Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика

2.18. 1)

10

; 2)

7

.

26

2

2.19. 3x

; 3x

.

2.20. x

; 2x

; x

.

2.21. 2x

.

3. Исследование функций с помощью производных.

Определение 3.1.

Функция

y f (x) называется возрастающей

(убывающей)

на интервале (a, b) , если

(

).

Функция y f (x)

называется

неубывающей (невозрастающей) на

интервале

(a, b) ,

если

(

).

функция y f (x)

не убывала (не возрастала) на этом интервале необходимо и

достаточно, чтобы

f

.

Доказательство. Необходимость.

Рассмотрим

случай, когда f (x) не

убывает и докажем, что производная f

необходимо

0.

Пусть x0

f (x)

f (x )

.

x

x0

33

Пусть x

f (x)

f (x )

.

x

x0

Таким образом

f

f (x)

f (x )

, что и требовалось доказать.

x

x0

x

Достаточность. Рассмотрим случай,

когда

f

и докажем, что этого

достаточно для того, чтобы функция не

убывала. Пусть x1, x2

.

Тогда по теореме

Лагранжа

(теорема

4

§

12)

точка

c

такая,

что

f (x2 )

;

f

что

и

требовалось доказать.

Теорема 3.2. Для того, чтобы дифференцируемая на интервале (a, b)

функция y f (x)

возрастала

(убывала)

на этом интервале достаточно, чтобы

f

.

Доказательство теоремы аналогично доказательству достаточности в

теореме 3.1. Нужно заметить, что условие

f

не является

необходимым для возрастания (убывания) функции.

Пример 3.1. Рассмотрим функцию

y

x3 .

Она возрастает на промежутке

( 1; 1) . Но условие

f

не выполнено в точке x0

.

2

1

1

2

Доказательство. Если производная f

в точке x0

не существует, то все

доказано. Предположим,

что f

-

существует.

Тогда по теореме

Ферма(теорема 1 §12 из [5])

f

, что и требовалось доказать.

34

Определение

3.2. Пусть функция y

f (x) непрерывна

в

точке x0 и

производная f

равна 0 или

не существует. Тогда точка

x0

называется

критической точкой для функции y

f (x) или точкой возможного экстремума.

Замечание. Для непрерывной функции любая точка локального экстремума

будет критической. Наоборот – не верно.

Пример 3.2. Для функции y

x3 , точка x

0 - критическая, но не является

2

1

1

2

x

2

1

1

2

1

точка x0

0 -

точка локального

минимума.

Точка x0 не является

критической( в точке x0

- разрыв 1-ого рода).

Теорема 3.4. (достаточное условие экстремума функции). Пусть функция

y f (x)

дифференцируема в некоторой окрестности O (x )

своей критической

точки x0

за исключением может быть самой точки x0 .

а) Пусть при переходе через точку x0

производная

f

меняет знак с « »

на «+» :

Тогда x0 - точка локального минимума .

Пусть при переходе через точку x0 производная f

меняет знак с «+»на

Тогда x0 - точка локального максимума.

б)

Пусть при переходе через точку x0 производная f

не меняет знака.

Тогда x0

не является точкой локального экстремума.

Доказательство следует из теоремы 2. При этом важно, чтобы функция

y

f (x) была непрерывна в точке

x0

(см. пример 2), а также то,

что

x0 -

изолированная критическая точка.

Теорема 3.5. (второе достаточное условие экстремума функции).

Пусть

x0 - стационарная точка для функции

y f (x) , то есть

f

.

Пусть f

. Тогда x0 - точка локального минимума (локального

максимума).

Доказательство. Запишем формулу Тейлора 2-ого порядка для функции

y

f (x) в окрестности точки x0 :

f (x)

f

(1)

1!

2!

(см. теорему 1 §14 из [5]).

f

, поэтому из (1) следует:

f (x)

f

2!

f (x)

.

(2)

x )2

2!

(x

(x x )

0

0

Из (2) следует, что

окрестность точки x0 ,

такая что знак f (x)

f (x0 )

совпадает со знаком

f

,

из этой окрестности, что и требовалось доказать.

Теорема 3.6. Пусть функция

y

f (x) имеет в точке x0 n производных,

причем

f

f

(n 1) (x )

0 и

f (n) (x )

. Тогда:

0

0

Пример 3.3. Исследовать на экстремум функцию y

.

Решение. Функция непрерывна

.

y

.

Найдем критические точки: x(5

.

x

2

- точка локального максимума: y(

2) 108 ;

x 0 - точка локального минимума; y(0)

0 .

x

5

- не является точкой экстремума.

1)

y

;

2)

y

;

y f (x)

заданной на отрезке

a, b глобальные min и max существуют. При этом

точки с1

и с2 – глобального min и max лежат либо на концах отрезка

a, b , либо

являются критическими для функции f (x) .

Пример

3.4. Найти

наибольшее

и наименьшее значение

функции

y

на отрезке 0, 3 .

Решение. Функция непрерывна

. Найдем критические точки:

y

.

x

2 - критические точки.

1

3

x3

- концы отрезка.

y(2)

ymax

.

S

1

1

2

2

S(

S

3

2 ;

2

0

2 .

3 - критическая точка для функции S ( .

x

- точка локального максимума.

3

S

3 3 - наибольшее значение площади, при этом

4

b

3

-длина большего основания.

Определение 3.3. Пусть функция y

y(x) дифференцируема, определена

для x

и принимает неотрицательные значения. Тогда функция

Ex

y

y

(3)

называется эластичностью функции у по переменной х.

Пример 3.6. Пусть y

1

. Найдем Ex

1

.

x

x

По формуле (3): Ex

x

.

x

Замечание. Из формулы (3) следует, что

E

y lim

y ,

(4)

x

x

39

Ex y

-

(5)

x

то есть Ex

y задает приближенный процентный прирост функции у, когда х

прирастает на 1%.

Пример 3.7. Пусть y

1

, Ex

1

1(см. пример 6).

x

x

Вычислим

y , когда х увеличивается на 1%( с х до 1,01х).

x

1

1

0,01 ,

поэтому

1,01x

x

1,01x

y

1

100

.

1,01

101

x

Упражнение 3.2. y

x2 , найти:

1) Ex

x2

(по формуле (3));

x

Упражнение 3.3. Пусть y

x . Проверить, что Ex x

1.

Пример 3.8. Пусть

y

y(x)

- дифференцируема.

Найдем Ex x

y .

По

формуле (3):

Ex

x

xy

xy

y

, то есть

Ex

x

y

.

(6)

Замечание. Так как x

, то из формулы (5) следует, что Ex

y

,

если y(x)

- возрастает и

Ex

y

, если

y(x) -

убывает. Верно и наоборот.

Поэтому из формулы (6) следует, что при Ex

y

функция

f (x)

x

y(x) - убывает, а при

Ex

y

f (x) x

y(x) - возрастает.

Предположим, что y

y(x) - возрастает( Ex y

).

40