Неопределенный интеграл

Министерство образования Республики Беларусь

БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 1»

А.Н. Андриянчик О.Р. Габасова З.Н. Примичева

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

Методическое пособие

М и н с к 2 0 0 9

Министерство образования Республики Беларусь БЕЛОРУССКИЙ НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра «Высшая математика № 1»

А.Н. Андриянчик О.Р. Габасова З.Н. Примичева

НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ

ИНТЕГРАЛ

Методическое пособие для самостоятельной работы

и самоконтроля знаний

М и н с к 2 0 0 9

УДК 51 (075.8)

ББК 22.1я7

А 65

Рецензент Н.А. Микулик

Андриянчик, А.Н.

А 65 Неопределенный интеграл: методическое пособие для самостоятельной работы и самоконтроля знаний / А.Н. Андриянчик, О.Р. Габасова, З.Н. Примичева. – Минск: БНТУ, 2009. – 71 с.

ISBN 978-985-525-014-3.

В пособии содержится краткая теория, образцы решения основных типовых примеров, задания для самостоятельной работы. К задачам, предназначенным для самостоятельной работы, предлагаются ответы, что поможет студенту контролировать правильность решаемых примеров.

Методическое пособие является дополнением к существующим задачникам, будет полезным как для студентов дневной, так и заочной формы обучения и послужит лучшей организации их самостоятельной работы.

УДК 51 (075.8)

ББК 22.1я7

Со д е р ж а н и е

1.Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.

Таблица основных неопределенных интегралов.

3

1. ПЕРВООБРАЗНАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ. СВОЙСТВА НЕОПРЕДЕЛЕННОГО

ИНТЕГРАЛА. ТАБЛИЦА ОСНОВНЫХ НЕОПРЕДЕЛЕННЫХ ИНТЕГРАЛОВ.

НЕПОСРЕДСТВЕННОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ

Определение 1. Функция F (x) называется первообразной функции f (x) на промежутке (a,b) , если F (x) дифференцируема на (a,b) и в каждой точке этого промежутка выполняется равенство

F '(x) f (x) .

Если F (x) есть первообразная функции f (x) на промежутке (a,b) , то множество вида F(x) C , где С – произвольная постоянная, описывает все первообразные для данной функции f (x) на промежутке (a,b) .

Определение 2. Совокупность всех первообразных функции f (x) на промежутке (a,b) называется неопределенным

интегралом от функции f (x) и обозначается f (x)dx , то есть

f (x)dx F(x) C ,

где С – произвольная постоянная.

С геометрической стороны, неопределенный интеграл – это однопараметрическое семейство кривых y F(x) C (C – па-

раметр семейства), обладающих следующим свойством: все касательные к кривым в одной и той же точке параллельны между собой.

Определение 3. Операция нахождения первообразной функции называется интегрированием этой функции.

Поскольку операция интегрирования является обратной для операции дифференцирования, то правильность интегрирования

4

проверяется дифференцированием функции, полученной в результате интегрирования.

Справедливы следующие свойства неопределенного интеграла:

1.dF(x) F(x) C , F'(x)dx F(x) C , где С – произволь-

ная постоянная.

2.( f (x)dx)' f (x) , d ( f (x)dx) f (x)dx .

3.( f (x) βg(x))dx f (x)dx β g(x)dx .

4.f (ax b)dx 1a F (ax b) C .

Таблица основных неопределенных интегралов:

1.0du C .

2.du u C .

uα 1

3. ua dx α 1 C, α 1.

5

6.eu du eu C .

7.sin udu cosu C .

8.cosudu sin u C .

11.shudu chu C .

12.chudu shu C .

6

и любое u в случае, когда знак «+».

Если первообразная F (x) функции f(x) является элементарной функцией, то говорят, что интеграл f (x)dx выражается в

элементарных функциях. Однако интеграл от элементарной функции может и не быть элементарной функцией. Так,

cosx xdx хотя и существуют, но не выражаются через элемен-

тарные функции. Такие интегралы называются неберущимися. Вычислим некоторые интегралы так называемым методом

непосредственного интегрирования.

П р и м е р ы

(x5 / 3 x7 / 6 2x2 / 3 )dx x5 / 3dx x7 / 6dx 2 x2 / 3dx

7

1.9.cos2 2x dx 12 (1 cos x)dx 12 dx 12 cos xdx

12 x 12 sin x C.

8

12 dx 12 tgx 12 x C.

Задания для самостоятельного решения

Вычислить интегралы:

1.1. 3 x x ) (4 x x 1)dx.

3 x 3

1.2.dx.x

1.3. x3 x4 x dx .

1.4.2x 1 7 x 1 dx. 14x

9