обусловленная погрешностями вычисления и введения поправок на влияние систематических погрешностей или систематической погреш ­

65

ностью, поправка на действие которой не введена вследствие

еемалости.

Как и все другие погрешности, неопределенные система­

тические погрешности могут быть либо значимыми, либо пренебрежимо малыми» К значимым неопределенным систе­ матическим погреш ностям относятся те невыявленные систе­ матические погрешности и неиеключенные остатки система­ тических погрешностей, которые соизмеримы со случайными составляю щ ими погрешности измерений.

Н еиеклю ченны е остат ки систематических погрешностей имеют место при любом, даже самом тщательном выявлении и исклю чении систематических составляю щ их. В принципе эти погрешности могут быть вы явлены и исключены (как си­ стематические), однако иногда они остаются невыявленными из-за сложности технического реш ения такой задачи.

Общеприняты классиф икации погрешностей измерений по формам их вы раж ения. Абсолютные погрешности выражают в единицах измеряемой величины, а относительные, кото­ рые представляю т собой отношение абсолютной погрешности А к значению измеряемой величины, могут быть рассчитаны в неименованных относительных единицах (или в именованных относительных единицах, например в процентах). Ф ормаль­ ное вы раж ение относительной погрешности (Аотн) может быть представлено в виде: _

Дотн = & /Q?

апри использовании именованной относительной погрешно­ сти, вы раж енной в процентах

До™ = (д /Q) ■ю о% >

где А - абсолютная погрешность измерения; Q - истинное зна­ чение физической величины .

П ринимая во внимание незначительное для данного вы ра­ ж ения различие меж ду истинным значением физической ве­ личины Q и результатом ее измерения X , можно записать

Д„™ « А /X,

а такж е

Дотв « ( Д /Х ) - 1 0 0% .

Д ля характеристики средств измерений иногда используют такой специфический класс относительных погрешностей, как приведенные погрешности средств измерений (Априв), т.е.

66

отношение абсолютной погрешности к некоторой нормиру­ ющей величине (Q м):

В качестве нормирующей величины может использоваться, например, верхний предел измерений.

Формы оценок погрешностей, используемые в метрологии и в технических измерениях, весьма разнообразны. Они вклю ча­ ют качественные характеристики и количественные оценки погрешностей измерений.

Качественные характ ерист ики погрешностей в простей­ шем случае ограничиваются указанием их детерминирован­ ного или стохастического характера. Для систематических погрешностей дополнительно может быть указана тенденция (постоянная, прогрессирую щ ая, периодическая), а при более полной информации - ф ункция, описываю щ ая изменение по­ грешности.

Д ля случайных погрешностей качественной характерис­ тикой может быть аппроксимация функции распределения вероятностей. В метрологии приняты и наиболее часто при ­ меняются нормальное распределение (распределение Гаусса), равновероятное, трапециевидное и распределение Релея.

Случайная составляющ ая погрешности вызывает рассеяние результатов измерений, которое носит вероятностный харак ­ тер. Рассеяние результат ов в ряду измерений - несовпадение результатов измерений одной и той же величины в ряду рав­ ноточных измерений, как правило, обусловленное действием случайных погрешностей. Количественными оценками рас­ сеяния результатов в ряду измерений могут быть:

-размах результатов измерений;

-среднее арифметическое значение погрешности (по модулю);

-среднее квадратическое значение погрешности или стан­ дартное отклонение результатов измерений (среднее квадра­ тическое отклонение, экспериментальное среднее квадратиче­ ское отклонение);

-доверительные границы погрешности (доверительная гра­

ница или доверительная погрешность).

Размах результат ов измерений - оценка R n рассеяния результатов единичных измерений физической величины, об­ разующих ряд (или выборку из п измерений). Разм ах резуль­ татов измерений R определяют из зависимости

67

тпах 'шіп ?

где х и х . - наибольшее и наименьш ее значения результа-

m m

тов в серии.

Разм ах отклонений R e от среднего или произвольно выбран­ ного значения, который равен размаху результатов измерений - из зависимости

'е — €max —6m in ?

где е ж е , - наибольшее и наименьш ее отклонения резуль-

^m ax mm

татов от некоторого фиксированного значения.

Более представительны ми в математическом смысле оцен­ кам и погреш ностей можно считать среднее арифметическое значение погрешности в серии результатов (х), среднее квад­ ратическое отклонение погрешности от фиксированного зна­ чения результата измерения, границы погрешности.

Средняя квадратическая погрешность результатов единичных измерений в ряду измерений - это оценка рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около среднего их значения.

В метрологической практике широко распространен тер­ мин среднее квадратическое отклонение (СКО) единичных ре­ зультатов в ряду измерений от их среднего арифметического значения S. Это отклонение иногда называют стандартной по­ грешностью измерений. Если в результаты измерений введены поправки для устранения систематических погрешностей, то отклонения от среднего арифметического значения можно рас­ сматривать как случайные погрешности.

Термин средняя квадратическая погрешность результата измерений среднего арифметического $_ (средняя квадратиче­ ская погрешность среднего арифметического; средняя квадра­ тическая погрешность; СКП) введен вместо ранее применявш е­ гося термина среднее квадратическое отклонение результата измерений. Значение этой оценки погрешности рассчитывает­ ся по формуле:

S

где п - число единичных измерений х. в ряду от х г до х п. Границы погреш ности могут быть определены как предель­

ные значения или как доверительные границы с указанием

68

вероятности попадания погрешности в указанны й интервал.

Доверительные границы погрешности результ ат а изме­ рений (доверительные границы погрешности; доверительные границы) - наибольшее и наименьшее значения погрешности измерений, ограничивающие интервал, внутри которого с за­ данной вероятностью находится искомое значение погреш но­ сти результата измерений.

Доверительные границы результата измерений при симме­ тричном распределении вычисляются как ± t S , где S , S- - средние квадратические погрешности, соответственно, единичного и среднего арифметического результатов измере­ ний; t - коэффициент, зависящ ий от доверительной вероят­ ности Р и числа измерений п.

При симметричных границах термин может применяться в единственном числе - доверительная граница. Иногда вместо термина доверительная граница применяю т термин довери­ тельная погрешность или погрешность при данной довери­ тельной вероятности.

2.3. М атематическая обработка и формы представления результатов измерений

А нализ математической обработки результатов измерений позволяет выделить следующие типовые задачи:

-обработка результатов прямы х многократных измерений одной и той же физической величины (серии измерений);

-расчет результатов косвенных измерений физической ве­ личины;

-обработка результатов измерений массива номинально одинаковых величин;

-обработка результатов измерений разны х величин или изменяю щ ейся физической величины .

Для повышения достоверности и представительности ре­ зультатов достаточно часто прибегают к многократным по­ вторениям операции измерений одной и той же физической величины. При этом каж ды й единичный результат называют

наблюдением при измерении, а результ ат измерений полу­ чают как интегральную оценку всего массива наблюдений. Поэтому в метрологии под математической обработкой ре­ зультатов измерений традиционно понимают обработку ре­ зультатов многократных прямых или косвенных измерений

69

одной и той же физической величины» М атематическая обработка вклю чает два принципиально

разны х направления: детерминированную обработку резуль­ татов измерений и статистическую обработку. Детермини­ рованная м атем атическая обработка результатов измерений в обязательном порядке применяется при получении результа­ тов косвенных измерений. Например, для определения плот­ ности некоторого вещ ества измеряю т массу и объем одного и того же образца, в линейно-угловых измерениях часто рассчи­ тывают угол по результатам измерений длин.

С т ат ист ическая обработ ка р езульт а т о в п р я м ы х изм ер ени й

Статистическая обработка результатов измерений рассмот­ рена во многих литературных источниках. Корректное выпол­ нение статистической обработки «исправленных» результатов измерений заклю чается в строгом соблюдении требований дей­ ствующей метрологической нормативной документации (ГОСТ 8 .207 -76, МИ 1317 -86 и др.).

Подготовка массива результатов измерений к статистиче­ ской обработке заклю чается в исправлении результатов изме­ рений. Задача-максимум состоит в исключении из результатов измерений всех систематических составляю щ их, задача м ини­ мум - в исклю чении переменных систематических составляю­ щ их. Следует признать, что любое исключение погрешностей не бывает абсолютным; в результатах могут содержаться невыявленные систематические составляю щ ие, а такж е всегда остаются неиск'люченные остатки систематических погреш­ ностей.

Рассмотрим порядок статистической обработки исправлен­ ны х результатов прям ы х равнорассеянных измерений одной

итой же величины .

1.Расчет среднего арифметического значения (получен точечной оценки результата измерения):

2.Расчет отклонений V. результатов наблюдений от средн го арифметического:

V.— X . — х.

70