Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика

Рис. 3.1. y y(x) - возрастает , Ex y

.

Рис. 3.2.

y y(x) - возрастает , Ex y .

Тогда y

M D

и

BD

Ex y

M D

BD

M D

M B

(7)

BD

M0C

M0C

M0 A

осью Оу, А – с осью Ох).

Предположим, что y y(x) - убывает( Ex y

).

Рис. 3.3.

y y(x) - убывает.

Тогда аналогично: y

BD

и

DM0

Ex y

BD

DM

BD

M B

.

(8)

DM0

M0C

M0C

M 0 A

В частности, если y

:

Ex

kx

M B

, Ex

kx b - возрастает , Ex

kx

,

M

0 A

Пример 3.9. Пусть y

, тогда по формуле (3):

Ex y

(a

,

(9)

y

a x

то есть для функции

y

эластичность постоянна и равна b.

Упражнение 3.5. Пусть y

; проверить, что

Ex a

.

(10)

функция Ep D ,

будучи безразмерной, удобно описывает

изменение объема

спроса при изменении цены.

Пример 3.10.

D( p)

100

. Найти 1) Скорость изменения спроса при цене

p

p 10 у.е.; 2) Эластичность спроса по цене при цене 10 у.е.

Решение. 1)

D

200

1

.

p

5

200

10

2

2) Ep D

D( p)

2

1

102

D

при увеличении цены на 1 у.е. спрос уменьшится примерно

на - 0,2(ед.).

Точное значение. D(11)

(ед.)

Ep D

при увеличении цены на 1%, спрос уменьшится на

p

1%(спрос снижается в том же темпе, что и растет цена).

Определение

3.4. Спрос

D(p), для которого Ep

D

называется

эластичным(D(p) изменяется большими темпами, чем изменяется цена).

Спрос D(p), для которого

называется

неэластичным(D(p)

изменяется меньшими темпами, чем изменяется цена).

Упражнение 3.6. D( p) 6

2 p . Найти 1) скорость изменения спроса.

44

2) Ep D .

Проанализировать результат, построить график D(p). Найти

точку на графике, соответствующую значению Ep

D

1.

Проделать аналогичные выкладки для D( p)

1

и

D( p)

1

.

p

p2

Наряду с функцией

D( p) рассмотрим также функцию

R( p)

p D( p) -

суммарные расходы потребителя на покупку товара. Тогда (см. формулу(6))

Ep R

Ep D

1,

(7)

и если Ep D

(высокая эластичность), то

Ep

R

функция

R( p) -

убывает, а если

(низкая эластичность), то

Ep R

функция

R( p) - возрастает.

При Ep D

1. Ep

R 0 и если Ep

D

1

,

то суммарные расходы

значении р доход – максимальный.

2) Построить графики функций D( p) и R( p)

.

формулу D( p) ;

2)

Найти скорость изменения спроса D

;

3)

Найти эластичность спроса по цене E

p

D при p 0,7

у.е./м3.

продукта S(p), которое можно купить по данной цене

р (р- цена

единицы

продукта). При этом в нормальных условиях

функция

S(p) –

меньше при низких).

Цена товара, когда S ( p) D( p) называется равновесной.

Упражнение

3.9.

Для функции

спроса D( p) 50 10 p

и функции

предложения S ( p)

8

11p найти точку

рыночного равновесия.

Вычислить

Ex D

и Ex S в точке p. Сделать чертеж.

Определение 3.5. Пусть функция y

f (x) дифференцируема и определена

для x

. Функция

f (x)

(8)

f (x)

f (x) задает некоторые суммарные

Замечание.

f (x) используют, если

значения (затраты, доход) в зависимости от х (объема производства, объема

продаж). Тогда f (x) задает затраты (доход) на единицу продукции. При этом

f

f (x

называется предельными затратами (предельным

доходом), а равенство

(9)

(см. формулу (5) § 6) показывает, что f

приблизительно равно приращению

функции f (x) ,

когда

.

Рис. 3.4. tg

f (x)

, tg

.

x

, если касательная в точке (x, f (x)) проходит

Замечание. f (x) f

1)

Средние издержки C(q) ;

2)

Предельные издержки; построить графики C

и C(q) .

3)

Найти C

и C(6)

C(5) .

4)

Товар

продается

по цене p 90

50

за

единицу товара. Найти

C(q)

50 .

Решение. 1) C(q)

q

q

2) C

0,6q2 .

50 ; 2- C

0,6q2 .

Рис. 3.5.

Графики функций 1- C(q)

q

3) C

.

4)

-прибыль от продажи q единиц изделий;

; q

5 2 - точка локального максимума,

.

Замечание. Из формулы (8) следует, что

f (x)

.

Предположим, что f (x)

- дважды дифференцируема, тогда

f

(10)

f

.

(11)

И

если

f

x0 ) ,

то из (10) следует, что

x0 -

критическая

точка

функции

f (x)

( f

0

. Из (11) следует, что f

,

поэтому,

если

f

( f (x) - вогнута в такой точке), то x0

- точка локального

( f (x) - выпукла в такой точке),

минимума для функции

f (x) , а если f

то x0 - точка локального максимума для функции f (x) (см. рисунок 5 ).

10.

y

на

0; 1 .

11.

y

(x

2)ex

на

2; 1 .

12.

y

(x

2)e1

x на

2; 2 .

13.

y

4

e x2

на

0; 1 .

14.

y

3 1

x3

на

0; 2 .

15.

y

2x

на

0; 4 .

8

x

16.

y

на

2; 2 .

1

17.

y

e6

x на

0; 2 .

18.

y

x

arctg x на

0; 1 .

х сотрудников

фирмы связаны соотношением

Q

a , где

L и а

–

x

постоянные,

характеризующие

трудовые

способности

коллектива.

Согласно

«золотому правилу роста» х следует определять так, чтобы Q принимало

наибольшее

из

возможных

значений.

При

L

найти

по

круга, проходящего через его центр выражается формулой F

cx

, где а –

3

(a2

x2 )2

радиус круга, х – расстояние от центра круга до магнита (0

, с –

если освещенность вычисляется по формуле f

I cos

, где

- угол падения

r2

1)

y

3x

2

;

2)

y x4 e

x

2

, x 2

;

x

4

0

3)

y

;

4)

y

3

x2

;

5)

y

3x2

6x

;

x

2

x

1

6)

y

.

1)

D( p)

;

2)

D( p) 30

0,5 p, p0 10, x 1;

3)

D( p)

;

4)

D( p)

4

;

p

2

5)

D( p)

p

1

.

p

4

графики функций D( p)

и R( p)

, если:

1) D( p)

;

2) D( p) 60 3p, p0

3;

3) D( p)

; 4) D( p)

;

5) D( p)

.

1)

D( p)

2 p2

;

4 p

5

2)

D( p)

1

;

p

3)

D( p)

4 p

;

p

6 p 7

4)

D( p)

;