Начертательная геометрия

2-е действие. Построить проекции 1-2(1"-2", 1'-2') вспомогательной линии пересечения плоскостей – заданной α(∆ABC) со вспомогательной γ.

3-е действие. Определить проекции точки K(K",K') пересечения прямой m с плоскостью α.

II. Построить проекции точки M(M",M') пересечения прямой n с плоскостью α, повторив графические действия 1, 2 и 3 и соединить прямой линией построенные точки K и M.

4-е действие. Определить видимость плоскостей относительно построенной линии пересечения K–M, рассмотрев пары конкурирующих точек:

–точки 1 и 5 – для определения относительной видимости на фронтальной проекции;

–точки 6 и 7 – для определения относительной видимости на горизонтальной проекции.

Структуризация материала четвертой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 4.9 (лист 1). На последующих листах 2–4 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления основной части изученного материала при повторении

(рис. 4.10–4.12).

50

Лекция 5

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТЬ

Решение задач на тему перпендикулярности прямой и плоскости основано на двух теоремах геометрии:

1-я т е о р е м а: если прямая перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости, то она перпендикулярна к этой плоскости.

2-я т е о р е м а: о проекции прямого угла (изложена выше – см. рис. 2.14, 2.15 и 2.16) – если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то на эту плоскость проекций угол проецируется прямым.

Из этих двух теорем следует, что на чертеже проекции перпендикуляра к плоскости можно провести только к проекциям фронтали и горизонтали, то есть к двум пересекающимся прямым уровня, которые можно провести в плоскости.

!!! Запомните:

– фронтальная проекция m" прямой, перпендикулярной прямой к плоскости, перпендикулярна к фронтальной проекции f" фронтали этой плоско-

сти (m" f");

– горизонтальная проекция m' прямой, перпендикулярной прямой к плоскости, перпендикулярна к горизонтальной проекции h' горизонтали этой плоскости (m' h ').

Задачи на тему перпендикулярности прямой и плоскости можно разделить на три группы:

1-я г р у п п а. Провести от точки, лежащей в плоскости, перпендикуляр в пространство.

2-я г р у п п а. Провести из точки, не лежащей в плоскости, перпендикуляр к этой плоскости.

3-я г р у п п а. Построить плоскость, перпендикулярную к прямой общего положения (построить геометрическое место точек – ГМТ).

П е р в а я г р у п п а з а д а ч требует по условию проведения перпендикуляра от плоскости (восставить перпендикуляр) в пространство (см.

рис. 5.1).

В этой группе задач требуется, как правило, построить на проведенном перпендикуляре проекции отрезка заданной величины. Графические действия по построению проекций отрезка заданной величины на проекциях прямой общего положения изложены ранее (см. рис. 2.9).

На рисунке 5.1 показано решение примерной задачи первой группы: построить плоскость β, параллельную заданной плоскости α(ABC), на расстоянии 15 мм.

Эта задача относится к первой группе, поскольку для построения параллельной плоскости β нужно предварительно построить произвольную точку на расстоянии 15 мм от заданной плоскости α, то есть из произвольной точки плоскости провести перпендикуляр в пространство.

55

1.Ограничить построенную прямую m(m", m') произвольным отрез-

ком AK(AK", AK').

2.Построить натуральную величину этого отрезка (см. рис. 5.1) способом прямоугольного треугольника – это гипотенуза A'Kо.

3.На построенной гипотенузеотложить заданную величину A'Do = 15 мм

ипостроить проекции отрезка AD(A"D", A'D') заданной величины (см. построения), то есть проекции точки D(D", D'), находящейся на расстоянии 15 мм от плоскости α(ABC).

4-е действие. Построить плоскость β, параллельную заданной плоскости ABC, проведя через проекции точки D две пересекающиеся прямые d и n, соответственно параллельные двум пересекающимся прямым AC и AB плоскости ABC:

– d" // A"C"; e" // A"B";

– d' // A'C'; e' // A'B', то есть β(d ∩ e) // α(ABC).

В т о р а я г р у п п а з а д а ч требует по условию проведения перпендикуляра из точки в пространстве к плоскости (опустить перпендикуляр). В этой группе задач, как правило, требуется построить точку пересечения построенного перпендикуляра с заданной плоскостью.

Построение точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения было рассмотрено выше (см. рис. 4.6).

На рис. 5.2 показано решение примерной задачи второй группы: определить расстояние от точки K до заданной плоскости α(∆ABC).

56

точки пересечения прямой общего положения с плоскостью общего положения (см. рис. 5.3).

3-е действие. Соединить одноименные проекции точек K и O: полученный отрезок общего положения KO(K"O", K'O') и есть расстояние от точки до прямой, искаженное на проекциях по величине.

4-е действие. Построить натуральную величину построенного отрезка KO способом прямоугольного треугольника (см. рис. 5.3).

Структуризация материала пятой лекции в рассмотренном объеме схематически представлена на рис. 5.4 (лист 1). На последующем листе 2 компактно приведены иллюстрации к этой схеме для визуального закрепления изученного материала при повторении (рис. 5.5).

58