Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

2.3. (

sin 2x

etgx ctgx

25sin 2 x 9 cos2 x

cos2

sin 2x

)dx

3 cos2 x

cos4 x 3

5 x

2x 1

2.4.

dx .

5 3x2

x6 1

cos(2x

)

arcctg2x

2.5.

tg(

)

sin 2

4x dx .

1 4x

x e

2.6.

(sin x x cos x) e

2x sin x

dx .

e2x

x2 1

2.7.

dx .

1 4ln x

4ln2

sin

2.8.

dx .

x 3 ln 2x

cos

2.9.

x 2

dx .

x 1 1

2.10.

1 x3

2.11.

4 x

2.12.

ex 1

О т в е т ы :

2.1.ln sin x ln tg( π4 π2 ) 251 (5x4 1)5 / 4 C .

2.2.16 e2 arcsin3x 4 13 tg(x3 ) 12 arctg(x2 ) ln(1 x2 ) C .

2.3.18 16sin 2 x 9 etgx ln tgx 2 3 cos2 x .

ln cos2 x cos4 x 3 C.

	5			1			2			1
2.4.		arctg(	3x)		ln(3x2	1)		5 3x2			arcsin

3			6			3			3

13 ln x3 x6 1 101 ln tg( 4 x5 ) C.

2.5.ln cos 1x 83 (arcctg2x)4 / 3 12 x 161 sin 8x C .

3x 5

		ex		2		1
2.6.	arctg		e x		1		e	2x sin x C .
2.6.	arctg	2	e x		1	2	e	2x sin x C .
		2				2

2.7. 12 1 4ln x arcsin(2ln x) C .

2.8.		1	1	3	(ln 2x)2 / 3	C .
	6cos3 2x		2cos 2x	2

	2
2.9.		(x 1)3 (x 1) 4		x 1 4ln		x 1 1	C .
	3

v(x)

2.10.	1	ln	1 x3		1		C .
2.10.	3	ln	1 x3		1		C .
	3		1 x3		1
2.11.	1	ln		x				C .
	1			x
	2		2	4 x2
	2		2	4 x2
2.12. ln			ex 1 1			C .
			ex 1 1
			ex 1 1
			ex 1 1

3.ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПО ЧАСТЯМ

ВНЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

Теорема 1. Если функции u(x) и дифференцируемы на некотором промежутке и на этом промежутке существует интеграл vdu , то на нем существует и интеграл udv, причем справедлива формула

udv uv vdu ,

называемая формулой интегрирования по частям.

Неудачный выбор функций u и v может привести к более сложному интегралу, чем исходный интеграл.

П р и м е р . Найти xsin xdx .

Р е ш е н и е

Пусть u sin x , dv xdx . Покажем, что такой выбор функций u и v является неудачным. Действительно, учитывая, что

du cos xdx , v x2 / 2 , по формуле интегрирования по частям получим

x sin xdx	x2	sin x	x2	cos xdx .
	2		2

При этом x2 cos xdx сложнее, чем исходный интеграл.

Положим теперь u x, dv sin xdx . Тогда в силу того, что

vcosx , имеем

x sin xdx x cos x cos xdx x cos x sin x C .

Рассмотрим три основных типа интегралов, вычисляемых методом интегрирования по частям.

1. Интегралы вида Pn (x) f (x)dx , где Pn (x) – многочлен степени n, n N 0 , f (x) – одна из следующих функций: ex , sin x, cos x , вычисляются подстановкой u Pn (x), dv f (x)dx .

2. Интегралы вида Pn (x) f (x)dx , где f (x) – одна из функ-

ций вида loga x (a 0, a 1), arcsin x, arccosx, arctgx, arcctgx , вычи-

сляются подстановкой u f (x), dv Pn (x)dx .

3. Интегралы	вида	eax cosbxdx, eax sin bxdx, sin(ln x)dx,
cos(ln x)dx, a2	x2 dx ,			dx	, где	a, b R, a 0, n N ,

			(a2	x2 )n

вычисляются с помощью применения формулы интегрирования по частям дважды, в результате чего получают линейное уравнение относительно исходного интеграла.

Пр и м е р ы

3.1.Найти (x2 6x 2)e3xdx .

	Р е ш е н и е
Пусть u x2 6x 2, dv e3xdx , тогда			du (2x 6)dx, v			1	e3x .
Пусть u x2 6x 2, dv e3xdx , тогда			du (2x 6)dx, v				e3x .
						3
Применяя формулу интегрирования по частям, получим
(x2 6x 2)e3xdx	1	(x2 6x 2)e3x		2	(x 3)e3xdx .
(x2 6x 2)e3xdx		(x2 6x 2)e3x			(x 3)e3xdx .
3			3

Применим теперь формулу интегрирования по частям к по-

следнему	интегралу. Положим u (x 3), dv e3xdx , тогда
du dx, v	1	e3x , и, значит,

	3

(x2 6x 2)e3xdx 13 (x2 6x 2)e3x 23 (13 (x 3)e3x 13 e3xdx)

13 (x2 6x 2)e3x 92 (x 3)e3x 92 e3xdx 13 (x2 6x 2)e3x

92 (x 3)e3x 272 e3x C 27e3x (9x2 60x 38) C.

3.2. Найти cos2 x dx . sin 3 x

Р е ш е н и е

Пусть

u cos x,

cos xdx

тогда

du sin xdx,

sin 3 x

cos xdx

d sin x

. Отсюда

sin3 x

sin 3 x

cos2 x

cos x

C .

sin3 x

2sin 2 x

sin x

3.3. Найти

x3dx

1 x2

Р е ш е н и е

Пусть

u x2 , dv

xdx

тогда

du 2xdx, v

xdx

1 x2

d (x2

x2 1

, и, значит,

x2 1

x3dx

x2 1 2 x

x2 1dx x2

x2 1

1 x2

x2 1d (x2 1) x2 x2 1

2(x2 1)3 / 2

C .

3.4. Найти x arctgxdx .

Р е ш е н и е

Положим u arctgx, dv xdx , тогда du

, v

. Отсюда

x2 1

x arctgxdx

x2 arctgx

x2dx

arctgx

x2 1

(x2

1) 1

arctgx

2 1

arctgx

arctgx C.

3.5. Найти

arcsin

dx .

1 x

Р е ш е н и е

Пусть

u arcsin

x , dv

, тогда

dx,

1 x

d (1 x)

2 1 x,

и, значит,

1 x

arcsin

dx 2

1 x arcsin

1 x

2 1 x arcsin x 2 x C .

3.6. Найти cos(ln x)dx .

Р е ш е н и е

		Положим u cos(ln x), dv dx , тогда du sin(ln x)			1	dx, v x ,
		Положим u cos(ln x), dv dx , тогда du sin(ln x)				dx, v x ,
					x
и, следовательно,
			cos(ln x)dx cos(ln x) x sin(ln x)dx .
		Пусть	теперь u sin(ln x), dv dx , тогда	du cos(ln x)
	1	dx, v x .	Применяя формулу интегрирования по частям к
		dx, v x .	Применяя формулу интегрирования по частям к
	x

последнему интегралу, получим

cos(ln x)dx cos(ln x) x sin(ln x) x cos(ln x)dx .

Отсюда

cos(ln x)dx 2x (cos(lnx) sin(ln x)) C .

3.7. Найти eax cosbxdx и eax sin bxdx .

Р е ш е н и е

Вычислим

сначала

eax cosbxdx.

Полагая

u eax ,

dv cosbxdx, получим du aeaxdx, v

sin bx . Отсюда

eax cosbxdx

eax sin bx

eax sin bxdx.

Пусть теперь

u eax , dv sin bx ,

тогда du aeaxdx,

cosbx , и, значит,

eax cosbxdx

eax sin bx

(

eax cosbx

eax cosbxdx)

eax sin bx

eax cosbx

eax cosbxdx.

Обозначая

I eax cosbxdx, получим

линейное

уравнение

относительно искомого интервала

eax sin bx

eax cosbx

I .

Отсюда

a2 b2

eax sin bx

eax cosbx , и, значит,

eax

(b sin bx a cos bx) C .

a 2

Аналогично находим и второй интеграл:

eax sin bxdx	eax		(a sin bx b cosbx) C .
	a2	b2

Задания для самостоятельной работы

Н а й т и :

3.1. x ln(x 1)dx;

3.2. arcsin xdx;

3.3.

arcsin x

dx ;

3.4. e

x dx;

1 x

3.5.

x cos x

dx;

3.6. x3ex2 dx;

sin 2 x

3.7.

sin 2 xdx

;

3.8. (2x2 7) sin 3xdx;

3.9.

ln x

dx;

3.10.

xdx

;

3.11.

1 x2 dx;

cos

От в е т ы :

3.1.x2 1 ln x 1 x2 x C .

2 4 2

3.2.x arcsin x 1 x2 C .

3.3.2arcsin x 1 x 4 1 x C .

3.4. 2e x (							x 1) C .
					x						x
3.5.					x		ln	tg			x	C .
3.5.			sin x				ln	tg				C .
			sin x					2
3.6. ex (x3 3x2								6x 6) C .
3.7. Указание: положить sin 2 x															1 cos2x				.
3.7. Указание: положить sin 2 x																			.
																2
										e x cos2x 2sin 2x
																1		C .
																1		C .
											2		5
3.8.		1		(2x2 7) cos3x									4	x sin 3x	4		cos3x C .
3.8.				(2x2 7) cos3x										x sin 3x			cos3x C .
		3											9		27
3.9.		1				(ln x		1	) C .
3.9.	2x2					(ln x		2	) C .
	2x2							2

3.10.xtgx ln cos x C .

3.11.12 (x x2 1 ln x x2 1 ) C .

4.ИНТЕГРИРОВАНИЕ РАЦИОНАЛЬНЫХ ФУНКЦИЙ

Рациональной функцией называется функция вида

			R(x)		Pn (x)		,				(4)
					Qm (x)
где	P (x) a xn a xn 1			... a		x a , a		R, i		, a	0 ,
									0, n
	n	0	1	n 1			n i	0

<<< < Предыдущая 1 23 / 83 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.17 Mб0Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь (практикум).pdf
#
24.11.20255.19 Mб0Начертательная геометрия.pdf
#
24.11.20254.99 Mб0Небольшое общественное здание павильонного типа.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика.pdf
#
24.11.20252.69 Mб0Немецкий язык.pdf
#
24.11.20253.25 Mб0Неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Неразъемные соединения и соединения с натягом.pdf
#
24.11.20251.65 Mб0Неразъемные соединения.pdf
#
24.11.20252.02 Mб0Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии.pdf
#
24.11.20259.19 Mб1Нетрадиционные источники энергии.pdf
#
24.11.20255.13 Mб0Новое электрооборудование подстанций и распредустройств электростанций.pdf