Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Этот же интеграл можно вычислить иначе:

dx				dx			1	dx		1	ln	x x2	1	C1.
							3		1	3	ln	x x2	9	C1.
9x	2	1			2	1	3	x2	1	3			9
						1


			9 x			9			9

В том что ответы идентичны, можно убедиться, проверив правильность интегрирования дифференцированием. Действительно, в первом случае получим:

		1																			1								1
		1																			1								1
				ln			3x				9x2 1						C
				ln			3x				9x2 1						C
		3																			3			3x					9x2 1
		3																			3			3x					9x2 1
								2				1						1													18x
								2				1						1													18x
3x				9x					1																	3
3x				9x					1			3			3x											3				2 9x2
												3			3x				9x2 1											2 9x2			1
			1							1						3( 9x2 1 3x													1				.
			3			3x 9x2 1												9x2 1												9x2 1			.
			3			3x 9x2 1												9x2 1												9x2 1
Во втором случае получим
																						1						2x
			1										1							1		1			2 x			2		1/ 9
								x			x2			C														2
				ln
				ln
			3									9				1		3					x			x	2		1/ 9
			3									9						3					x			x			1/ 9

	1				( x2 1/ 9 x																		1										1	.
																																		.
	3	(x x2 1/ 9)											x2 1/ 9								9(x2 1/ 9)											9x2 1

Значит, в обоих случаях интегрирование выполнено верно.

м)	dx	1	d (3x)

	1 9x2	3	1 (3x)2

н)

о)

п)

р)

с)

arcsin

arcsin(3x) C ;

d ( 3x)

1 3x2

1 ( 3x)2

( 3x)2 1

x a

3x 1

x2 a2

x a

3x 1

2 3

1 ln 3x 1 C ; 6 3x 1

sin 5xdx 15 sin 5xd(5x) 15 cos5x C ;

		dx	1					d (3x)			1
													ctg3x			C ;
	sin 2 3x		3			sin 2 3x					3		ctg3x			C ;
					1		d (x2 1)
		xdx		2			d (x2 1)					1		(x2 1) 1/ 2 d (x2 1)
		xdx		2								1

	x2 1									x2 1	2
					1					(x2 1)1/ 2		C				x2 1 C;
												C				x2 1 C;
					2				1/ 2
x3		1 x4 dx (1 x4 )1/ 2											d (x4 )
x3		1 x4 dx (1 x4 )1/ 2
															4
					1				(1 x4 )3 / 2					1	(1	x4 )3 C ;
					4				3 / 2					6	(1	x4 )3 C ;
					4				3 / 2					6

Второй способ:

x3 1 x4 dx [ 1 x4 t,1 x4 t2 , d (1 x4 ) d (t2 ),

tdt

(1 x

) dx

) dt,4x

2tdt, x

]

t 2 dt

1 x4 3

2dt

т)

xdx

d (2 5x2 )

2 5x2

C .

5x2

2 5x2

Второй способ:

xdx

[2 5x2

d (2 5x2 ) dt,

10xdx dt;

2 5x2

xdx

]

C ;

2 5x2

10t

x2dx

d (x3 )

C .

у)

x3 x6 1

7.2.

x6 1

(x3 )2 1

а)

1 ln x

dx [t

1 ln x,

t 2 1 lnx,

d(t2 ) d(1 lnx);

2tdt

]

t 2tdt 2 t

2dt 2

(1 ln x)3 C ;

б)

cos2 x

sin 2xdx t cos

x, dt (cos

x) dx,

dt 2cos x( sin x)dx, dt sin 2xdx] et ( dt)

et dt et

C ecos2 x C ;

в)

г)

д)

е)

arctg3x	dx	t arctgx, dt				dx

1 x2					1 x2

		t3dt	t 4	C		arctg4 x	C .

		4			4

x5 3 1 4x6 dx [t 3 1 4x6 ,t3 1 4x6 , d (t3 ) d (1 4x6 ),

t 2

t t 2dt

3t 2dt 24x5dx, x5dx

dt]

t3dt

t 4

(1 4x6 )4 C;

[t x 1,t 2 x

1, d (t2 )

x x

d (x 1), 2tdt dx, x t 2

2tdt

(t2 1)t

t 2 1

t 1

C ln

x 1 1

C ;

t 1

x 1 1

cos

, dt dx

					costdt sin t C sin			1	C ;
					costdt sin t C sin				C ;
								x
ж)				sin xdx		cos x t, sin xdx dt

			cos2 x 4
			cos2 x 4
		dt			ln(t		4 t 2 ) C ln(cosx 4			cos2 x ) C ;


	4		t 2

з)	exdx	t 5 ex , dt exdx	dt	ln	t	C

	5 ex		t

ln(5 ex ) C .

7.3.Поскольку udv uv vdu , то получим

	2	, du 2xdx,		x2 sin x
а) x2 cos xdx u x
dv cos xdx, v sin x
			u x, du dx,
sin x 2xdx x2 sin x 2 x sin xdx				sin xdx, v
			dv

cos x

x2 sin x 2(x( cos x) ( cos x)dx) x2 sin x 2x cos x

2 cos xdx x2 sin x 2x cos x 2sin x C ;

u ln x, du 1x dx, б) x2 ln xdx

dv x2dx, v x2dx

ln x x3

x3 ln x

x2dx

x3 ln x

C ;

u x, du dx,

в)

x sin xdx

sin xdx

sin dx

d (cosx)

cos3 x

, v

cos

cos x

2 cos

tgx C ;

2cos2 x

cos2 x

2cos2 x

												u x, du dx,
г)				2
г)				xctg xdx																				2																		2												1
												dv					ctg xdx,v ctg xdx																																															1 dx
												dv					ctg xdx,v ctg xdx																																											2		x		1 dx
																																																			sin											x
				ctgx x								xctgx x2 (ctgx x)dx xctgx x2
								ln			sin x									x2						C xctgx																				x2			ln							sin x							C;
																				x2																										x2

7.4.																					2																										2
7.4.
						dx																									dx																				dx

																x2 8x 16 9																													(x 4)2 9
а) x2 8x 7																x2 8x 16 9																													(x 4)2 9
									d (x 4)																				1										x 4 3											1			ln						x 1						C ;
									d (x 4)																				1				ln						x 4 3											1									x 1
									(x 4)2 9																			2					ln						x 4 3																			x 7
									(x 4)2 9																			2				3							x 4 3																6			x 7
б)					2x 3					dx								2x 3 6																			dx							2x 3								dx
б)										dx																											dx															dx
					x2 3x																x2 3x																						x2 3x
					6				dx													d (x2										3x)								6																dx
					6				x2 3x																x2 3x															6							2							2										9 9
									x2 3x																x2 3x																						2							2										9 9
																																													x			2									x
																																													x			2						3			x							4			4
	d (x2 3x)																																																															d (x						3	)
																									dx																			2
																									dx
										6																												ln			x					3x					6																		2
				x2 3x						6														3					2				9					ln			x					3x					6													3				2				3		2
				x2 3x																				3					2				9																															3				2				3		2
															(x												)																																		(x						)		(				)
															(x										2		)						4																												(x				2		)		(			2	)
																							x						3						3
																													3						3
													1																																																								x
ln			x2 3x						6				1				ln												2 2										C ln									x2 3x													2 ln								x			C
ln			x2 3x						6								ln																						C ln									x2 3x													2 ln								3			C
														3																3						3																															x
														3																3						3																															x
												2		2									x						2							2
ln		x2 3x					ln						x			2			C ln															(x				2 3x)(x 3)2																		C ln										(x 3)3


																																																																									C ;
													3																												x2																												x				C ;
												x
												x

в)

xdx

(x2 4x 1)

1 4x x2

(x2 4x 4 5)

xdx

x 2 t

2)dt

(x 2)

t 2, dx dt

5 t 2

tdt

d (5 t2 )

2 arcsin

5 t2

t 2

5 t 2

2 arcsin

1 4x x2 2 arcsin

x 2

C ;

г)

x2 2x 3dx

x2 2x 1 4dx (x 1)2 4dx

x 1 t, x t 1, dx dt

t 2 4, du

2tdt

tdt

2 t 2 4

t 2 4dt

t 2

dt, v t

t 2 4

t 2dt

(t2 4 4)dt

t2 4

t 2 4

t2 4

t2 4dt

4dt

t 4 4 4 ln

t t2 4

t 2 4dt.

t 2 4

Значит, из последних соотношений получаем уравнение относительно искомого интеграла:

2 t 2 4dt t t 2 4 4 ln t t 2 4 , t 2 4dt 12 t t 2 4

		2 ln	t	t 2 4	или
	1	x 1 x2
x2 2x 3dx				2x 3 2 ln		x 1 x2 2x 3	C.
	2

7.5.

а)

cos5x cos xdx

cos 5x x cos 5x x dx

cos6xxdx

cos4xdx

sin 6x

sin 4x C

sin 6x

16sin 4x

Здесь была использована формула

cosα cosβ

(cos(α β) cos(α β)) .

б)

sin 2 x

tg2 xd(tgx)

tg3x

C ;

cos4 x

cos2 x cos2 x

в)

sin6 x cos xdx sin6 xd(sin x)

sin7 x

C ;

г)

cos xdx

d (sin x)

sin x 1

C .

cos x

cos

sin

x 1

sin x

К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 1

Найти интегралы:

В а р и а н т 1

sin3 x cos3 xdx ;

x 3

x3 x 5

dx ;

dx .

3x2

x(1 3 x )

В а р и а н т

sin 6x

dx ;

5 2x 7 1

dx ;

sin 4 3x 9

2x 7 3

2x 7

2x2 7x 7

dx .

(x 1)(x2

2x 5)

В а р и а н т

ctgx

dx ;

x 3

dx ;

1 tg2 x

x 3 3 x 3

3x 26

dx .

(x 7)(x2

8x 12)

В а р и а н т

2dx

;

x 1 23 x 1

dx ;

2x6 4

dx .

sin 2

x4 x2

3 x 1 3 x 1

В а р и а н т

;

dx .

3cos2 x

(5 x 1)2

2)3

4sin 2 x

В а р и а н т

dx ;

x5 2x3 x2

;

dx .

3sin x

x 43

1 x3

			К о н т р о л ь н а я р а б о т а № 2
						В а р и а н т 1
1.			dx	;		2.		3xdx		dx ;		3.	ex3 1x2dx ;
1.		3 (1	4x)5	;		2.	4x2		3	dx ;		3.	ex3 1x2dx ;
		3 (1	4x)5				4x2		3
4.			dx		;	5.		ln(lnx)dx			.
4.		2x2 8x			;	5.					.
		2x2 8x		30				x
						В а р и а н т 2
1.	5 1 3xdx ;					2. ecos x sin xdx ;						3.		earctgx	dx ;
1.	5 1 3xdx ;					2. ecos x sin xdx ;						3.		1 x2	dx ;
														1 x2

;

xln(x 1)dx .

x2 6x 8

В а р и а н т

;

2dx

;

3x2

;

sin(ln x)dx .

3x 2

В а р и а н т

;

2dx

;

7 2x2

;

x2 ln xdx .

3x2

4x 1

ctg7x

3. sin 2 7x dx ;

sin 3x

3. cos4 3x dx ;

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 87 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.17 Mб0Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь (практикум).pdf
#
24.11.20255.19 Mб0Начертательная геометрия.pdf
#
24.11.20254.99 Mб0Небольшое общественное здание павильонного типа.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика.pdf
#
24.11.20252.69 Mб0Немецкий язык.pdf
#
24.11.20253.25 Mб0Неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Неразъемные соединения и соединения с натягом.pdf
#
24.11.20251.65 Mб0Неразъемные соединения.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии.pdf
#
24.11.20259.19 Mб1Нетрадиционные источники энергии.pdf
#
24.11.20255.13 Mб0Новое электрооборудование подстанций и распредустройств электростанций.pdf