Неопределенный интеграл

П р и м е р 5.2. Найти

dx

.

4

(x 1)3 (x 2)5

Р е ш е н и е

Так как

4 (x 1)3 (x 2)5 (x 1)(x 2)4

x 2

,

то подстановка

x 1

x 2

t 4 .

x 1

x

t4

2

, dx

12t3dt

, x 1

3

2

3t 4

Отсюда

, x

,

t 4

1

(t 4 1)2

t 4

t

4 1

1

и, значит,

dx

4

x 1

dx

4 (x

1)3 (x 2)5

x 2

(x 1)(x

2)

12t3 (t 4 1)2

4

4

4

x 2

dt

dt

t

C

4

C .

(t 4 1)2 t 3 3t 4

3

3

3

x 1

Р е ш е н и е

Так как p 2 – целое число, то x t 6 .

Тогда dx 6t5dt, 3

x t2 ,

x t3 , и, значит,

3 x (2

x )2 dx t 2 (2 t3 )2 6t5dt

6 (4t7 4t10 t13 )dt 3t8

24

t11

3

t14 C 33

x4

11

7

24

6

x11

3 3

x7 C .

11

7

П р и м е р 5.4. Найти

3 1 4 x

dx .

x

Р е ш е н и е

m

1

, n

1

, p

1

. Так как

m 1

2 – целое число, то под-

2

4

3

n

становка

1 4

x t3 .

Отсюда

x (t3

1)4 , dx 12t 2 (t3 1)3 dt ,

и, значит,

3

1 4

x

dx

t

12t 2 (t3 1)3 dt

x

(t3 1)2

Решение

m 6, n 2, p

5

. Так как

m 1

p 0 –

целое число,

то

2

n

подстановка x 2

1 t2 . Тогда x (t 2

1) 1/ 2 , dx t(t 2 1) 3/ 2 dt,

1 x2 x2t 2

t 2

.

t 2 1

Отсюда

(1 x2 )5

t5 (t 2 1)3

dx

t(t 2

1)

3 / 2 dt

x6

(t 2 1)5 / 2

t6

1

t5

t3

1

t 1

dt (t 4 t 2

1

)dt

t

ln

C

2 1

t 1

t 2 1

t

5 3

2

1

(x

2 1)5 / 2

1

(x

2

1)3 / 2

x

2

1

1

ln

x 2 1 1

C

5

3

2

x 2 1 1

1

(1 x2 )5 / 2

1

(1 x2 )3 / 2

(1 x2 )1/ 2

ln

1 x2 x

C .

5

x5

3

x3

x

Интегралы вида

Mx N

dx ,

ax2 bx c

где M, N, a, b, c – действительные числа,

a 0 , подстановкой

x

b

t

приводятся к виду

2a

Mx N

dx M

tdt

(N

Mb

)

dt

,

ax2 bx c

at2 d

2a

at2 d

d c

b2

tdt

1

d (at2 d )

в

котором

,

интеграл

4a

at2 d

2a

at2 d

1

at2

d C ,

a

dt

1

at at2

d

C

при a > 0 и

ln

at2 d

a

dt

1

arcsin

at

C , если a < 0.

at2 d

a

d

П р и м е р 5.6. Найти

3x 1

dx .

x2 6x 18

Р е ш е н и е

Учитывая, что

x2 6x 18 (x 3)2

9 ,

положим

x 3 t ,

тогда x t 3, dx dt , и, значит,

3x 1

dx

3(t 3) 1

dt

3t 8

dt

x2 6x 18

t 2 9

t 2 9

3

tdt

8

dt

3

d (t 2

9)

8

dt

3 t 2 9

2

t 2 9

t 2 9

t 2 9

t 2 9

П р и м е р 5.7. Найти

8x 11

dx .

2x x2

5

8x 11

dx

8(t 1) 11

dt 8

tdt

5 2x x2

6 t 2

6 t 2

3

dt

4

d (6 t 2 )

3

dt

8 6 t 2

6 t 2

6

t 2

6 t 2

3arcsin

t

C 8

5 2x x2 3arcsin

x 1

C .

6

6

Для вычисления интегралов вида

Pm (x)

dx ,

ax2 bx c

где

Pm (x)

– многочлен степени m;

a, b, c – действительные

числа; a 0 ; удобно пользоваться формулой

Pm (x)

dx Q(x)

ax2 bx c λ

dx

, (5.1)

ax2 bx c

ax2 bx c

П р и м е р 5.8. Найти

9x3 3x2

2

dx .

3x2 2x

1

Р е ш е н и е

Воспользуемся формулой (5.1).

Так

как

Pm (x) P3 (x)

9x3 3x2

2 , то Q(x) Ax2

Bx C , и, значит,

формула (5.1)

примет вид

9x3 3x2

2

dx ( Ax2 Bx C) 3x2

2x 1 λ

dx

.

3x2 2x 1

3x2 2x 1

Продифференцируем последнее равенство по переменной

х, получим

9x3 3x2 2

(2Ax B) 3x2 2x 1

3x2 2x 1

( Ax2 Bx C)

6x 2

λ

.

2 3x2 2x 1

3x2 2x 1

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители,

имеем равенство

9x3 3x2

2 (2Ax B)(3x2

2x 1) (Ax2

Bx C)(3x 1) λ .

Отсюда получаем систему

6A 3A 9;

3B

3;

3B 4A A

3C

0;

2 A 2B B

B C 2.

Решая систему, находим A 1, B

1

, C

1

, λ

4

. Следо-

3

3

3