Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Белорусский национальный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

24.11.2025

Размер:

2.48 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

где E - единичная матрица.

E A

. Решая систему

, получим

Замечание. Таблица 1.1 – таблица межотраслевого баланса. Так как межотраслевые потоки в таблице представлены в единицах производимой продукциинатуральный межотраслевой баланс. Аналогично можно рассматривать стоимостные таблицы. В общем виде стоимостный межотраслевой баланс представляется в виде:

отрасли	1	2	. . .	n	Y	X
1	x11	x12 . . .		x1n	y1	x1
2	x21	x22 . . .		x2n	y2	x2
.
.	…	… . . .		…	…	…
.
n	xn1	xn2 . . .		xnn	yn	xn
V	v1	v2 . . .		vn
X	x1	x2 . . .		xn

Таблица 1.2. Стоимостный межотраслевой баланс.

В таблице 1.2: xij – денежный эквивалент продукции i – й отрасли, идущий на нужды j – й отрасли; X (x1, ... , xn ) - вектор валового производства;

Y ( y1, ... , yn ) - вектор конечной продукции; V (v1, ... , vn )		- вектор условно-
чистой продукции( характеризует прибавочную стоимость).
При этом:
n
	n	(7)
j 1
n
	n .	(8)
i 1
Упражнение 1.1. Используя (7), (8) проверить, что
n	n
	.
i 1	j 1
(9)

Матрица A (a ) , где	a	xij	- называется матрицей прямых затрат (см.
Матрица A (a ) , где	a		- называется матрицей прямых затрат (см.
ij	ij	x j
		x j
пример 1.9) и система:
(E			(10)

задает зависимость между векторами X и Y. Система уравнений (10) называется моделью межотраслевого баланса Леонтьева.

Определение 1.1. Матрица А называется продуктивной, если все элементы матрицы B (E A) 1 - неотрицательны.

Перепишем систему уравнений (10) в виде:

(11)

Из формулы (11) следует, что для продуктивной матрицы А и любого

вектора Y

конечной продукции yi

n можно найти вектор

X	валового продукта необходимый для получения на

выходе конечной продукции Y.

Упражнение 1.2. Дана стоимостная таблица межотраслевого баланса

отрасли	1	2	3	Y	X
1	3000	1200	500	5000	9700
2	800	400	10	890	2100
3	600	200	0	0	800
V	5300	300	290
X	9700	2100	800

1) Построить матрицу прямых затрат А и проверить ее продуктивность.

2) Найти вектор валовой продукции Х необходимый для получения

конечной продукции Y	1500 .
Замечание. Матрица	B (E A) 1 называется матрицей полных	затрат,
B (bij ), i 1, ... , n, j	1, ... , n . Из формулы (11) следует, что элемент bij	матрицы

B задает стоимость в валовом выпуске продукции i – ой отрасли, которая приходится на единицу конечной продукции j – ой отрасли.

Задания к п.1.

Задание 1.1. Даны векторы a1, a2 , a3 . Доказать, что они образуют базис в пространстве R3 и найти в этом базисе координаты вектора b .

1)a

2)a

3)a

4)a

5)a

6) a (2;4;3), a (1;2;4), a (3;5;7), b (3; 5; 2)

7)a

8)a1

Задание 1.2. Найти фундаментальную систему решений:

3) x1

	6)	3x
	6)
			1
	7)
	Задание 1.3. Проверить образует ли линейное пространство множество:
	а) Р2		всех многочленов вида Р2			;
	в) всех многочленов вида				x2	;
	в) всех многочленов вида					;
	с) подмножество в арифметическом пространстве R3
	вида		(x1, x2 ,0) \| xi		;
	d) подмножество в арифметическом пространстве R3
	вида		(x1, x2 ,1) \| xi		;
	e) подмножество в арифметическом пространстве R3
	вида		(x1, x2 , x1		;
	f) подмножество в арифметическом пространстве R3
	вида (x1, x2 ,3x1				;
	g) подмножество в арифметическом пространстве R3
	вида (x1, x2 ,3x1				;
	Задание 1.4. Найти какой-либо базис для линейных пространств из
упражнения 5.3.
	1.5. Дана матрица прямых затрат А. Доказать, что она является
продуктивной. Найти матрицу полных затрат:
а)	A		;	б)	A	;
в)	A		;	г)	A	.

1.6. Матрица прямых затрат имеет вид

Найти вектор конечной продукции Y при заданном векторе валовой продукции

X .

1.7. Найти матрицу прямых затрат А по заданной матрице полных затрат

1.8. Дана матрица прямых затрат

Найти валовой продукт при новом ассортименте конечного продукта

Y 50 .

1.9. Найти матрицу полных затрат и изменение валового продукта, необходимого для обеспечения изменения конечного продукта, если

1.10. Рассчитать матрицу полных затрат B и найти конечный продукт Y,

если A			.
1.11. По данным отчетного периода получен следующий баланс
трехотраслевой экономической системы:

№	Потребители			Конечная	Валовая
				продукция	продукция
отраслей	1	2	3	(тыс. шт.)	(тыс. шт.)
1	20	40	30	110	200
2	30	16	60	54	160
3	10	24	16	150	200

Определить следующие экономические показатели на планируемый период:

1)коэффициенты прямых затрат;

2)коэффициенты полных затрат;

3)валовый выпуск отраслей, обеспечивающий новый конечный продукт

Y60 .

1.12.Предприятие выпускает три вида продукции с использованием трех видов сырья. Характеристики производства указаны в таблице

Вид сырья	Расход сырья по видам продукции, по вес. ед./				Запас
			изд.		сырья
	1	2		3	вес. ед.
1	5	12		7	2350
2	10	6		8	2060
3	9	11		4	2270

Найти:

1)Объем выпуска продукции каждого вида при заданных запасах сырья;

2)прирост объема валовых выпусков по каждой отрасли, если конечное потребление увеличено по отрасли, соответственно на 30, 10 и 50%.

Ответы

1.1. 1)		; 2)	; 3) (1; - 1; 2); 4) (1; 2; -1); 5) (2; 1; -1);
6) (1; -2; 1); 7) (2; 1; -1); 8) (3; -1; 2).
1.2. 1)	X	; 2) X	0	1	;
			14	7

3) X

;

7					6	5
4) X c 3		; 5) X c1	; 6);	X			7)
					1	0
	7

		5
X	1	0	.
X	0	1	.
	0	1
		7

1.3. Образует линейное пространство: a); c); e); f).

1.4. Один из базисов: a) ; c) ; e); f).

1.5. а) продуктивна, B			.
б) продуктивна, B			.
в) продуктивна, B			.
г) продуктивна, B			.
1.6. Y		.
1.7. A		.
1.8. X 126 .
1.9. B	1		.
1.9. B	0, 4		.
	0, 4
			17

1.10. B

1.11. 1) A

;

2) B

;

3)X 168,0 .

1.12.1) Y 120 ; 2) .

	2. Прямая линия на плоскости.
Определение 2.1. Пусть (0, i, j)		-	прямоугольная	декартова система
координат на	плоскости, M0 (x0 , y )	–	фиксированная	точка	плоскости,
OM0 r0 (x0 , y0 )	- ее радиус вектор, u(u1, u2 ) - ненулевой вектор. Прямой линией
L, проходящей	через точку М0 с направляющим вектором u				называется

множество точек плоскости, радиус-векторы r(x, y)	которых записываются в
виде:
r	(1)

Замечание. Другие уравнения прямой:

		tu1 , t		.	(2)
		tu2
Уравнение (2) – параметрическое уравнение прямой.
	x		.		(3)


	u1	u2
Уравнение (3) – каноническое уравнение прямой, проходящей через точку
M0 (x0 , y0 ) с направляющим вектором u(u1, u2 ) .
	x			-	(4)

	x1
	x1

уравнение прямой по двум точкам M0 (x0 , y0 ) и M1(x1, y1) .

Определение 2.2. Вектором нормали к прямой (1) будем называть

произвольный ненулевой вектор n перпендикулярный прямой.

Замечание. Любые два вектора нормали к прямой L – коллинеарны. Если

n( A, B) - вектор нормали к L, то (n, u)	0 , то есть:
(n, r r0 ) 0 -	(5)
	19

векторное	уравнение прямой. Так как r	, то из (5)
следует:
A(x	-	(6)

уравнение прямой по точке M0 (x0 , y0 ) и вектору нормали n( A, B) . Раскроем скобки в формуле (6), получим:

Ax
Ax By C 0 -	(7)

общее уравнение прямой.

Пример 2.1. Дана прямая L: 4x 3y 12 0 и точка М(1; 2). Проверить, что М не принадлежит прямой и написать уравнение прямой, проходящей через точку

М
1) параллельно прямой L; 2) перпендикулярно прямой L.
Решение. Подставим координаты точки М в уравнение: 4	,
поэтому точка М не принадлежит прямой.

1) Так как прямые параллельны, то их векторы нормали совпадают, поэтому n(4; 3) - вектор нормали к искомой прямой. Тогда по формуле (6):

4(x

4x - искомая прямая.

2) Так как прямые перпендикулярны, то вектор нормали n(4; 3) для первой

прямой будет направляющим вектором для искомой прямой, поэтому по формуле

(3):

- искомая прямая.

Нормальное уравнение прямой.

Пусть

n0 - вектор нормали к прямой L,

1 и пусть n0

направлен от

начала координат к прямой, n0 (cos

Тогда:

(8)

нормальное уравнение прямой (р – расстояние от начала координат до

прямой). При этом, если M (a, b) - произвольная точка плоскости, то

(9)

расстояние

от точки М до прямой. Для того,

чтобы из уравнения (7) получить

уравнение (8) надо представить его в виде:

причем знак перед корнем

выбирается

противоположным

знаку

С. Поэтому

формула (9)

перепишется в виде d

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
24.11.20256.58 Mб0Начертательная геометрия. Краткий курс по темам графических работ.pdf
#
24.11.20253.9 Mб1Начертательная геометрия. Практикум, сборник задач.pdf
#
24.11.20251.17 Mб0Начертательная геометрия. Рабочая тетрадь (практикум).pdf
#
24.11.20255.19 Mб1Начертательная геометрия.pdf
#
24.11.20254.99 Mб0Небольшое общественное здание павильонного типа.pdf
#
24.11.20252.48 Mб0Некоторые разделы курса Высшей математики для студентов специальностей 1-27 01 01 Экономика и организация производства, 1-27 02 01 Транспортная логистика.pdf
#
24.11.20252.69 Mб1Немецкий язык.pdf
#
24.11.20253.25 Mб0Неопределенный интеграл.pdf
#
24.11.20252.48 Mб1Неразъемные соединения и соединения с натягом.pdf
#
24.11.20251.65 Mб0Неразъемные соединения.pdf
#
24.11.20252.02 Mб2Нетрадиционные и возобновляемые источники энергии.pdf