Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

	(x) b xm b xm 1		... b	x b , b	R, i		, b	0 – мно-
Q						0, m
m	0	1	m 1	m i	0

гочлены степеней n и m соответственно.

Рациональные функции называются рациональными дробями. При n m рациональная дробь (41.) называется правильной, при n m – неправильной.

Если рациональная дробь (4.1) является неправильной, то, разделив числитель на знаменатель, получим равенство

Pn	(x)	Sk	(x)	M l	(x)	,
Qm (x)				N s (x)

где Ml (x) – правильная рациональная дробь.

Ns (x)

Среди правильных рациональных дробей различают четыре типа простейших дробей:

1. x a ;

2.	A		2, k N ;
		, k
	(x a)k
3.	Mx N		;

	x2 px q

4.	Mx N			, k 2, k N ,

	(x2 px q)k
где A, M, N, a, p, q – действительные числа;
k	– натуральное число, p2 4q 0 .

Интегралы от простейших дробей вычисляются следующим образом:

1.	A	dx A	d (x a)	Aln	x a	C .

	x a		x a

П р и м е р ы

4.1.

5dx

d (x 4)

5ln

x 4

C .

x 4

dx A

d (x a)

A (x a) k d (x a)

a)k

(x a)k

(x a) k 1

C .

k 1

a)k 1

k (x

4.2.

dx 3 (x 5) 4 d (x 5)

(x 5)4

(x 5) 3

C .

(x 5)3

Mx N

x2 px q

Mt N

Mtdt

t, dx dt, q

d (t 2

a2 )

)

t 2 a2

t 2

ln(t 2 a2 )

2N Mp

arctg

ln(x2 px q)

2N Mp

arctg

2x p

C .

4q p2

4.3.

3x 5

dx x 1 t, dx dt

2x 10

(x 1)2

3t 8

3tdt

d (t 2

t 2 9

t 2

t 2 9

ln(t 2 9)

arctg

ln(x2

2x 10)

arctg

x 1

C .

Mx N

(x2 px q)k

((x

)2 q

Mt N

t, dx

dt, q

)

tdt

2N Mp

(t 2 a2 )k

4.4.

2x 1

dx x 1 t, dx dt

(x2 2x 2)2

((x 1)2 1)2

2t 3

dt 2

tdt

(t 2

1) t 2

tdt

(t 2 1)2

2 1)2

(t 2 1)2

1)2

t 2 1

t 2dt

d (t 2 1)

t tdt

(t 2 1)2

t 2

1)2

u t, du dt,

d (t 2 1)

3arctgt

tdt

t 2

2(t

) C

3arctgt

2(t 2

t 2 1

2(t 2

arctgt C

arctgt

3t 1

t 2 1

arctg(x 1)

3x 4

C .

x2 2x 2

Для интегрирования правильной дроби нужно:

1.Разложить знаменатель дроби на простые множители.

2.Представить дробь в виде суммы простых дробей с неопределенными коэффициентами.

3.Найти коэффициенты.

4.Проинтегрировать простые дроби.

5x3 2

4.5. x3 5x2 4x dx .

Р е ш е н и е

Поскольку степень числителя равна степени знаменателя, то подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью. Поэтому сначала выделим целую часть:

	5x3 2		5	25x2 20x 2		.
x3	5x2			x3 5x2	4x
		4x

Тогда

где I

Пусть

25x

20x 2

5 dx

25x2

20x 2

dx 5x I

x3 5x2

25x2 20x 2

dx .

x(x 1)(x 4)

25x2 20x 2

x3 5x2 4x

x 1

Найдем значения А, В, С методом неопределенных коэффициентов. Приводя к общему знаменателю правую часть последнего равенства, получим

25x2 20x 2		A(x2 5x 4) B(x2 4x) C(x2 x)		.
x3 5x2	4x	x3 5x2	4x

Отсюда

25x2 20x 2 A(x2 5x 4) B(x2 4x) C(x2 x) .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, составим систему

А В С 25,5А 4В С 20,4А 2.

Решая ее, находим, что A 12 , B 73 , C 1616 .

При нахождении неопределенных коэффициентов А, В, С можно использовать метод произвольных значений. Для этого в равенство

25x2 20x 2 A(x2 5x 4) B(x2 4x) C(x2 x)

вместо х последовательно подставим три произвольных значения х = 0, х = 1, х = 4. Получим систему уравнений

4 А 2;

3В 7;

12С 322.

Отсюда имеем A 12 , B 73 , C 1616 .

Значит,

			1					7				161												1		dx				7		dx
	I		1					7				161								dx				1		dx				7		dx
	I																			dx
			2x				3(x 1)						6(x 4)											2 x 3 x 1
			2x				3(x 1)						6(x 4)											2 x 3 x 1
		161				dx			1	ln	x					7		ln	x 1						161		ln	x 4				C ,
		161				dx			1							7									161
					x 4
6									2					3										6
6									2					3										6
и, следовательно,
	5x3 2											1								7							161
						dx 5x									ln		x					ln	x 1								ln		x 4	C .
	x3 5x2 4x					dx 5x						2			ln		x				3								6		ln		x 4	C .
	x3 5x2 4x											2									3								6
4.6. Найти				3x3 x2					4x 13
																	dx .
																	dx .
					x2 (x2 4x 13)

Р е ш е н и е

Поскольку подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то разложение этой дроби на простейшие примет вид

3x3 x2 4x 13

Cx D

x2 (x2

4x 13)

x2 4x

и, значит,

3x3 x2 4x 13

Ax(x2 4x 13) B(x2

4x 13) (Cx D)x2

x2 (x2

4x 13)

x2 (x2

4x 13)

Отсюда, приравнивая числители последнего равенства, имеем

3x3 x2 4x 13 Ax(x2 4x 13) B(x2 4x 13) (Cx D)x2 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях х, получим систему уравнений

А C 3;
	D 1;
4 A B	D 1;
	4;
13A 4B	4;

13B 13.

Решая эту систему, находим: A = 0, B = 1, C = 3, D = –2. Значит,

3x3

x2 4x 13

3x 2

dx x

2dx

x2 (x2

4x 13)

x2 4x 13

x 2 t

2)2 9

dx dt

t 2 9

ln(x2

4x 13)

arctg

x 2

4.7. Найти

x3 3

dx .

(x 1)(x2 1)2

Поскольку подынтегральная функция является правильной рациональной дробью, то, представив ее в виде суммы простейших дробей, получим

	x3 3	A		Bx C		Dx E		.
	(x 1)(x2 1)2	x	1	x2 1		(x2	1)2

Отсюда
x3 3 A(x2 1)2 (Bx C)(x 1)(x2					1) (Dx E)(x 1) .

	А B 0;																									А B;
	C B 1;																									C 1 B;

																																										B 2B 1;
	2 A C B D 0;																									D 2B 1 B																B 2B 1;
	C B E D 0;																									E 1 2B B 1 B 2B;


	A C			E 3;																									B			1				B 2B 3;
								A				1			, B						1			, C			3		, D 2, E 1.
								A							, B									, C					, D 2, E 1.
												2							2								2
														1								3
		1					dx											x											2x 1										dx				1
	I															2		x				2			dx																			ln	x 1
																2						2

		2				x 1									x2 1													(x2 1)2															2
		2				x 1									x2 1													(x2 1)2															2
	x 3	dx 2										xdx											x2 1 x							2	dx						1					1				1	ln(x2 1)
	x 3											xdx											x2 1 x														1			ln	x					1
	x2 1									(x2 1)2														(x2			1)2									2				ln	x					4
	x2 1									(x2 1)2														(x2			1)2									2										4
						1																						1											1			dx							1
arctgx						1				arctgx x (																		1					)						1			dx							1	ln	x 1
arctgx										arctgx x (																							)																	ln	x 1
			x		2		1																			2(x		2		1)									2		x	2	1				2
					2																							2														2

ln(x2 1)							5	arctgx											1								x								1			arctgx C												x 2
ln(x2 1)								arctgx																														arctgx C										2(x2 1)
							2										x		2			1 2(x2 1)												2														2(x2 1)
									1		ln		x 1							1			ln(x2 1) 2arctgx C .
									1											1

									2										4
									2										4

Задания для самостоятельной работы

Н а й т и :

4.1.

x2 6

dx . 4.2.

dx . 4.3.

x2dx

x4 3x2 2

x3 x2

x 1

( x

2) 2( x

4)2

4.4.

xdx

. 4.5.

x3 6

dx . 4.6.

2x 2

4.7.							dx									. 4.8.								5x3			9x2 22x 8								dx .
4.7.			(x2 1)(x2 1)													. 4.8.												x3			4x				dx .
			(x2 1)(x2 1)																									x3			4x
О т в е т ы :
4.1. x 6arctgx												8					arctg						x			C .
4.1. x 6arctgx												2					arctg									C .
												2												2
4.2.		(x 1)2						ln						x 1								arctgx C .
		(x 1)2


				2										x2 1
4.3.						x 4							5x 12										C .
	2ln					x 4							5x 12
	2ln					x 2					x2 6x 8
						x 2					x2 6x 8
4.4.		1				x 1				1									x 1								1		arctg			2x 1		C .
				ln								ln			x2


	3			1					6						3										x		3				3		3			x
4.5.							x2		2											arctg							ln			x2	4			arctg			C .
					ln
				2	ln																												2			2
							x 1									2								2
																2								2
4.6.		1		ln												1					arctg				x			C .
		1														1

	3						x2 2
	3						x2 2					3						2						2
4.7.		1				x 1					1		arctgx C .
		1		ln		x 1					1
				ln		x 1
	4					x 1			2

4.8. 5x 2ln x 3ln x 2 4ln x 2 C .

5. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ
	ФУНКЦИЙ
Интегралы вида
	ax b p		ax b p
R x, (		) 1 ,...,(		)	n dx ,

	cx d		cx d

где R – рациональная функция; n N;

p1,..., pn – рациональные числа;

a, b, c, d – действительные числа, рационализируются подстановкой

ax b t m , cx d

где m – общий знаменатель рациональных чисел p1,..., pn .

П р и м е р 5.1. Найти	dx
		.
	2x 1 3 2x 1

Р е ш е н и е

Наименьшее общее кратное чисел 2 и 3 равно 6. Поэтому обозначим 2x 1 t6 . Отсюда

(t6 1), dx 3t5dt ,

и, значит,

3t5

dt 3

dt 3 (t 2

t 1

)dt

2x 1 3 2x 1

t3 t 2

t 1

2 3t 3ln

t 1

C 2x 1

2x 1

36 2x 1 3ln 6 2x 1 1 C.

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 84 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.17 Mб0Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь (практикум).pdf
#
24.11.20255.19 Mб1Начертательная геометрия.pdf
#
24.11.20254.99 Mб0Небольшое общественное здание павильонного типа.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика.pdf
#
24.11.20252.69 Mб1Немецкий язык.pdf
#
24.11.20253.25 Mб0Неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20252.48 Mб1Неразъемные соединения и соединения с натягом.pdf
#
24.11.20251.65 Mб0Неразъемные соединения.pdf
#
24.11.20252.02 Mб2Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии.pdf
#
24.11.20259.19 Mб2Нетрадиционные источники энергии.pdf
#
24.11.20255.13 Mб2Новое электрооборудование подстанций и распредустройств электростанций.pdf