Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Неопределенный интеграл

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

3.25 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

1.9. 3 2ctg2 xdx. cos2 x

1.10.x4 2x3 x2 8x 7dx.

x2 4

О т в е т ы :


1.1.	12			x19 /12			3	x7 / 3			3		x4 / 3	4	x7 / 4	2	x5 / 2	2	x3 / 2	C.
1.1.	19			x19 /12			7	x7 / 3			4		x4 / 3	7	x7 / 4	5	x5 / 2	3	x3 / 2	C.
	19						7				4			7		5		3
1.2.		27			27		9ln		x	x C.
		27			27

			2x2			x
			2x2			x
1.3.	24			x41/ 24		C.
1.3.				x41/ 24		C.
	41
	2						1
1.4.												C.
1.4.			7x ln 7				7 2x ln 2					C.

1.5. 12 ln x x2 12 12 arcsin 2x C.

1.6. 1 arctg	2x	1	ln	2x	3	C.
6	3	2	6	2x	3

1.7.ctgx tgx C.

1.8.32 ctgx x C.

1.9.3tgx 2ctgx C.

1.10.x3 x2 3x 5 ln x 2 C. 3 4 x 2

2. ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПОДСТАНОВКОЙ (ЗАМЕНА ПЕРЕМЕННОЙ)

В НЕОПРЕДЕЛЕННОМ ИНТЕГРАЛЕ

При вычислении неопределенных интегралов во многих случаях целесообразно введение новой переменной интегрирования, что позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного. Такой метод называется методом интегрирования подстановкой (заменой переменной интегрирования).

Теорема 1. Пусть на интервале (a,b) определена сложная функция f ( (x)) , функция t (x) непрерывна на этом интервале и дифференцируема во всех его внутренних точках. Тогда если существует интеграл f (t)dt , то существует интегралf ( (x)) '(x)dx , причем справедлива формула

f ( (x)) '(x)dx f (t)dt t '(x).

Теорема 2. Пусть на интервале (a,b) определена сложная функция f ( (x)) , t (x) – непрерывная, строго монотонная на (a,b) функция, дифференцируемая во всех его внутренних точках. Тогда если существует интеграл f ( (x)) '(x)dx , то существует интеграл f (t)dt , причем имеет место формула

f (t)dt f ( (x)) '(x)dx x 1 (t) .

Вотдельных случаях вместо введения новой переменной применяется метод подведения функции под знак дифферен-

циала, который состоит в том, что под знак дифференциала записывается функция, дифференциал которой равен заданному выражению:

f '(x)dx df (x) .

Справедливы следующие преобразования дифференциала:

1) dx d(x b), b R;

R, a

d(ax), a

d (ax b), a, b R, a 0;

4) xdx

d (x2 );

xndx

d (xn 1), n R, n 1;

dx d (ln x);

n 1

dx d (

);

dx 2d ( x );

sin xdx d(cosx);

10)

cos xdx d sin x;

11)

dx d (tgx);

12)

dx d (ctgx);

cos2 x

sin 2 x

13) exdx d (ex );

14)

a xdx

d (a x );

ln a

15)

d (arctgx);

16)

d (arcsin x);

1 x2

17)sin 2xdx 12 d cos2x d sin 2 x d cos2 x;

18)cos2xdx 12 d sin 2x .

Каждая из вышеприведенных формул справедлива на промежутке, где определена функция, стоящая под знаком дифференциала.

П р и м е р ы

2.1. Найти неопределенные интегралы методом подведения функции под знак дифференциала и методом подстановки:

а) cos(2x 3)dx ;	б)	dx	;	в)	dx		.
		cos2 x 4 tgx			arcsin3 x	1 x2

Р е ш е н и е

а) Первый способ:

cos(2x 3)dx cos(2x 3) 12 (2x 3)'dx

12 cos(2x 3)d (2x 3) 12 sin(2x 3) C.

б) Второй способ: пусть 2x 3 t , тогда 2dx dt , и, значит, dx 12 dt , отсюда

cos(2x 3)dx cost 12 dt 12 costdt

12 sin t C 12 sin(2x 3) C

б) Первый способ:

(tgx)'

cos2 x 4 tgx

4 tgx

(tgx)3 / 4

(tgx) 1/ 4 d (tgx)

(tgx)3 / 4 C .

3 / 4

Второй способ: пусть tgx t , тогда

dt , и, значит,

cos 2

t3 / 4

1/ 4dt

(tgx)3 / 4 C.

cos2 x 4 tgx

4 t

3 / 4

в) Первый способ:

(arcsin x)'dx

d (arcsin x)

arcsin3 x

1 x2

arcsin3 x

(arcsin x) 3 d (arcsin x)

(arcsin x) 2

2(arcsin x)2

Второй способ: пусть arcsin x t , тогда

d (t)

1 x2

и, значит,

t 3dt

t 2

arcsin2 x 1- x2

C .

2t 2

2 arcsin x 2

2.2. Найти неопределенные интегралы методом подведения функции под знак дифференциала.

а)

1 ln(x 1)

dx .

б)

1 cos x

dx .

в)

x2 1

dx .

x 1

(x sin x)2

(x3

1)5

xdx

д)

tgxdx .

г)

е)

ж) tg xdx .

sin

( x 2)

Р е ш е н и е

а)

1 ln(x 1)

dx (1 ln(x 1))(ln(x 1))'dx

x 1

(1 ln(x 1))d ln(x 1)

d ln(x 1) ln(x 1)d ln(x 1)

ln(x 1)

ln2 (x 1)

б)

1 cos x

(x sin x)'

d (x sin x)

(x sin x)2

x sin x

x2 1

(x3 3x)'

d x3 3x

в)

3x 1)

d x3 3x 1 1 (x3 3x 1) 4

3x 1)

12(x

3x 1)

(x2 )'dx

xdx

г)

arctgx2

x4 1

д)

(2 x)'dx

d (2 x)

ctg(2 x) C.

sin

( x

sin

(2 x)

е)

tgxdx

sin x

(cosx)' dx

d cos x

cos x

tgx

ж)

tg3xdx tgx tg2 xdx

tgx

1 dx

cos2 x

tgxdx tgx (tgx)'dx tgxdx tgxdtgx

tgxdx

tg2 x

cos x

2.3. Найти неопределенные интегралы методом замены переменной интегрирования.

а) х3 х2 1dx .

в)		dx			.

	x 4
	x 4		x
д)		x		dx .

	(3	x)	7
	(3	x)

ж) a2 x2 dx .

б)	x3		dx .

	x 1
г)		dx			.

	x4	1 x2

е)	e3xdx			.

	1 ex
з)	sin xdx					.

	1 2cos x

Р е ш е н и е

а) Совершим замену переменной

x2 1 = t, t

0, тогда

t 2 1 , и, значит,

tdt

. Отсюда

t 2

x2 1dx (t 2 1)3 / 2 t

tdt

t2 (t 2 1)dt

1/ 2

(t 4 t 2 )dt t 4dt t 2dt

(x2

1)5/ 2

(x2

1)3/ 2

б) Положим x 1 t , тогда x t2 1 и dx 2tdt . Следовательно,

(t 2

1)3

2tdt 2 (t 2

1)3 dt

x 1

2 (t6 3t 4 3t

2 1)dt

2t3 2t C

(x 1)7 / 2

(x 1)5 / 2 2(x 1)3 / 2 2

x 1 C .

в) Сделаем

замену

переменной

x t, t 0 ,

тогда

x t4 , dx 4t3dt , и, значит,

4t3dt

t 2dt

(t 2

1) 1

x 4

t 1

4 (t 1

)dt 4 (t 1

t ln

t 1

)dt 4

t 1

2 x 44 x 4ln 4 x 1 C.

г) Положим x 1t , тогда dx t12 dt , и, следовательно,

																						1			dt
									dx																dt															t3										1		t 2dt2
									dx												t		2																	t3				dt						1		t 2dt2
																					t
					x4 1 x2													1								1													t 2 1											2		t 2 1
																							1
																			t 4				1						t 2
	1			((t			2	1) 1)d (t								2			1)									1																1
	1			((t				1) 1)d (t											1)									1							t 2 1									1				d t2 1
																																			t 2 1													d t2 1
2											t 2 1															2
2											t 2 1															2																		t 2 1
									1					2								2										1							2							1				2		3 / 2
									1					2								2										1					d t					1				1				2
											t						1 d t								1																							t			1
											t						1 d t								1																							t			1
									2																							2						t	2 1							3
									t 2 1 C																		1						x2 1 3											x2 1							C.
									t 2 1 C																											x3															C.
																										3										x3										x
д)		Сделаем подстановку t 3 x , тогда																																												x 3 t ,							и,	значит,
dx dt . Отсюда
												x			dx									3 t							dt 3 t 7dt t 6dt
													7		dx									7							dt 3 t 7dt t 6dt
									3 x																	t
						6							5										1									1												1									1
			t									t											1									1												1									1
															C											6								5		C													6						6 C.
3															C							2t				6					5t			5		C							2(3 x)						6			5(3	x)		6 C.
		6									5											2t									5t												2(3 x)									5(3	x)
е)		Заменим													1 ex						t, t 0 , тогда																							ex		1 t2 , и,								значит,
exdx 2tdt . Отсюда
										e3xdx										e2x										exdx										(1 t				2 )2		( 2t)dt
																														exdx													t			( 2t)dt
											1 ex									1	ex																						t
										2 (1 2t 2 t 4 )dt 2(t																															2	t3			t5		) C .
										2 (1 2t 2 t 4 )dt 2(t																																t3					) C .
																																							3					5
											2 1 ex										4						(1 ex )3													2			(1 ex )5 C
											2 1 ex										3						(1 ex )3												5				(1 ex )5 C
																					3																		5

ж)

Положим

x a sin t, a x a, π / 2 t π / 2 ,

тогда

dx a costdt , и, следовательно,

a2 x2 dx

a2 a2 sin 2 t a costdt a2 cos2 tdt

(1 cos2t)dt

cos2td (2t)

sin 2t C

arcsin

sin(2 arcsin

) C

arcsin

a2 x2

C ,

где sin(2 arcsin

) 2sin arcsin

cosarcsin

a2 x2 .

з)

Пусть t

1 2 cos x,t 0,

тогда cos x

(t 2

1) , и, следо-

вательно, sin xdx tdt . Значит:

sin xdx

tdt dt t C 1 2cos x C .

1 2cos x

Задания для самостоятельной работы

Вычислить:

2.1. (ctgx

x3 4 5x4

2)dx .

cos x

2 arcsin(3x 4)

2.2.

dx .

1 9x2

) 1 x

1 x

cos (x

<<< < Предыдущая 12 / 82 3 4 5 6 7 8 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20251.17 Mб0Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь (практикум).pdf
#
24.11.20255.19 Mб1Начертательная геометрия.pdf
#
24.11.20254.99 Mб0Небольшое общественное здание павильонного типа.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика.pdf
#
24.11.20252.69 Mб1Немецкий язык.pdf
#
24.11.20253.25 Mб0Неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20252.48 Mб1Неразъемные соединения и соединения с натягом.pdf
#
24.11.20251.65 Mб0Неразъемные соединения.pdf
#
24.11.20252.02 Mб2Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии.pdf
#
24.11.20259.19 Mб2Нетрадиционные источники энергии.pdf
#
24.11.20255.13 Mб2Новое электрооборудование подстанций и распредустройств электростанций.pdf